《金牌教程》大二輪專題復習專題作業(yè)-空間位置關系的證明與求及空間角

1、試卷第 =page 4 4頁，共 =sectionpages 4 4頁試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁金牌教程大二輪專題復習專題作業(yè)-空間位置關系的證明與求及空間角1如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1 中，E為BB1的中點.(1)證明：BC1/平面AD1E；(2)求直線AA1與平面AD1E 所成角的正弦值.2在三棱錐AOBC中，已知平面AOB底面BOC，AOBC，底面BOC為等腰直角三角形，且斜邊(1)求證：AO平面BOC；(2)若E是OC的中點，二面角ABEO的余弦值為，求直線AC與平面ABE所成角的正弦值3如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面，E，F(xiàn)

2、分別是的中點.(1)求證：平面：(2)求點P到平面的距離.4如圖，三棱柱的底面ABC為正三角形，D是AB的中點，平面底面.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.5如圖，在四棱錐中，底面ABCD，(1)證明：；(2)當PB的長為何值時，直線AB與平面PCD所成角的正弦值為？6如圖，平面平面，是等邊三角形，為的中點，.(1)證明：；(2)求三棱錐的體積.7如圖，在四棱錐中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3.E為PD的中點，點F在PC上，且.(1)求證：CD平面PAD；(2)求二面角的余弦值.8如圖，四棱錐的底面為矩形，.(1)證明：平面平面.(2)若，求

3、點到平面的距離.9如圖，在梯形中，四邊形為矩形，且平面，(1)求證：平面；(2)點在線段上一運動，當點在什么位置時，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時銳二面角的余弦值10如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面于點M連接.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值.答案第 = page 17 17頁，共 = sectionpages 17 17頁答案第 = page 1 1頁，共 = sectionpages 2 2頁參考答案：1(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由四邊形是平行四邊形得出，再由線面平行的判定證明即可；（2）利用等體積法得出點到平面AD1E的距離，進而得出直線AA1

4、與平面AD1E所成角的正弦值.(1)，四邊形是平行四邊形，又平面AD1E，平面AD1E，BC1/平面AD1E(2)設，點到平面AD1E的距離為.，設直線AA1與平面AD1E所成角為，則.故直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值為.2(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）證明COAO，AOBC，再利用線面垂直的判定定理，即可得到答案；（2）由(1)得OB，OC，OA兩兩垂直，建立如圖所示得空間直角坐標系，求出此時(0，2，1)，平面ABE的法向量(1，2，2)，再代入線面角的向量公式，即可得到答案；(1)證明：底面BOC為等腰直角三角形，且BC為斜邊，所以COOB，因為平面AOB底面BOC

5、，平面AOB平面BOCOB，CO平面BOC，所以CO平面AOB，因為AO平面AOB，所以COAO，又AOBC，BC，CO平面BOC，BCCOC，所以AO平面BOC(2)由(1)得OB，OC，OA兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為底面BOC為等腰直角三角形，且斜邊，所以OCOB2，因為E是OC的中點，所以B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1，0)，設A(0，0，t)(t0)，則，設平面ABE的法向量(x，y，z)，則取(t，2t，2)，而平面BEO的法向量為(0，0，1)，因為二面角ABEO的余弦值為，所以因為t0，所以t1，此時(0，2，1)，平面ABE的法向量(1，2，2

6、)，設直線AC與平面ABE所成的角為，則sin|cos|所以直線AC與平面ABE所成角的正弦值為3(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）通過作輔助線，證明平面平面，再根據(jù)面面平行的性質，證明結論；（2）先求三棱錐的體積，再求出的面積，根據(jù)等體積法，即，即可求點P到平面的距離.(1)取的中點O，連接，因為E，F(xiàn)分別是的中點，所以，故平面平面， 平面 ,因此，平面平面，又平面，所以平面.(2)連接，因為，E是PA的中點，所以的面積為，由（1）知，因為平面平面，所以平面，又,所以三棱錐的體積，在中，所以；在中，；在中，所以，在中，故底邊上的高為：，所以的面積為：.設點P到平面的距離h，則三棱錐

7、的體積為，又因為，所以，解得，所以點P到平面的距離為.4(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理進行證明即可；（2）找到圖中三條兩兩垂直的直線，建立空間直角坐標系，求出相關各點的坐標，進而求出相應的向量坐標，接著求平面的法向量和平面的法向量，用向量的夾角公式求得答案.(1)證明：因為三棱柱的底面ABC為正三角形，D是AB的中點，所以.又在三棱柱中，連接 ,則 是等邊三角形，所以，因為平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.(2)因為平面底面ABC，平面底面，所以底面ABC，故以D為坐標原點，DB，DC，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，

8、則，.設平面的法向量為，平面的法向量為.由，得，取，；由，得，取，得.所以，由圖知二面角是鈍二面角，所以二面角的余弦值為.5(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由線面垂直的判斷定理證明平面PAB，再由線面垂直的性質定理即可證明；（2）以A為原點，AB，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，設，求出平面PCD的法向量的坐標，根據(jù)直線AB與平面PCD所成角的正弦值為，利用向量法可求得，從而可求解PB的長.(1)證明：因為底面ABCD，又平面ABCD，所以，又，AB，平面PAB，所以平面PAB，又平面PAB，所以；(2)解：因為底面ABCD，所以以A為原點，AB，AC，AP分

9、別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，因為，所以，則，所以，設，則，設平面PCD的法向量為，則，令，則，所以，所以，解得，則，所以當時，直線AB與平面PCD所成角正弦值為6(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）利用面面垂直得到平面，再由勾股定理得到， ，線面垂直的判斷定理可得平面，可得；（2）連接，由（1）知平面，則到平面的距離等于到平面的距離，由可得答案.(1)因為，為的中點，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為，所以，所以，同理，因為，平面，所以平面，所以.(2)連接，由（1）知平面，則到平面的距離等于到平面的距離，所以，作，垂足為，因為平面，平面，所以，又

10、，平面，所以平面，又，所以，所以.7(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件證明即可推理作答.(2)在平面內(nèi)過A作，以點A為原點，射線AM，AD，AP分別為x，y，z軸非負軸建立坐標系，借助空間向量計算作答.(1)在四棱錐中，平面，而平面，則，因，平面，所以平面.(2)在平面內(nèi)過A作交BC于點M，由(1)知，兩兩垂直，以點A為原點，射線分別為軸非負軸建立空間直角坐標系，如圖，依題意，則，設平面的一個法向量，則，令，得，顯然平面的一個法向量，于是得，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值.8(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）連接，交于點，連接，證明平面，即可證

11、明出平面平面.（2）用等體積法，即，即可求出答案.(1)連接，交于點，連接，如圖所示， 底面為矩形，為，的中點，又，又，平面，平面，平面平面(2)，在中，在中，在中，設點到平面的距離為，由等體積法可知，又平面，為點到平面的距離，即點到平面的距離為9(1)證明見解析；(2)當點與點重合時，平面與平面所成銳二面角最大，此時銳二面角的余弦值為.【解析】【分析】（1）證明出平面，再由可證得結論成立；（2）以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系，設點，其中，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角余弦值的最小值.(1)證明：在梯形中，故梯形為等腰梯形，因為，則，所以，又因為，則，因為平面，平面，平面，因為四邊形為矩形，則，因此，平面.(2)解：因為平面，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，由余弦定理可得，則、，設點，其中，設平面的法向量為，由mAB=3xy=0mAM=(t3)x+z=0，取，可得，易知平面的一個法向量為，所以，當時，取最小值，此時平面與平面所成銳二面角最大，此時，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.10(1)證明見詳解(2)【解析】【分析】（1）連接，交于點，則為中點，再由等腰三角形三線合一可知為中點，連接，利用中位線可知，根據(jù)直線與平面平行的判定