集合論習(xí)題選講 (2)

1、 1第二部分第二部分 集合論集合論 例題選講例題選講1.1. 設(shè)設(shè)A A，B B為任意集合，為任意集合，A=B A=B 充分必要條件是充分必要條件是 A-B =B-A A-B =B-A ? ?2.2. A A為實(shí)數(shù)集，為實(shí)數(shù)集， x x，yAyA，xRyxRy x-yx-y=2=2；則；則R R為等價(jià)關(guān)系為等價(jià)關(guān)系? ?3.3. 若若A=P(X)A=P(X)，|X|X| 2 2， x x，y Ay A，xRyxRy x x y y y y x x，則，則R R為等價(jià)關(guān)系為等價(jià)關(guān)系 ? ?4.4. 設(shè)設(shè)A=aA=a，則，則, P(P(AP(P(A) ) ？5.5. 設(shè)設(shè)f f：N NNN,fNN

2、,f()=)=xyxy, ,則則f f是滿射的是滿射的 ? ? 26.6. 若集合若集合A=B=CA=B=C，則，則A A （B B C C）= =（A A B B） C ?C ?7.7. 設(shè)設(shè)R R為為A A上的關(guān)系，則上的關(guān)系，則R R在在A A上自反當(dāng)且僅當(dāng)上自反當(dāng)且僅當(dāng)RIRIA A= ?= ?8.8. 設(shè)設(shè)R R為非空集合為非空集合A A上的等價(jià)關(guān)系，則上的等價(jià)關(guān)系，則R R一定是偏序關(guān)系一定是偏序關(guān)系? ?9.9. 兩個(gè)可數(shù)集的笛卡兒積是可數(shù)集兩個(gè)可數(shù)集的笛卡兒積是可數(shù)集? ? 10.10.集合的冪集集合的冪集P P（B B）關(guān)于集合的對(duì)稱差運(yùn)算和并運(yùn)算構(gòu)）關(guān)于集合的對(duì)稱差運(yùn)算和并

3、運(yùn)算構(gòu)成環(huán)成環(huán) ? ? 311.11.設(shè)設(shè)A A、B B、C C為任意集合，證明：為任意集合，證明：（1 1）（）（A-BA-B）- C = A - (BC)- C = A - (BC)（2 2）(A-B)-C=(A-C)- (B-C)(A-B)-C=(A-C)- (B-C)證明：（證明：（1 1）(A-B)-C = (A(A-B)-C = (AB)B)C C = A(= A(BBC) = AC) = A(BC)(BC) = A - (BC) = A - (BC) （2 2） (A-C)- (B-C)= (A(A-C)- (B-C)= (AC)C)(B(BC)C) =(A =(AC)(C)(B

4、C)BC) = (A = (AC)C)B)(AB)(AC)C)C)C) =(A =(AC)C)B =(AB =(AB)B)C C =(A-B) =(A-B)C =(A-B)-C C =(A-B)-C 412.12.設(shè)設(shè)A A、B B為任意集合，證明：為任意集合，證明： q (1) P(A)P(B) = P(AB) (1) P(A)P(B) = P(AB) q (2) P(A)P(B) (2) P(A)P(B) P(AB)P(AB)q 針對(duì)（針對(duì)（2 2）舉一反例，說明）舉一反例，說明P(A)P(B) = P(AB)P(A)P(B) = P(AB)對(duì)對(duì)某些集合某些集合A A和和B B是不成立的是

5、不成立的q 證明：證明：(1) (1) 先證先證 P(A)P(B)P(A)P(B) P(AB) P(AB)q xP(A)P(BxP(A)P(B), ), 則則 xP(AxP(A) ) xP(BxP(B) )q 所以所以 x x A A x x B Bq 所以所以 x x AB, AB, 即即 xP(ABxP(AB) )q 因此因此 P(A)P(B)P(A)P(B) P(AB) P(AB) 5q 再證再證 P(AB) P(AB) P(A)P(B) P(A)P(B)q xP(ABxP(AB) )q 則則 x x AB AB q 所以所以 x x A A x x B Bq 所以所以 xP(AxP(A

6、) ) xP(BxP(B) )q 所以所以 xP(A)P(BxP(A)P(B) )q 因此因此 P(AB)P(AB) P(A)P(B) P(A)P(B)q 綜上所述綜上所述 P(AB) = P(A)P(B) P(AB) = P(A)P(B) 6q (2)(2) P(A)P(B)P(A)P(B) P(AB) P(AB) q xP(A)P(BxP(A)P(B) )q 則則 xP(AxP(A) ) xP(BxP(B) )q 所以所以 x x A A x x B Bq 若若x x A A, ,則則 x x AB ABq 所以所以 xP(ABxP(AB) )q 若若x x B B, ,則則 x x AB

7、 ABq 所以所以 xP(ABxP(AB) )q 因此因此 P(A)P(B)P(A)P(B) P(AB) P(AB) 7q (3)(3) 舉例：舉例：q 令令A(yù)=1,B=2A=1,B=2q 則則 AB=1AB=1，22q 則則P(A)=P(A)=，11，P(B)=P(B)=，22q 而而P(AB)=P(AB)=，1,2,1,21,2,1,2q 顯然顯然P(A)P(B)= P(AB)P(A)P(B)= P(AB)不成立不成立. . 813.13.設(shè)設(shè)R R是是A A上的自反和傳遞關(guān)系，如下定義上的自反和傳遞關(guān)系，如下定義A A上的關(guān)系上的關(guān)系T T，使得，使得q x, x, yAyA T T R

8、 R R Rq 證明：證明：T T是是A A上的等價(jià)關(guān)系。上的等價(jià)關(guān)系。q 證明：證明： 先證先證T T具有自反性具有自反性q xAxA, , 由于由于R R是是A A上自反關(guān)系上自反關(guān)系, , 所以所以 RRq 即即 R R RRq 由由T T的定義知：的定義知： TTq 所以所以T T具有自反性具有自反性 9q 再證再證T T具有對(duì)稱性具有對(duì)稱性q x,yAx,yA , ,若若 TTq 由由T T的定義知：的定義知： R RR Rq 即即 R R R R q 再由再由T T的定義知：的定義知： TTq 所以所以T T具有對(duì)稱性具有對(duì)稱性q 10q 再證再證T T具有傳遞性具有傳遞性q x,

9、 yx, y，zAzA , ,若若 T TT Tq 由由T T的定義知：的定義知：R RR Rq 并且并且R RR Rq 再由再由R R具有傳遞性知具有傳遞性知: R R: R Rq 再根據(jù)再根據(jù)T T的定義知的定義知: T: Tq 所以所以T T具有傳遞性。具有傳遞性。q 綜上所述知綜上所述知T T為為A A上的等價(jià)關(guān)系。上的等價(jià)關(guān)系。 1114.14.設(shè)設(shè)為偏序集，在為偏序集，在A A上定義新的關(guān)系上定義新的關(guān)系S S如下：如下： x, x, yAyA xSyxSy yRxyRx 稱稱S S為為R R的對(duì)偶關(guān)系的對(duì)偶關(guān)系q (1) (1) 證明證明S S也是也是A A上的偏序關(guān)系。上的偏序

10、關(guān)系。q (2) (2) 如果如果R R是整數(shù)集合上的小于或等于關(guān)系，那么是整數(shù)集合上的小于或等于關(guān)系，那么S S是是什么關(guān)系？如果什么關(guān)系？如果R R是正整數(shù)集合上的整除關(guān)系，那么是正整數(shù)集合上的整除關(guān)系，那么S S是什么關(guān)系是什么關(guān)系? ?q (3) (3) 偏序集偏序集和和AS中的極大元、極小元、最中的極大元、極小元、最大元、最小元等之間有什么關(guān)系？大元、最小元等之間有什么關(guān)系？ 12q 證明：證明：(1)(1)證明證明S S也是也是A A上的偏序關(guān)系上的偏序關(guān)系。q 先證先證S S具有自反性具有自反性q xAxA 由于由于R R具有自反性，所以具有自反性，所以 RRq 由由S S的定義

11、知：的定義知：S , S , 所以所以S S具有自反性。具有自反性。q 再證再證S S具有反對(duì)稱性具有反對(duì)稱性q x x，y A,y A,若若S S 并且并且SSq 那么由那么由S S的定義知：的定義知：RR并且并且RRq 由于由于R R是偏序關(guān)系，所以是偏序關(guān)系，所以R R具有反對(duì)稱性具有反對(duì)稱性, , 所以所以 x=yx=yq 所以所以S S具有反對(duì)稱性。具有反對(duì)稱性。 13q 再證再證S S具有傳遞性具有傳遞性q x x，y y，zAzA, ,若若S S 并且并且SSq 由由S S的定義知：的定義知：R R 并且并且RRq 又因又因R R為偏序關(guān)系，所以為偏序關(guān)系，所以R R具有傳遞性具

12、有傳遞性q 所以所以 RRq 再由再由S S的定義知：的定義知：SSq 所以所以S S具有傳遞性。具有傳遞性。q 綜上所述綜上所述S S為為A A上的偏序關(guān)系。上的偏序關(guān)系。 14q (2)(2)如果如果R R是整數(shù)集合上的小于或等于關(guān)系，那么是整數(shù)集合上的小于或等于關(guān)系，那么S S是是什么關(guān)系？如果什么關(guān)系？如果R R是正整數(shù)集合上的整除關(guān)系，那么是正整數(shù)集合上的整除關(guān)系，那么S S是什么關(guān)系是什么關(guān)系? ?q 如果如果R R是整數(shù)集合上的小于或等于關(guān)系，那么是整數(shù)集合上的小于或等于關(guān)系，那么S S是是A A上的上的大于或等于關(guān)系。大于或等于關(guān)系。q 如果如果R R是正整數(shù)集合上的整除關(guān)系，

13、那么是正整數(shù)集合上的整除關(guān)系，那么S S是正整數(shù)集是正整數(shù)集合上的倍數(shù)關(guān)系。合上的倍數(shù)關(guān)系。 15q (3)(3)偏序集偏序集和和AS中的極大元、極小元、最大元、中的極大元、極小元、最大元、最小元等之間有什么關(guān)系？最小元等之間有什么關(guān)系？q 偏序集偏序集極大元是極大元是AS中的極小元，偏序集中的極小元，偏序集q 極小元是極小元是AS中的極大元、偏序集中的極大元、偏序集最大元是最大元是ASq 中的最小元，偏序集中的最小元，偏序集最小元是最小元是AS中的最大元。中的最大元。 1615.15.設(shè)設(shè)R R為為A A上的關(guān)系，則上的關(guān)系，則R R在在A A上傳遞當(dāng)且僅當(dāng)（上傳遞當(dāng)且僅當(dāng)（R R R R） R R證明：必證明：必要性：若要性：若 R R在在A A上具有傳遞性上具有傳遞性 R R R R t ( R R ) t ( R R ) R ( R (因?yàn)橐驗(yàn)镽 R在在A A上傳遞上傳遞) ) 所以所以 R R R R R R 充分性：若充分性：若（R R R R） R R ， R R R R R R R ( R ( 因?yàn)橐驗(yàn)镽 R R R) R R) 所以所以R R在在A A上傳遞。上傳遞。 17練習(xí)：練習(xí)：1 設(shè)設(shè)A, B，C為為集合，集合，若若A B=A C，則，則B=C？2 設(shè)設(shè)A, B，C為為集合，集合，若若A B=A C，