高考數(shù)學導數(shù)專題 函數(shù)中的雙變量問題（原卷版）

1、高考數(shù)學導數(shù)專題函數(shù)中的雙變量問題一、考情分析函數(shù)與導數(shù)一直是高考中的熱點與難點,近幾年高考試卷及各地模擬試卷中常出現(xiàn)在函數(shù)背景下借組導數(shù)處理含有兩個變量的等式與不等式問題，這類問題因為變量多，很多同學不知如何下手，其實如能以函數(shù)思想為指導，把雙變量問題轉化為一個或兩個一元函數(shù)問題,再利用導數(shù)就可有效地加以解決.二、解題秘籍與函數(shù)單調性有關的雙變量問題此類問題一般是給出含有凡,心,/(羽),/(2)的不等式，若能通過變形，把不等式兩邊轉化為同源函數(shù)，可利用函數(shù)單調性定義構造單調函數(shù)，再利用導數(shù)求解.【例I(2021屆黑龍江省哈爾濱市高三下學期第五次模擬)己知函數(shù)/(x)=xln.v,g(x)=

2、|x2.(I)求函數(shù)/(X)在號,1上的最值；若對ba0,&有”血(奶“(。)/。)-/(“)成立，求實數(shù)”2的取值范圍.(2)wg(Z)-g()/(/)-/()價于.令h(x)=mg(x)-f(x)=x2-xnx,則方在(0,+時上單調遞增.問題化為”(x)=心-Inx-120.對xe(0,+)恒成立.分離參數(shù)得蟲B對e(0,+8)恒成立.令仞)=虹頊9(、)林二仞(1)=1.XX故”的取值范圍是卩，+8).與極值點有關的雙變量問題與極值點x1?x2有關的雙變量問題，一般是根據(jù)xpx2是方程fx)=0的兩個根，確定xpx2.的關系，再通過消元轉化為只含有而或工2的關系式，再構造函數(shù)解題，有時

3、也能夠把所給條件轉化為而,工2的齊次式,然后轉化為關于生的函數(shù).【例2】(2021屆福建省福州一中高三五模)已知函數(shù).心=心一”七),”心討論/(x)的零點個數(shù)；若/(X)有兩個極值點玉,且力證明：/(沔)-/3)0/(、)0/()在(0,+8)上單調遞增，且/(l)=0,/(x)有且只有1個零點：Im,2時,=4”卩-8m=4m(w-2)0,/(x)在(0,+s)上單調遞增，且/(l)=0,故/(x)有且只有1個零點：m2時、J+(2-2/m)x+1=0有兩正根,叫=m-l-Vw2-2mx2=w-1+-Jm2-2m-ll于x/2=1,所以。西vl,L當0 xx)時。(x)單調遞增;x,xx2

4、時,g(x)0./,(x)。,/戻)10e-fl,2時/(x)有3個零點.(2)也次2方程j+(2w-2)x+l=0的根,(+2=2/2,n=1,%y，則也23,X2，m-XXX2XX2XlX2XX2（X2-X!）In 易 一 In X27_ In x2- In x；叼一也 Xzf2mX22I5 t2- *22 nx231n321n、2 .31n3所以籍囹*皿弋r即T*）=蘆=著心則g,（小空Xx（si）g在3,做）上單調遞減，所以g（x）g（3）=導，即半_14*2“I（三）與零點有關的雙變量問題與函數(shù)零點為,易有關的雙變量問題，一般是根據(jù)囘，邑是方程/（）=0的兩個根，確定而,易的關系，再

5、通過消元轉化為只含有凡或沔的關系式，再構造函數(shù)解題，有時也能夠把所給條件轉化為g的齊次式，然后轉化為關于丑的函數(shù)，有時也可轉化為關于x,-x2的函Xl數(shù)，若函數(shù)中含有參數(shù)，可考慮把參數(shù)消去，或轉化為以參數(shù)為自變量的函數(shù).【例3】（2021屆山西省名校聯(lián)考高三三模）己知函數(shù)f（x）=et-ax有兩個零點XyX2（XlX?）.（1）求實數(shù)”的取值范圍；（2）證明：x2-x,-2.x】【分析】（1）廣,當時/（X）在R上單調遞增*個省點，不符合當。0時,/（）在（*）上單調遞減，在上單調遞增,，（工烏=，（1%）=。（1-1宜）,若0e,則lnal,/（x）mm=。（1-曲）0.f（0）=10.0I

6、na0，得#=站-*=至=互旦,變形得x,=-_e2=ax2Xi而e-I欲證x2-x,-2.BP證y2（dT）.2即證”+件1,則方=田/：=電，兩式相除得/叫=5=當出=竺，玉e1=atxx1111欲證x2-x1-2.gp證1前戔d-2,即證（ln/）2+21n/-2/+2!）-,根據(jù)g）在（】,+8）上單調遞減證明.（四）獨立雙變量，各自構造一元函數(shù)此類問題一般是給出兩個獨立變量，通過變形,構造兩個函數(shù)，再利用導數(shù)知識求解.【例4】設/W=-+xlnx,g(x)=x3-x2-3.如果存在由*制0,2使得京g)-g(X2)渤成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M；如果對于任意的s,??；,2，都有凡

7、湖。成立，求實數(shù)。的取值范圍.【分析】(1)存在、皿丘0,2使得g(X|)-g(X2)n/成立,等價于gf.ri)-g(X2)wniV.由g(x)=.?-x2-3,得g(x)=3x2-2x=3x(x-).令gr(x)0得xvo或x|,令g，(x)v0得又xe0,2,-所以的在區(qū)間0,|單調遞減,在區(qū)間|,2單調遞增，285所以歡、)min=g(y)=-又g(0)=3g(2)=1/所以g(x)”m=g(2)=1.故0X1)-g(X2)f=g(xM-g(x)mm=卷M,則滿足條件的最大整數(shù)M=4.(2)對于任意的$，作，2,都有處)*)成立,等價亍在區(qū)間,2上，函數(shù)/(X),ing(X)mav,由

8、(1)可知在區(qū)間?,2上3)的最大值為g(2)=1.在區(qū)間；,2lj(x)二色+xlnxNl恒成立等價于ainx恒成立.設h(x)=x-x2nx,“(x)=l-2Hmr,令”?(x)=xlnx,由m,(x)=lnx+10得丄.e即m(x)=xnx在(-,*)上是增函數(shù),e可知(x)在區(qū)間?、2上是減函數(shù),乂(1)=0,所以當1勺V2時,/rw0；當jr0.即函數(shù)/(.r)=x-x2lnr在區(qū)間(土1)上單調遞増，在區(qū)間(1,2)上單調遞減，所以h(X)n,ax=h(1)=1/所以吃1,即實數(shù)。的取值范圍是1,+00)/獨立雙變量，換元構造一元函數(shù)當兩個以上的變元或是兩個量的確定關系在解題過程中

9、反復出現(xiàn).通過變量的四則運算后，把整體處理為-個變量，從而達到消元的目的.【例5】(2021東北三省三校高三四模)己知f(x)=e求關于*、的函數(shù)g(x)=-4/(-x)-5x的單調區(qū)間：e“+4仃Iea-ebI己知ab,證明：7a-b6【分析】(Dg3=/(e-l)(e-4),g的增區(qū)間為(*,0)和(ln4,g),減區(qū)間為(0,ln4).(2)a b Igb、b-awi，即不等式等價于/-i0I四、0時，若f(x)-2.a【解析】(I)廣()=!-。=寧當0恒成立，因為/=0、函數(shù)/()只有一個零點;當。0時函數(shù)/（X）在區(qū)間（0，!）單調遞增，在（!，+刁單調遞減.且/（1）=0：當0a

10、1，函數(shù)/（x）在區(qū)間（；）單調遞增，所以函數(shù)/在區(qū)間jo,：）只有一個零&任區(qū)間G，*o）有一個冬&當0。1時,函數(shù)，（x）在區(qū)冋單調遞增,在（!，+8）中調遞減=0.函數(shù)/（X）在區(qū)間（扌，+刁只有-個零點,/3）在區(qū)間以）上有個零點，當。1時,/（、）有兩個零點.（2）f（x）-ln-b,令g（）=flnfT_“0）,aaaa所以g（在（O,l）單調遞減，在（1，何）上單調遞增,g（Z）mjn=g（l）=-2.所以g（f）2-2，即纟2-2.a（七）獨立雙變量，通過放縮消元轉化為單變量問題此類問題一般是把其中一個變量的式子放縮成常數(shù)，從而把雙變量問題轉化為單變量問題.【例7】（2021屆

11、安徽省合肥高三下學期最后一卷）已知函數(shù)/W=xlnx.（I）求證：/W（e-l）【分析】(1)要證證不等式/(x)ex2-2x,UPiIFlnx0),出導函數(shù)，得出單的區(qū)間,求出其最小值，即可證明.交點橫坐標為，,（2）不妨設石5,由題意即方程f（x）=a有兩個不同實數(shù)根牟如在（0，!）上=以2一2工的圖象位于曲線*=/（）上方,設直線與拋物線=ex2-2xxgV1,所以xl-x2 = x2-xl工2-，,要證由=!一結合J）圖像知0 xi,；(e-l)+|j+-+I,EP證互何一1)。+1、即證(。_1)血!_：+10,設F(x)=(e-l)lnx-x+I,F=F(e)=O且，(、)=、！-

12、1,由F(x)0,解得1vxve-1,尸(x)0對昧()成立，因為10.工23丿三、典例展示【例1】己知函數(shù)/(x)=-v+lnx-I(ae/?).當e時，討論函數(shù)f(x)的單調性：若函數(shù)/恰有兩個極值點x,x2(xl0恒成立/(x)在(0,+co)上單調遞增;當0ae時，令廣(x)=0,則e”ar=0、設g(x)=ex-ax測g(x)=ex-a、當0 xna時,g(x)na時,g30,g(x)單調遞增,/.g(x)g(lna)=ena-ana=a(-na)0.AfM0J(x)在(0,+a)上單調遞增；綜上,當心&時,f(x)在(0,+8)上單調遞增：(2)依題意,廣3)=/(琴=0,則上一，

13、e2-ar,=0兩式相除得,=迫，設互=上則。1雙2=%，*収X1tint-XX2nt.”F設火片判5當5)，則g)=(頃設0(f)=r_：_21n，l),則武)=+宀_：=11210、)在(LT)單調遞增，則。)少(1)=0,./心)0、則仲)在(1,+時單調遞増，又Xj+x221n3-,HPA(Z)2.mn【解析】(I)解：/(X)的定義域為(0,+8),.廣(x)=1+扌號=尸-筍1令g(x)=j_2ox+i.，方程宀2心1=0的判別式A=4a2-4=4(a+l)(a-I),當，即-L,%1時,g(x)=x2-2ar+L.O恒成立,即對任意(0,2),/()=擊0、所以/在(0,+8)上

14、單調遞增.(ii)當().即。.當1時，由x2-2ax+1=0，解得a=a-ia1-,p=a+J疽-1.所以1LiOx0；時,g(x)0.所以在(0,a-&_)口J疽-1,+8)上f(x)0,在一T,a+%2_i).上f,(x)1時,(x)在和(。+&_1,+oo)上單調遞增，在(n-Ja2-l,a+0_1)上單調遞減.證明：由In”?=ln”+可得Inm一ln”=+-（”?,”0）mnmn得nm-In/?0，所以m0.少+因為.11.mm+n,Inw-Inw=-+-=In=-，mnnrnnm令=r,Mrl,ln/=,nm所以zw=T所以”?一”=丄二,In/tin/In/要證明m-”2、只需

15、證2,fr=-llzln/I”丿即證：/-j21n/（/1）由（1）可知,”=1時,/（x）=x-i-21nx在（0,+時I二是增函數(shù)，所以當fl時,/（。/，而/（1）=0,因1HU：2hV（fl）成立所以以-”2.【例3】（2021屆浙江省寧波市高三下學期5月仿真測試）己知ab0,aa=bh.（1）求】的取值范圍；（2）若方-,證明：|l-|2|l-fl|；（3）求所有整數(shù)。，使得c（a+b）ea+eh101=時與S=時矛盾；當力1時，有abl與0bb1,與a=尸矛盾;當Ovbvl時，有-l0則1時,由白=時得aa1：綜上所述：。1：（2）設/（x）=xlnx,則/（）=1+1心,汽*6,

16、用）時，廣0,則/在G，+）上遞增，因為aa=bh得白1%=-厶1糖,即/（。）=一，傳）,由（1）知，1,又1方，故要證|l-|2|l-t/|-BJ證a_llK2o-2即證心2.且q2號要證心22，需證f（a）/（2M）需證/（2M）+/（b）Z0.，設g（b）=/（2-b）+.W）,需證g（以/0由/傳) = ln占，又1對1，所以g0) = |n = vO所以g(b)在Q，l單調減，則g也)2g(l) = o,所以。V22成立，則a-b成立;-h13-/)要證心與蘆、由于1對丄,則心土蘆12e(號)，即證-需證4號卜,財、設機幻=/(所以g(b)在，1需證/()/3-b3-b23-b3-

17、h0max由W)= *芋-扣+禎=土笠2# 丫又以廿業(yè)卩卜孔旦牛罰,仲片小吝0e e) 23_123-1e故有/7(%) = 05-,所以/|也)在G，x。)單調減，在(如1)單調増又佃如+)/(。)300(1) = 0所以機嘰崩，則心，得1-庭2(。-1)所以|l-a|2|l-a|成立；(3)c(a+b),+ehb0所以點土&+1a+bea+eb2ea4b山ra+ba+ba+bF設j,=U,hj,，=b(：T)db=U(0,l)上單.調減，在(l,+8)上單調増xxx又因為la+b2則=畔122eea+eh2eatb2所以er1成立,求實數(shù)2的取值范圍.【解析】（1）.尸。）=小+奴.由題意

18、尸G）=Z=0./G）=q=_j.a=i.皐=i,b=o時,/(x)=xlnx,.尸=lnx+I,.當0 xv丄時/玉,有/（與）/3）,e.不等式g（再）頊呵）fM-fM/(W)-/GWg(x2)-g(X|)g(x,)-/(x,)或g(2)+/(也)g(統(tǒng))+/(務).為此構造函數(shù)F(x)=g(x)-/(x),G(x)=g(x)+/(x),xGf-!-,eljiJJ;.式等價于F(x)函數(shù)C為增函數(shù),G(x)為減函數(shù).先考慮F(x)=g(x)-/(.v)=-2x+A-lnx-10得人2x+Inx+1對Vxw-,e怛成立.函數(shù)伊(x)=2x+lnx+l在上單調遞增,9(玖級=傾。)=2+&、久

19、N2+2再考慮G,(x)=g(x)+/(x)=-2x+/l+lnx+lW0得2W2xInx1對Vxc-,e恒成立.令函y(x)=2x-lnx-I,VW(x)=2_L=2i，Gx&).當丄Wxv：時M(x)O#(x)單調遞增,e22頌()響=4!)=血2人WIn2綜上所述，實數(shù)人的取值范圍(To,ln2U2+2e,用).【例5(2021屆江蘇省泰州中學高三下學期四模)已知函數(shù)/()=竺存在唯一的極值點e為X。.ri求實數(shù)f的取值范圍；若xx2e(x0,-Ko).證明：1。+婦3旳)建+廣【解析】(1)由題意，函數(shù)/(、)=牛阿得/(x)的定義域為(0,做),且,偵成令g(x)=-tnx-X若，=

20、0,可得，(x)0;所以/(x)在(0,*o)上單調遞增，不合題意：若r0,X-t(i)若1+血(一：)20,即_c0.時,g(x)=L-flnx20,即尸(x)Z0,所以/在(0,-KO)上單調遞増，不合題意；(ii)若l+ln()0,即Z-e時,g()o,因為g(x)=,岫-+芝=伝+2，),則g()。，所以g(x)在(0,+oo)I.有兩個變號零點，所以，(x)有兩個極值點，不合題意：若，0、g(x)=-丁0、gC，=c-0,/(x)0,當KE(如代o)時,g(x)0.f(x)1，因為Xx0,x2吒，所以ln(Xj)0,ln(x2)O,ln(x,+x2)0.由(1)可知函數(shù)/(X)在上單調遞減，所以/(x1)/(x1+x2),/()/(xl+x2),即In，ln&+X2).Inx?血3+旳)e少eiem也)現(xiàn)證明不等式：?+蘭，其中。0,c,dc(O,*x)bab+a荊c a + c要證/丁赤，即證竺*bao + cb + d即證瀝d+ad2+b2c+bedabd+bed.即i正ad2+b2c0,易知成立m、丿InxInx?In.%+lnf血WIn x.x, .即而送ettlett：e,