312三角函數(shù)線的應(yīng)用

1、內(nèi)部資料，不得翻??！高中數(shù)學(xué)專題教學(xué)研習(xí)講稿第 PAGE 6 頁 共 NUMPAGES 6 頁第 PAGE 5 頁 共 NUMPAGES 6 頁高中數(shù)學(xué)專題教學(xué)研習(xí)本資源由專人彭劍平整理，未經(jīng)允許不得復(fù)制影印，資源僅供教師研習(xí)，歡迎批評指正說明：Level A為基本（要求熟悉掌握），Level B為高考（?？家?guī)律總結(jié)），Level C為競賽（拓展的課外知識）注： 本資源僅提供pdf版本 交流： 博客： HYPERLINK /ansontop /ansontop 郵箱： HYPERLINK mailto:anson_ anson_專題： 三角函數(shù)線的應(yīng)用 基本知識點（Level A）【1】三角函

2、數(shù)定義: 任意角的三角函數(shù)1任意角的三角函數(shù)的概念設(shè)是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標(biāo)是，它與原點的距離是，則，拓展：任意角的三角函數(shù)值只與終邊的位置有關(guān)，與在終邊上選取的點無關(guān)，以此可引出三角函數(shù)線的概念 可見任意角的三角函數(shù)之間的關(guān)系非常復(fù)雜且變化多端，但學(xué)生僅僅需要掌握正余弦以及正切2三角函數(shù)在各象限的符號，在四個象限的符號，根據(jù)定義第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正拓展：三角函數(shù)在各象限的符號可記作：一正二正弦，三切四余弦（簡記為“全”） 經(jīng)典案例 有疑問隨時mail例：（1）已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為 答案：（2）設(shè)是第三、四象限角，則的取

3、值范圍是 答案：（3）若，試判斷的符號 答案：負(fù)【2】三角函數(shù)定義:三角函數(shù)線PvA O M T 1三角函數(shù)線的定義特別地在任意角的三角函數(shù)的概念中，我們假定，即為單位圓的概念（半徑的圓為單位圓，在本節(jié)中為了研究的方便，我們將該單位圓的圓心放在了原點）以此我們可以用幾何法表示任意角的三角函數(shù)值三角函數(shù)線的重要應(yīng)用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式2三角函數(shù)線的畫法如圖，圖中的有向線段、對應(yīng)的分別為：，的三角函數(shù)線拓展：教材即是在此處第一次引進(jìn)了有向線段這個概念，指的是既有大小又有方向的線段注意：要作一點說明的是，在單位圓中作出在第二、三象限內(nèi)的三角函數(shù)線必須進(jìn)行延長，否則就不符合定義3三角函

4、數(shù)線的特征 正弦線“站在軸上(起點在軸上)”、余弦線“躺在軸上(起點是原點)”、正切線“站在點處(起點是)” 重視“三角函數(shù)值的大小與單位圓上相應(yīng)點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，正弦縱坐標(biāo)、余弦橫坐標(biāo)、正切縱坐標(biāo)除以橫坐標(biāo)之商” 記住：單位圓中角終邊的變化與值的大小變化的關(guān)系 為銳角 經(jīng)典案例 有疑問隨時mail例：（1）若，則的大小關(guān)系為 答案：（2）若為銳角，則的大小關(guān)系為 答案：（3）函數(shù)的定義域是 答案：【3】三角函數(shù)定義:特殊角的三角函數(shù)值特殊角，的三角函數(shù)值須記住并能熟練使用：（在以后的編制過程中盡量保證使用弧度制，這樣更為方便）不存在不存在【4】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：（1）平方關(guān)系：（變式

5、：，）（2）商數(shù)關(guān)系：（變式：，）（3）倒數(shù)關(guān)系：*，*， 注意：其中，帶*的不必掌握 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是，已知一個角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值在運用平方關(guān)系解題時，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進(jìn)行定號；在具體求三角函數(shù)值時，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對值 經(jīng)典案例 有疑問隨時mail例：（1）函數(shù)的值的符號為 答案：大于（2）若，則使成立的的取值范圍是 答案：（3）已知，則 答案：（4）已知，則 ； 答案：；（5）已知，則 答案：（6）已知，則

6、 答案：【5】 正弦、余弦的誘導(dǎo)公式1誘導(dǎo)公式的記憶規(guī)律主要是指、等角的轉(zhuǎn)換記憶方式一：誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“奇變偶不變，符號看象限”三角函數(shù)誘導(dǎo)公式（）的本質(zhì)是：奇變偶不變（對而言，指取奇數(shù)或偶數(shù)），符號看象限（看原函數(shù)，同時可把看成是銳角）.記憶方式二：六組誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一：誘導(dǎo)公式二：誘導(dǎo)公式三：誘導(dǎo)公式四：誘導(dǎo)公式五：*誘導(dǎo)公式六：* 注意：其中，帶*的不必掌握記憶方式三：正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；如：,記憶方式四：兩角和與差公式的特殊化（1）；（2）；（3）；（4）2誘導(dǎo)公式的作用誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：Step 1: 負(fù)角變正角，再寫成（）；Step 2: 轉(zhuǎn)

7、化為銳角三角函數(shù) 經(jīng)典案例 有疑問隨時mail例：（1） 答案：（2）已知，則 答案：（3）若為第二象限角，則 答案： 拓展知識點（Level B）【1】角族元素三角函數(shù)同角關(guān)系中(八塊圖)：注意“正、余弦三兄妹 、”的關(guān)系. 如等.【2】有用的結(jié)論（1）半角所在的象限：（2）和的符號規(guī)律：與的終邊關(guān)系：由“兩等分各象限、一二三四”確定.如若是第二象限角，則是第_象限角（答：一、三） 深化知識點（Level C）【1】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的記憶法則：其實任意角的三角函數(shù)不止、，根據(jù)教材版本作稍許拓寬，但不需掌握正弦：倒數(shù)余割：余弦：正割：上述兩者求倒數(shù)上述兩者求倒數(shù)正切：余切： （1）對角線上對應(yīng)的函數(shù)互為倒數(shù)例：（2）每一個頂點對應(yīng)函數(shù)等于相鄰頂點對應(yīng)函數(shù)的乘積例：（3）陰影三角形中，上面二個頂點對應(yīng)的函數(shù)的平方和等于下面一個頂點的平方例：【2】用