911導(dǎo)數(shù)的基本知識

1、內(nèi)部資料，不得翻??！高中數(shù)學(xué)專題教學(xué)研習(xí)講稿第 PAGE 10 頁 共 NUMPAGES 11 頁第 PAGE 11 頁 共 NUMPAGES 11 頁高中數(shù)學(xué)專題教學(xué)研習(xí)本資源由專人彭劍平整理，未經(jīng)允許不得復(fù)制影印，資源僅供教師研習(xí)，歡迎批評指正說明：Level A為基本（要求熟悉掌握），Level B為高考（常考規(guī)律總結(jié)），Level C為競賽（拓展的課外知識）注： 本資源僅提供pdf版本 交流： 博客： HYPERLINK /ansontop /ansontop 郵箱： HYPERLINK mailto:anson_ anson_專題： 導(dǎo)數(shù)的基本知識一、本章知識框架導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)

2、數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的運算法則導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用幾何意義、物理意義單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的正負與單調(diào)性的關(guān)系生活中的優(yōu)化問題三次函數(shù)的性質(zhì)、圖象與應(yīng)用最值極值二、本章考綱要求內(nèi)容ABC91 導(dǎo)數(shù)的概念 92 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 93 導(dǎo)數(shù)的運算 94 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值 95 導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用 基本知識點（Level A）【1】導(dǎo)數(shù)的物理意義例題:一個小球自由下落，它在下落秒時的速度是多少？說明：（1）上例中，如果運用物理所學(xué)地勻變速直線運動地速度公式，可得這與上面用平均速度的極限求得的瞬時速度是一樣的 （2）這種速度的極限求法適用范圍就比較廣，只要知道運動的規(guī)律（函數(shù)表達式），即可求出任一時刻的瞬時速

3、度一般地，設(shè)物體的運動規(guī)律是，則物體在到這段時間內(nèi)的平均速度為:.如果無限趨近于時，無限趨近于某個常數(shù)，就說當(dāng)趨向于時，的極限為，這時就是物體在時刻的瞬時速度. （3）物理意義：表示即時（瞬時）速度，表示加速度_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時mail例：一物體的運動方程是，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在時的瞬時速度為 答案：米/秒【2】導(dǎo)數(shù)的基本概念1圓的切線：直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切這時直線叫做圓的切線，惟一的公共點叫做切點 能不能把圓的切線推廣為一般曲線的切線呢？2曲線的切線 （1）觀察圖形得出：相切可能不止一個交點，有惟一交點的也不一定是相切所以對于一般的曲線，必須重新尋

4、求曲線切線的定義（2）一般地，已知函數(shù)的圖象是曲線，是曲線上的兩點，當(dāng)點沿曲線逐漸向點接近時，割線繞著點轉(zhuǎn)動當(dāng)點沿著曲線無限接近點，即趨向于時，如果割線無限趨近于一個極限位置，那么直線叫做曲線在點處的切線此時，割線的斜率無限趨近于切線的斜率，也就是說，當(dāng)趨向于時，割線的斜率的極限為 小結(jié)：（1）函數(shù)從到的平均變化率：；（2）函數(shù)從到的平均變化率：；（3）導(dǎo)數(shù)定義：在點處的導(dǎo)數(shù)記作；【3】導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即曲線在點處的切線的斜率是，相應(yīng)地切線的方程是【4】導(dǎo)數(shù)的運算1利用定義求導(dǎo)數(shù)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能加深對導(dǎo)數(shù)的理解，而且可以推導(dǎo)求

5、導(dǎo)公式，使導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式理解起來更加自然，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法，要注意遵照“一差”、“二比”、“三趨近”的求導(dǎo)步驟：（1）求函數(shù)的增量；（2）求平均變化率；（3）取極限，當(dāng)時，得導(dǎo)函數(shù)若求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)，則將上面各步中的換為，或者考慮先求出該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再將代入【5】導(dǎo)數(shù)的運算2利用公式求導(dǎo)數(shù)（基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式）1常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式； ；2常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式記憶技巧幾個常見的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較簡單，對于初學(xué)者來講比較新鮮，也容易記憶，能利用導(dǎo)數(shù)的定義推導(dǎo)出求導(dǎo)公式，以后直接運用就可以了 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式主要涉及到這幾類：常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、正弦、

6、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，公式的記憶是非常重要的一個方面 公式和比較好記，但對于公式和的記憶就比較難，特別是兩個常數(shù)，很容易混淆，應(yīng)從幾個方面深化對公式的理解和記憶： （1）區(qū)分公式的結(jié)構(gòu)特征既要注意與和與的區(qū)別，又要注意與的區(qū)別，找出差異記憶公式 （2）對于用和函數(shù)求導(dǎo)法則證明來幫助記憶，即求證對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式，證明如下：這樣知道了中的來歷，對于公式的記憶和區(qū)分是很有幫助的另外，一般的結(jié)果寫成，而不是（寫成這個會造成誤會）例如，注意下面寫法的區(qū)別：與，這兩個的實質(zhì)分別是與【6】導(dǎo)數(shù)的運算3利用公式求導(dǎo)數(shù)（函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)）1多項式函數(shù)的求導(dǎo)法則 ，這里是常數(shù)，即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)值為； ，特別地：2

7、導(dǎo)數(shù)運算法則 ； ； （1）函數(shù)和、差的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的和、差的求導(dǎo)法則為，即“和（差）的導(dǎo)數(shù)，等于導(dǎo)數(shù)的和（差）”，這兩個法則同學(xué)們很容易掌握對于這個法則可以推廣為：A常數(shù)與函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)：（為常數(shù)）； B幾個函數(shù)的和（差）的導(dǎo)數(shù)（即對函數(shù)的和、差的求導(dǎo)法則的推廣）：（2）函數(shù)積、商的導(dǎo)數(shù)對于函數(shù)的積的求導(dǎo)法則，要熟悉公式，對于函數(shù)的商的求導(dǎo)法則，形式比較復(fù)雜，要特別注意分子中的號，也可利用來解決但還是希望記住求導(dǎo)法則：_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時mail例：（1）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則 答案：（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 答案：（3）若對任意，則 答案：【7】簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（理） 復(fù)合函數(shù)，的求導(dǎo)法則為：

8、 即對的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，求解時通常應(yīng)注意以下幾點： （1）一般我沒拿只會求簡單的符合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，僅限于形式的復(fù)合函數(shù)（2）有些函數(shù)看似是符合函數(shù)，但可利用求導(dǎo)公式與導(dǎo)數(shù)的運算法則轉(zhuǎn)化： 如：，等（3）利用符合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)后，應(yīng)把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù) 拓展知識點（Level B）【1】切線的“過”與“在”問題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要以“切點坐標(biāo)”為橋梁，在求曲線的切線方程時，要注意區(qū)分所求切線是曲線上某點處的切線，還是過某點的切線：曲線上某點處的切線只有一條，而過某點的切線不一定只有一條

9、，即使此點在曲線上也不一定只有一條在求過某一點的切線方程時，要首先判斷此點是在曲線上，還是不在曲線上，只有當(dāng)此點在曲線上時，此點處的切線的斜率才是對“二次拋物線”過拋物線上一點的切線拋物線上該點處的切線，但對“三次曲線”過其上一點的切線包含兩條，其中一條是該點處的切線，另一條是與曲線相交于該點_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時mail例：（1）在曲線上移動，在點處的切線的傾斜角為，則的取值范圍是 答案：（2）直線是曲線的一條切線，則實數(shù)的值為 答案：或（3）已知函數(shù)（為常數(shù)）圖象上處的切線與的夾角為，則點的橫坐標(biāo)為 答案：或（4）曲線在點處的切線方程是 答案：（5）已知函數(shù)，又導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸交于， 求

10、的值； 求過點的曲線的切線方程答案：；或【2】求導(dǎo)常用技巧 運用和、差、積、商的求導(dǎo)法則和常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)時，應(yīng)在求導(dǎo)之前，先看能否利用代數(shù)、三角恒等變換對函數(shù)進行化簡，然后再求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，避免出錯 常見的技巧如下： （1）裂項：化一項為多項 如果函數(shù)的解析式整體為分式，而分子分母為自變量的多項式，為了減少運算過程，可以考慮將解析式裂成多個比較簡單的代數(shù)式的和、差形式 如：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （2）合并：減少因式個數(shù)如果函數(shù)的解析式是由多個因式的積構(gòu)成的函數(shù)，則可以考慮利用相關(guān)知識，減少函數(shù)解析式中的因式個數(shù)，從而可使問題得到快捷的解決如：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)最終即求的導(dǎo)數(shù) （3

11、）有理化：化根式為有理式 如果函數(shù)的解析式中含有根式，則可以考慮利用分子或分母有理化進行變形，化為有理式再求解 如：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【3】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系1相關(guān)關(guān)系（1）若,則為增函數(shù)；若,則為減函數(shù)；若恒成立,則為常數(shù)函數(shù)；若的符號不確定,則不是單調(diào)函數(shù)（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，反之等號不成立；若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，反之等號不成立2相關(guān)解釋與為增函數(shù)的關(guān)系：能推出為增函數(shù)，但反之不一定如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但， 是為增函數(shù)的充分不必要條件時，與為增函數(shù)的關(guān)系：若將的根作為分界點，因為規(guī)定，即摳去了分界點，此時為增函數(shù)，就一定有 當(dāng)時，是為增函數(shù)的充分必要條件與為增函數(shù)的關(guān)系： 為

12、增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或當(dāng)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性是為增函數(shù)的必要不充分條件函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題但在實際應(yīng)用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時mail例：（1）函數(shù)，其中為實數(shù)，當(dāng)時，的單調(diào)性是 答案：增函數(shù)（2）設(shè)函數(shù)在上單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍 答案：（3）已知函數(shù)為常數(shù)）在區(qū)間上單調(diào)遞增，且方程的根都在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是 答案：

13、（4）已知，設(shè)，試問是否存在實數(shù)，使在上是減函數(shù)，并且在上是增函數(shù)？答案：【4】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)區(qū)間的求解過程：已知法一：Step 1: 分析的定義域；Step 2: 求導(dǎo)數(shù) ；Step 3: 解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間（或用列表法）法二：Step 1: 分析的定義域；Step 2: 求方程的根，設(shè)根為；Step 3: 將給定區(qū)間分成個子區(qū)間，再在每一個子區(qū)間內(nèi)判斷的符號，由此確定每一子區(qū)間的單調(diào)性我們在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時一定要搞清以下三個關(guān)系，才能準(zhǔn)確無誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性以下以增函數(shù)為例作簡單的分析，前提條件都是函數(shù)在

14、某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時mail例：設(shè)函數(shù)在處有極值，且，求的單調(diào)區(qū)間答案：遞增區(qū)間，遞減區(qū)間【5】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值1極值的定義設(shè)函數(shù)在點附近有定義，如果對附近所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極大值，記作如果對附近所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極小值記作極大值和極小值統(tǒng)稱為極值2研究極值的步驟，已知Step 1: 分析的定義域；Step 2: 求導(dǎo)數(shù) ；Step 3: 求解方程（設(shè)有根）；Step 4: 列表判斷個區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號，判斷是否為極值，如果是，是極大還是極小值檢查在方程的根的左右的符號：“左正右負”在處取極大值；“左負右正”在處取極小值注意： 是極值點的充要條

15、件是點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不僅是，即是為極值點的必要而不充分條件或者說由“不能得到當(dāng)時，函數(shù)有極值” 但是，當(dāng)時，函數(shù)有極值 給出函數(shù)極大（小）值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”（“左負右正”）的轉(zhuǎn)化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記（是熱點問題也是重點問題）_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時mail例：（1）函數(shù)的極值點是 答案：極小值點（2）已知函數(shù)有極大值和極小值，則實數(shù)的取值范圍是 答案：或（3）函數(shù)處有極小值，則 答案：（4）已知函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，那么有最 值 答案：大，【6】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值1最值的定義函數(shù)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點值中的“最大

16、值”；函數(shù)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點值中的“最小值”注意與函數(shù)中的最值區(qū)分，函數(shù)中的最值僅僅是講道理，而導(dǎo)數(shù)中提到的最值指的是一種找到最值的快速方法這里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)往簡單方向發(fā)展的原理2求函數(shù)在某閉區(qū)間上的最大、最小值Step 1: 分析的定義域；Step 2: 求導(dǎo)數(shù) ；Step 3: 求解方程（設(shè)有根）；Step 4: 比較、，最大的為，最小的為注意：極值最值；最值問題一般僅在閉區(qū)間上研究（實際應(yīng)用題除外，即應(yīng)用題中有開區(qū)間問題）特別注意： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值（極值）時，要注意列表 要善于應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考察函數(shù)單調(diào)性、最值(極值)，研究函數(shù)的性態(tài)，數(shù)

17、形結(jié)合解決方程不等式等相關(guān)問題_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時mail例：（1）函數(shù)在上的最大值、最小值分別是 答案：；（2）用總長的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積答案：高為時，容積最大為（3）方程的實根的個數(shù)為 答案：（4）已知函數(shù)，拋物線，當(dāng)時，函數(shù)的圖象在拋物線的上方，求的取值范圍答案：【7】導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細微）；（2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）注意“曲線在點處的切線”還是“曲線過點的切線”的區(qū)別?。?）應(yīng)用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于次多項式的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型；（4）導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應(yīng)引起注意 深化知識點（Level C）交流、素材提供 博客： HYPERLINK /ansontop /ansontop 郵箱： HYPERLINK mailto: