對角化矩陣的應(yīng)用論文

1、 . PAGE18 / NUMPAGES23畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）對角化矩陣的應(yīng)用畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）承諾書本人重承諾：1、本論文（設(shè)計(jì)）是在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下，查閱相關(guān)文獻(xiàn)，進(jìn)行分析研究，獨(dú)立撰寫而成的.2、本論文（設(shè)計(jì)）中，所有實(shí)驗(yàn)、數(shù)據(jù)和有關(guān)材料均是真實(shí)的.3、本論文（設(shè)計(jì)）中除引文和致的容外，不包含其他人或機(jī)構(gòu)已經(jīng)撰寫發(fā)表過的研究成果.4、本論文（設(shè)計(jì)）如有剽竊他人研究成果的情況，一切后果自負(fù).學(xué)生（簽名）：2015 年4月25日對角化矩陣的應(yīng)用摘 要矩陣對角化問題是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)關(guān)鍵性問題.本文借助矩陣可對角化條件，可對角化矩陣性質(zhì)和矩陣對角化方法來研究可對角化矩陣一些應(yīng)用，包括求方陣的高次冪，

2、反求矩陣，判斷矩陣是否相似，求特殊矩陣的特征值，在向量空間中證明矩陣相似于對角矩陣，運(yùn)用線性變換把矩陣變?yōu)閷蔷仃?，求?shù)列通項(xiàng)公式與極限，求行列式的值.關(guān)鍵詞對角化；特征值；特征向量；矩陣相似；線性變換Application of diagonalization matrixAbstractMatrix diagonalization problem is the key issue in the matrix theory. In this paper, by using matrix diagonalization conditions, diagonalization matrix pr

3、operties and matrix diagonalization method we studysome applications of diagonalization matrix, including for high-order exponent of matrix, finding the inverse matrix, matrix to determine whether it is similar, the eigenvalue of special matrix, in the vector space that matrix similar to a diagonal

4、matrix, using linear transformation matrix is a diagonal matrix, for the series of general term formula and limit, the determinant of value.Key words The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation 目 錄TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc23482 引 言1 HYPERLINK l _Toc29367 1矩陣對

5、角化1 HYPERLINK l _Toc32354 1.1矩陣對角化的幾個(gè)條件1 HYPERLINK l _Toc28393 1.2對角化矩陣的性質(zhì)3 HYPERLINK l _Toc4716 1.3 矩陣對角化的方法5 HYPERLINK l _Toc31118 2對角化矩陣的應(yīng)用5 HYPERLINK l _Toc31834 2.1求方陣的高次冪5 HYPERLINK l _Toc971 2.2反求矩陣6 HYPERLINK l _Toc21670 2.3判斷矩陣是否相似7 HYPERLINK l _Toc10363 2.4求特殊矩陣的特征值7 HYPERLINK l _Toc9725 2

6、.5在向量空間中應(yīng)用7 HYPERLINK l _Toc7654 2.6在線性變換中應(yīng)用7 HYPERLINK l _Toc4747 2.7求數(shù)列通項(xiàng)公式與極限8 HYPERLINK l _Toc16537 2.8求行列式的值11 HYPERLINK l _Toc20256 2.9對角化矩陣在其他方面的應(yīng)用12 HYPERLINK l _Toc12539 參考文獻(xiàn)14 HYPERLINK l _Toc17673 致 15引 言現(xiàn)如今，我們所提到的矩陣對角化其實(shí)質(zhì)指的就是矩陣和對角陣存在相似的地方,其中我們學(xué)過的線性變換也是可對角化的,其原理是指在某一組基的作用下這個(gè)線性變換可以變?yōu)閷顷嚕ɑ蛘?/p>

7、可以說是在某一組基的作用下這個(gè)線性變換的矩陣是可對角化的）,當(dāng)然剛剛提到的這個(gè)問題其實(shí)我們可以把它歸類到矩陣是否可對角化的問題中去，因?yàn)槠鋬烧弑旧砭褪窍噍o相成的.當(dāng)然本篇文章我們主要是研究和探索判定矩陣可對角化的諸多條件，以與我們?nèi)绾稳ミ\(yùn)用矩陣對角化的有關(guān)性質(zhì)，來把將矩陣化為對角形的問題進(jìn)行解決.與此同時(shí)，我們也在研究和探索中發(fā)現(xiàn)了它在其他方面一些重要的運(yùn)用.1矩陣對角化 我們所涉與的矩陣都是可以對角化的，其原理是指通過矩陣的一系列初等變換（指：行、列變換）后,就能夠得到一個(gè)特殊的矩陣,其特殊性在于只有在其主對角線的數(shù)上不全為零，然而其他位置的數(shù)則是全部為零（那么這個(gè)特殊的矩陣就可以被我們稱為

8、對角陣）,這一整個(gè)的變換過程就被我們稱為矩陣的對角化.當(dāng)然值得我們注意的是，我們所學(xué)過的矩陣并非都能對角化的，這個(gè)是有條件限制的.1.1矩陣對角化的幾個(gè)條件引理設(shè),且,則存在可逆矩陣,使可同時(shí)對角化. 引理如果的個(gè)對角元互不一樣,矩陣,那么當(dāng)且僅當(dāng)本身就是對角陣.因?yàn)槿魏我粋€(gè)冪等矩陣一定相似于一個(gè)對角矩陣,所以任何一個(gè)對角矩陣都是能夠進(jìn)行譜分解的,即,其中是矩陣的特征值,矩陣為冪等矩陣，那么是否任意有限個(gè)冪等矩陣的線性組合都可以對角化呢？有如下結(jié)論：定理若是個(gè)數(shù),是個(gè)冪矩陣,并且他們兩兩可替換,則矩陣可對角化.證明 若是個(gè)冪矩陣,并且兩兩可換，則一定有一個(gè)可逆矩陣,使得,可同時(shí)對角化.,由知同

9、樣是對角矩陣,即矩陣為對角化的矩陣.定理如果,是它兩個(gè)不一樣的特征值,那么矩陣可對角化一定有冪等矩陣,滿足.證明 必要性：如果是一個(gè)對角化的矩陣,那么就一定會有一個(gè)可逆的矩陣,滿足是一個(gè)對角陣.,并且相似于,若為冪矩陣,則一定有一個(gè)冪矩陣滿足.充分性：若存在使得,因?yàn)槭莾缇仃?所以一定會有一個(gè),滿足,因此，,即矩陣為可對角化的.定理設(shè)矩陣存在個(gè)不同的特征值,則對于矩陣,當(dāng)且僅當(dāng)矩陣同時(shí)可以對角化.證明 必要性 若矩陣存在個(gè)特征值,且這些特征值是互不一樣的數(shù)，則矩陣為對角化的矩陣.設(shè),其中,則,即與是可以進(jìn)行交換的,因此得知是對角矩陣,且矩陣也是為對角化的矩陣.充分性 如果矩陣可以同時(shí)進(jìn)行對角化

10、,那么一定存在一個(gè)可逆陣,使得,(其中為對陣),因此我們可以通過上述的一系列條件，來求出的特征值，且這是兩個(gè)相互不同的數(shù).從而我們得出了矩陣對角化的成立的條件：如果這個(gè)條件成立，那么就認(rèn)為矩陣可對角化,否則就認(rèn)為矩陣不能可對角化,其中.1.2對角化矩陣的性質(zhì)定理設(shè)為數(shù)域上的一個(gè)階的矩陣,且它為可對角化的，是的相互不同的特征根,則一定會有階的滿足(1)；(2)是單位矩陣；(3)；(4),其中.證明 （1）如果可對角化,那么在數(shù)域上一定會存在一個(gè)可逆矩陣,并且它的階數(shù)為階，滿足,其中的重?cái)?shù)為,由于矩陣,將它記為,因此，,將其記為,其中,所以.(2)如果每個(gè)為對角形的冪矩陣,那么,故.(3)如果,那

11、么,故.(4)當(dāng)時(shí),為零矩陣,故.例1 在數(shù)域上，若已知的三個(gè)特征根分別是,則一定會有一個(gè),滿足,其中,將矩陣,記,則其中,于是,并且滿足：(1)；(2)；(3)；(4).可以通過一個(gè)比較具體的可對角化矩陣,很直觀地反映上述所說的性質(zhì)是成立的.1.3 矩陣對角化的方法1.3.1 運(yùn)用矩陣初等變換的方法在數(shù)域上,一個(gè)維空間,研究和探討它能否可以找到一組基，并且在此基的作用下，所有的矩陣都是對角化的矩陣；發(fā)現(xiàn)這種基存在時(shí), 如何去探索它是一個(gè)線性代數(shù)學(xué)上相當(dāng)重要的問題,可以利用矩陣的初等變換的方法來解決此問題.當(dāng)發(fā)現(xiàn)矩陣不能夠?qū)崿F(xiàn)對角化的時(shí)候,同樣可以經(jīng)過相近的一系列變換后，化簡出矩陣,并且能夠判

12、定它是否可以對角化.類似地,可有矩陣,做如下的初等變換,則可以將矩陣化簡為對角形矩陣,并且可以求得或由求的一系列特征值.1.3.2 求解齊次方程組的方法設(shè)矩陣是實(shí)對稱矩陣,則求證交矩陣使得的問題,一般的解法為：(1)求其特征值；(2)求其對應(yīng)的特征向量；(3)寫出矩陣與. 從而可以求出正交矩陣,可以避免了商的繁瑣運(yùn)算. 定理 設(shè)是實(shí)對稱矩陣,則有,對應(yīng)于,記由生成的一個(gè)空間,且由生成的空間.2對角化矩陣的應(yīng)用2.1求方陣的高次冪例2 設(shè)在數(shù)域上，有一個(gè)二維的線性空間,是這個(gè)線性空間的一組基,那么線性變換在這組基的作用下的矩陣,試通過上述給出的條件計(jì)算出矩陣.解 通過分析上述的條件，我們應(yīng)該先計(jì)

13、算線性變換在線性空間的另一組基作用下的矩陣,令,則,易知,再運(yùn)用上面得出的幾個(gè)關(guān)系,即.2.2反求矩陣?yán)? 設(shè)有一個(gè)實(shí)對稱矩陣，且它的階數(shù)為階，已知,對應(yīng)于,求解解 根據(jù)矩陣是階實(shí)對稱矩陣的條件,我們可以推出矩陣可以對角化的結(jié)論,即得出矩陣是由三個(gè)線性無關(guān)的特征向量組成的結(jié)論,并且對應(yīng)于,因?yàn)樗驼?即,所以可以求出,它們分別對應(yīng).取,則,于是.2.3判斷矩陣是否相似例4 請判斷下述三個(gè)矩陣是否會相似.解 我們可以很容易的得出三個(gè)矩陣的特征值分別都是(二重),其中矩陣已經(jīng)是對角陣,所以我們只需要進(jìn)一步判斷兩個(gè)矩陣是否都可以對角化.通過,可以推出,因?yàn)?是一個(gè)二重的特征值,但是卻只有一個(gè)特征向

14、量與之所對應(yīng),那么我們可以推出矩陣與矩陣不相似的結(jié)論.通過,得出,通過，,得出,通過上述所推出的結(jié)論，我們可知矩陣有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,即矩陣與矩陣這兩個(gè)矩陣相似.2.4求特殊矩陣的特征值例設(shè)有一個(gè)實(shí)對稱矩陣，并且它的階數(shù)為階，滿足,求出的全部特征值 解 假設(shè)為矩陣的一個(gè)特征值,而我們令為矩陣的特征向量,它對應(yīng)于特征值，因?yàn)?所以,又因?yàn)?所以,即,由此我們可以推出,根據(jù)矩陣是實(shí)對稱矩陣的這個(gè)條件,我們可以斷定矩陣一定能夠進(jìn)行對角化,即,與,所以的秩數(shù)就是的個(gè)數(shù),以與有個(gè)和個(gè)的特征值.2.5在向量空間中應(yīng)用例在維的空間中,有一個(gè)復(fù)矩陣，并且它的階數(shù)為階，還有一個(gè)復(fù)數(shù),令,則矩陣相似于對角陣

15、,并且.證明 因?yàn)閷τ谌我庖粋€(gè),則有和,所以.又因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)矩陣相似于對角陣,所以我們可以推出與兩個(gè)的解空間是完全一樣的，即2.6在線性變換中應(yīng)用 例設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)全體,且它是一個(gè)次數(shù)小于的多項(xiàng)式與零多項(xiàng)式，則請通過所學(xué)的進(jìn)一步判斷在的任一組基下，矩陣通過微分變換能否變?yōu)閷切尉仃囎C明 如果取,那么矩陣可以表示為,所以有. 如果在某一組基的作用下，微分變換的矩陣為對角矩陣,由已知的矩陣可推出矩陣可對角化,那么就會存在一個(gè)可逆矩陣能夠使得,所以. 通過已知的微分變換的全為零,可以推出,這是不可能的,所以在的任何一組基的作用下，微分變換的矩陣都不可能成為對角陣2.7求數(shù)列通項(xiàng)公式與極限例設(shè)兩個(gè)數(shù)列都

16、滿足條件,則請求解.解 把已知條件中的幾個(gè)遞推關(guān)系組,通過化簡改寫成下面的列矩陣的形式：,由和,可以求出的,并且分別對應(yīng).取,則,從而,因此,并且.例9 已知這四個(gè)條件,請證明存在并且相等,給出證明過程，同時(shí)請求出這兩個(gè)的極限值.證明 把已知條件中的遞推關(guān)系組作進(jìn)一步簡化推出,然后再改寫為另一種矩陣的形式：,由和,可以求出的,并且分別對應(yīng),取,則,因?yàn)?所以,即.例10 設(shè)有,這三個(gè)條件,請求出.解 從已知的三個(gè)條件可以推出,以與,令,則,所以,由和,求得的,并且分別對應(yīng).取,令,則,從而推出：,即,.例11 設(shè),求.解 令,根據(jù)條件,將其簡化為,然后再寫成矩陣,由和,求出的,且分別對應(yīng)的是,

17、取,則,即.2.8求行列式的值 例 設(shè)有一個(gè)階的行列式，化簡并求出它的值.,解 按照第一列展開的,可以寫成矩陣的另外一種形式,記矩陣,則,通過,我們可以計(jì)算出矩陣的,且分別對應(yīng),取,則,推出,即.例13設(shè)有一個(gè)實(shí)對稱矩陣,并且它的階數(shù)是階，滿足條件,且為矩陣的秩,通過上述條件求出行列式的值.解 因?yàn)?所以有.因?yàn)?所以,.因?yàn)榫仃囀且粋€(gè)階的實(shí)對稱矩陣,所以它相似于對角矩陣,又因?yàn)榫仃嚨闹葹?所以一定會存在一個(gè)可逆矩陣,可以使得,其中矩陣表示的是階單位矩陣,所以可以推出.2.9對角化矩陣在其他方面的應(yīng)用 例14 在某個(gè)城市的就業(yè)數(shù)據(jù)中顯示，一共有萬人從事著不同的三種行業(yè),分別是農(nóng)業(yè)、工業(yè)、經(jīng)商，

18、假設(shè)在幾年之間這個(gè)從業(yè)總?cè)藬?shù)都會保持不變,而且經(jīng)過整個(gè)社會的普查顯示: (1)在這個(gè)城市的萬人中,投身于農(nóng)業(yè)的有萬人,工業(yè)的有萬人,經(jīng)商的有萬人； (2)在投身于農(nóng)業(yè)的人中,每年大概有的人轉(zhuǎn)行去經(jīng)商,的人轉(zhuǎn)行去做工業(yè)； (3)在投身于工業(yè)的人中,每年大概有的人轉(zhuǎn)行去干農(nóng)業(yè),的人轉(zhuǎn)行去經(jīng)商； (4)在投身于經(jīng)商的人中,每年大概有的人轉(zhuǎn)行去做工業(yè),的人轉(zhuǎn)行去干農(nóng)業(yè).現(xiàn)在請大概預(yù)測一下，在未來的一、二年以后,從事這三個(gè)行業(yè)的人數(shù),以與經(jīng)歷多年以后,從事這三個(gè)行業(yè)的人員總數(shù)會有什么樣的一個(gè)發(fā)展趨勢.解 第年后還從事這三種行業(yè)的人員總數(shù),我們會用一個(gè)維的向量去表示它，則.如果想要求,并且能夠很精確地考察

19、在時(shí),的一個(gè)發(fā)展趨勢,那么我們必須要引用一個(gè)階矩陣,它的作用是用來體現(xiàn)從事這三種職業(yè)人員之間的轉(zhuǎn)移情況.那我們就能夠得出矩陣,通過矩陣的乘法法則，我們可以得出,所以,如果要繼續(xù)進(jìn)一步精確地分析,那么必須要事先計(jì)算矩陣的次冪,所以我們先可以將矩陣進(jìn)行對角化,所以能夠得出特征值,三個(gè)特征值分別代表其求出的所對應(yīng)的三個(gè)特征向量,于是令,則就會有矩陣,從而推出,當(dāng)時(shí),矩陣將趨向于,從而推出矩陣將趨向于,因?yàn)榫仃嚫覀円呀?jīng)確定下來的常量非常接近,所以可以得出亦必趨于,再通過的轉(zhuǎn)化，就能夠準(zhǔn)確得知必需要滿足條件,進(jìn)而可以推斷出是矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量,按照上面所講述的規(guī)律轉(zhuǎn)移,經(jīng)過許多年以后，那么這

20、三種職業(yè)的從業(yè)人數(shù)一定會趨于相等, 三者平均下來為萬人.參考文獻(xiàn)1大學(xué)教學(xué)系幾何與代數(shù)教研室高等代數(shù)(第二版)M：高等教育,19882胡顯佑主編線性代數(shù)摯習(xí)指導(dǎo)M：南開大學(xué),19973九蘭,乃一,曲問薄主編線性代數(shù)考研M：大學(xué),2000.54國瑞主編線性代數(shù)與應(yīng)用M：高等教育.19995學(xué)元主編線性代數(shù)能力試題題解M：華中理工大學(xué),20006徐仲主編線性代數(shù)典型題分析解集M西北工業(yè)大學(xué),1998,67樊輝,錢主編,代數(shù)學(xué)辭典M：華中師大學(xué)出艋社1994,128錫皓高等代數(shù)M：師大學(xué),19879遠(yuǎn)達(dá)線性代數(shù)原理M：科學(xué),198110Kline Morris. Mathematical Thoug

21、ht from Ancient to Modern TimesM.New York: OxfordUniversity Press, 1972.11Rebollo-Neira L，F(xiàn)ernandez Rubio J.On the Inverse Windowed Fourier transformMIEEET ranks on Information Theory，1999.12 HYPERLINK ://xpl/login.jsp?tp=&arnumber=6094250&url= ://xpls/abs_all.j

22、sp?arnumber=6094250 o Babaie-Zadeh，M. HYPERLINK ://xpl/login.jsp?tp=&arnumber=6094250&url= ://xpls/abs_all.jsp?arnumber=6094250 o Jutten, C.， HYPERLINK ://xpl/login.jsp?tp=&arnumber=6094250&url= ://xpls/abs_all.jsp?arnumber=

23、6094250 o Mohimani, H. HYPERLINK :/d.wanfangdata .cn/NSTLQK_NSTL_QKJJ0224719662.aspx On the Error of Estimating the Sparsest Solution of Underdetermined Linear SystemsM2011.致 在開始準(zhǔn)備著手寫論文到最后定稿的整個(gè)過程中,指導(dǎo)教師XXX老師都是非常耐心和細(xì)心的引導(dǎo)我和幫助我,在此我向王老師表示由衷的感.王老師的嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)態(tài)度讓我受益匪淺.在畢業(yè)論文寫作的這段時(shí)間里,他時(shí)時(shí)刻刻關(guān)心著我的畢業(yè)論文的完成情況,并且經(jīng)常給我指出畢業(yè)論

24、文中的缺點(diǎn)與需要改正的地方,最后才能使得我可以順利完成畢業(yè)論文.與此同時(shí)，我很感所有給過我?guī)椭睦蠋?、同學(xué)以與一起努力奮斗過的好朋友.畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說明原創(chuàng)性聲明本人重承諾：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文），是我個(gè)人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作與取得的成果。盡我所知，除文中特別加以標(biāo)注和致的地方外，不包含其他人或組織已經(jīng)發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得與其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使用過的材料。對本研究提供過幫助和做出過貢獻(xiàn)的個(gè)人或集體，均已在文中作了明確的說明并表示了意。作 者 簽 名：日 期：指導(dǎo)教師簽名： 日期：使用授權(quán)說明本人完全了解大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的規(guī)定，即：按照學(xué)校要求提交畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的印刷本和電子版本；學(xué)校有權(quán)保存畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的印刷本和電子版，并提供目錄檢索與閱覽服務(wù)；學(xué)?？梢圆捎糜坝?、縮印、數(shù)字化或其它復(fù)制手段保存論文；在不以贏利為目的前提下，學(xué)校可以公布論文的部分或全部容。