18債券組合信用VaR度量ppt課件

1、第18章 債券組合信譽(yù)VaR度量清華大學(xué)經(jīng)管學(xué)院 朱世武ZResdat樣本數(shù)據(jù)：ressetSAS論壇： resset計算單只債券的信譽(yù)風(fēng)險信譽(yù)評級轉(zhuǎn)移概率 債券信譽(yù)風(fēng)險指由于信譽(yù)質(zhì)量改動而引起的價值變動的風(fēng)險。每個債券信譽(yù)質(zhì)量用8種評級之一來表示(AAA AA A BBB BB B CCC Default)。 不僅違約會導(dǎo)致風(fēng)險，而且升降級引起的價值變化也會導(dǎo)致風(fēng)險。所以需求估計風(fēng)險期內(nèi)信譽(yù)評級轉(zhuǎn)移到其他任何能夠信譽(yù)形狀的概率。債券發(fā)行者的信譽(yù)級別決議了債券在風(fēng)險期內(nèi)違約或者轉(zhuǎn)移到任何能夠信譽(yù)評級的概率。 A級, AAA級和BBB級債券一年后的信譽(yù)評

2、級轉(zhuǎn)移概率圖18.1 信譽(yù)等級轉(zhuǎn)移實例1年風(fēng)險期 經(jīng)過觀測大量公司的信譽(yù)評級歷史數(shù)據(jù)來得到轉(zhuǎn)移概率。這隱含兩個假設(shè)：(1) 假設(shè)一切公司的信譽(yù)評級是正確的；(2) 假設(shè)具有一樣信譽(yù)級別的一切公司未來表現(xiàn)行為一致轉(zhuǎn)移到其他信譽(yù)級別的概率均一樣。 下頁表中用矩陣表示一切級別債券的轉(zhuǎn)移概率。 表18.1年期轉(zhuǎn)移概率矩陣 初始評級(Initial rating)年末評級 (Rating at year end(%)AAAAAABBBBBBCCCDefaultAAA90.818.330.680.060.12000AA0.7090.657.790.640.060.140.020A0.092.2791.05

3、5.520.740.260.010.06BBB0.020.335.9586.935.308BB0.030.140.677.7380.538.841.001.06B036.4883.464.075.20CCC0.2200.221.302.3811.2464.8619.79表18.1最左邊一列是債券當(dāng)前的信譽(yù)評級，沿著那行的各列是風(fēng)險期末的評級。例如，左下角的數(shù)字0.22闡明了一個信譽(yù)評級為CCC的債券在1年末轉(zhuǎn)移到AAA信譽(yù)級別的概率是0.22。 債券定價確定了單只債券在風(fēng)險期末轉(zhuǎn)移到任何能夠信譽(yù)形狀的概率后，就可以確定風(fēng)險期末相應(yīng)信譽(yù)形狀上債券的價值

4、。每個轉(zhuǎn)移形狀計算一次價值，因此每只債券有8個新定價。這8個定價可分為兩類。第一類，在違約情況下，需求基于債券的優(yōu)先級估計恢復(fù)率。第二類，在升降級的情況下，需求估計由于信譽(yù)評級變化導(dǎo)致的信譽(yù)價差的變化，即經(jīng)過計算債券在新的收益率下，剩余現(xiàn)金流的現(xiàn)值來估計它的新價值。違約形狀下的定價假設(shè)債券信譽(yù)評級轉(zhuǎn)移到違約，那么恢復(fù)后殘留凈值將依賴于債券的優(yōu)先級。表2提供了違約形狀下的恢復(fù)率和恢復(fù)率的規(guī)范差。 表18.2 恢復(fù)率面值優(yōu)先級均值Mean（%）標(biāo)準(zhǔn)差standard deviation（%）優(yōu)先有擔(dān)保（Senior secured）53.8026.86優(yōu)先無擔(dān)保（Senior unsecured）

5、51.1325.45優(yōu)先次級（Senior subordinated）38.5223.81次級（Subordinated）32.7420.18次次級（Junior Subordinated）17.0910.90 表18.2給出了恢復(fù)率均值中間列和恢復(fù)率的規(guī)范差最后一列。例如，有一個BBB級的債券是優(yōu)先無擔(dān)保的面值100美圓，那么它違約時的均值為面值的51.13，恢復(fù)率的規(guī)范差是25.45。假設(shè)該債券發(fā)生違約，那么它的價值為：V=100*51.13=51.13美圓。升降級形狀下的定價(1) 得到每一個評級類別的一年期遠(yuǎn)期利率曲線。遠(yuǎn)期利率從風(fēng)險期末開場到債券到期。(2) 利用這些遠(yuǎn)期利率數(shù)據(jù)，對

6、各個級別債券的剩余現(xiàn)金流進(jìn)展定價。假設(shè)有一個BBB級債券，面值為100美圓，5年到期，息票率為6%。假定各個級別債券1年后的遠(yuǎn)期利率由表3給出。 表3 1年后的遠(yuǎn)期利率曲線 級別(Category)一年(Year1)二年(Year2)三年(Year3)四年（Year4）AAA3.604.174.735.12AA3.654.224.785.17A3.724.324.935.32BBB4.104.675.255.63BB5.556.026.787.27B6.057.028.038.52CCC15.0515.0214.0313.52假定1年末該BBB級債券晉級到A，價值用下面的公式來表示：上式計算了

7、1年末該BBB級債券晉級到A級時的價值。對轉(zhuǎn)移到一切級別債券完成類似計算，可得表4。 表4 BBB級債券轉(zhuǎn)移到相應(yīng)級別的年末價值 年末評級（Year-end rating）年末債券價值（美元）（value($)）AAA109.37AA109.19A108.66BBB107.55BB102.02B98.10CCC83.64Default51.13估計信譽(yù)風(fēng)險根據(jù)前面的數(shù)據(jù)和計算公式，得到BBB債券的年末價值和信譽(yù)評級轉(zhuǎn)移概率如表18.5所示。 表5 BBB級債券的年末價值和信譽(yù)評級轉(zhuǎn)移概率年末評級（Year-end rating）狀態(tài)概率（probability of state(%)）年末債券

8、價值（new bond value($)）AAA0.02109.37AA0.33109.19A5.95108.66BBB86.93107.55BB5.30102.02B1.1798.10CCC0.1283.64Default0.1851.13規(guī)范差作為信譽(yù)風(fēng)險的度量目的設(shè) 為形狀轉(zhuǎn)移概率， 為相應(yīng)形狀下的價值表5的第2，3列。計算均值 和規(guī)范差 ：由信譽(yù)級別變化而引起的價值變化的規(guī)范差為$2.99，此值為一種信譽(yù)風(fēng)險值，假設(shè)進(jìn)一步假設(shè)價值服從正態(tài)分布，可得置信程度為99%的信譽(yù)風(fēng)險值為$6.96=2.99*2.33, 其中， SAS函數(shù)probit(.0.01)= -2.33，99%置信程度對

9、應(yīng)的分位數(shù)為1%。 均值與百分位數(shù)的差作為信譽(yù)風(fēng)險的度量目的表18.5顯示了BBB級債券在風(fēng)險期末任何給定信譽(yù)級別的概率和價值。假設(shè)要計算BBB級債券年末價值的1%分位數(shù)，計算過程如下。從表18.5的底部違約形狀開場，然后逐漸晉級到AAA級形狀。向上挪動的同時，計算概率和。當(dāng)這個概率和第一次到達(dá)或超越1%時，所對應(yīng)的值就是該債券年末價值的1%分位數(shù)。詳細(xì)過程：違約形狀時概率是0.18，該值小于1%，向上挪動到CCC形狀；違約和CCC的概率和是0.300.18+0.12，依然小于1%，繼續(xù)向上挪動；違約，CCC，B三者概率和等于1.470.30+1.17，該值超越了1%，因此，停頓挪動。這時，相

10、應(yīng)的年末價值等于98.10美圓，這就是債券年末價值的1%分位數(shù)，它與均值的差為8.97美圓$107.07- $98.10=$8.97。 BBB級債券的信譽(yù)風(fēng)險為：$107.07- $98.10=$8.97.計算債券組合的信譽(yù)風(fēng)險結(jié)合概率這里只思索包括兩個特定債券的組合。兩個債券在能夠的轉(zhuǎn)移期限內(nèi)，有88=64個能夠的形狀。獲得結(jié)合概率的最簡一方法是假設(shè)兩個債券信譽(yù)級別變化是獨立的，這時，結(jié)合概率是單個概率的乘積。如下表18.6中所示，兩個債券BBB級和A級堅持他們原先的級別的結(jié)合概率就是79.15。等于86.93BBB級期末仍舊堅持在BBB級的概率與91.05A級債券期末仍堅持在A級的概率的乘

11、積：79.1586.9391.05。 表18.6 兩獨立債券BBB級和A級的結(jié)合轉(zhuǎn)移概率BBB級 A級AAAAAABBBBBBCCCDefault0.092.2791.055.520.740.260.010.06AAA0.020.000.000.020.000.000.000.000.00AA0.330.000.010.300.020.000.000.000.00A5.950.010.145.420.330.040.020.000.00BBB86.930.081.9879.154.800.640.230.010.05BB5.300.000.124.830.290.040.010.000.00B

12、1.170.000.031.060.060.010.000.000.00CCC0.120.000.000.110.010.000.000.000.00Default0.180.000.000.160.010.000.000.000.00資產(chǎn)收益率模型 假設(shè)兩個債券信譽(yù)級別的變化相互獨立是不現(xiàn)實的，由于他們信譽(yù)評級的變化至少受同樣的宏觀經(jīng)濟(jì)變量的影響。因此其信譽(yù)評級或違約率的變化將具有某種程度的相關(guān)性但由于是實踐違約資料的稀缺性，導(dǎo)致很難察看或估計信譽(yù)等級的結(jié)合轉(zhuǎn)移情況。下面給出了一種處理方案，即引入公司資產(chǎn)收益率模型，該模型將公司資產(chǎn)收益率與信譽(yù)級別聯(lián)絡(luò)起來。令Z表示資產(chǎn)收益率。將債券的信譽(yù)等

13、級變動與發(fā)行公司的權(quán)益價值變動相結(jié)合，將信譽(yù)評級的變化轉(zhuǎn)換為由一些相對應(yīng)的資產(chǎn)收益率門檻值來表示。圖18.2 未來一年能夠的資產(chǎn)收益率門檻值與相應(yīng)的信譽(yù)評級變化以BB級債券為例 圖18.2中橫軸的不同Z值表示BB級債券的資產(chǎn)收益率門檻值，例如， 表示債務(wù)人發(fā)生違約； 表示發(fā)債公司的等級被降為CCC級。 這樣，知道公司的資產(chǎn)收益率門檻值，就可以得出信譽(yù)評級的變化。所以，這里只需求對公司的資產(chǎn)收益率門檻值變化建模就可以了。 假設(shè)公司資產(chǎn)收益率的變化是正態(tài)分布，均值為 ，規(guī)范差為 。下面以BB級債券為例，闡明由債券評級轉(zhuǎn)移概率計算資產(chǎn)收益率門檻值的方法。 表18.7中第一列為BB級債券未來一年的轉(zhuǎn)移

14、概率。由于假設(shè)資產(chǎn)收益率Z服從正態(tài)分布，那么經(jīng)過下面評級轉(zhuǎn)移概率與資產(chǎn)收益率門檻值之間的關(guān)系， 依次可求得各等級的收益率門檻值，如表18.7中第4列。上式中 代表規(guī)范正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。 表18.7 BB級債券評級轉(zhuǎn)移概率與收益率門檻值評級轉(zhuǎn)移概率由轉(zhuǎn)移概率計算資產(chǎn)收益率門檻值的公式BB級債券資產(chǎn)收益率門檻值A(chǔ)AA0.03AA0.14A0.67BBB7.73BB80.53B8.84CCC1.00Default1.06這里沒有給出 的值，由于任何高于 的收益率意味著晉級到AAA。 如今思索另一個A級債券。同樣假設(shè)A級債券資產(chǎn)收益率的變化是正態(tài)分布，均值為 ，規(guī)范差為 。 由 表示其對應(yīng)的資產(chǎn)

15、收益率，它的資產(chǎn)收益率門檻值由 等表示。A級債券的轉(zhuǎn)移概率和資產(chǎn)收益率門檻值如表18.8所示。 表18.8 A級債券轉(zhuǎn)移概率和資產(chǎn)收益率門檻值評級（Rating）概率（Probability）A級債券資產(chǎn)收益率門檻值A(chǔ)AA0.09%AA2.27%A91.05%BBB5.52%BB0.74%B0.26%CCC0.01%Default0.06% 為了描畫兩個債券信譽(yù)評級的結(jié)合變化，假設(shè)這兩個資產(chǎn)收益率服從相關(guān)系數(shù)為 的二元正態(tài)分布。這樣，就可以利用資產(chǎn)收益率門檻值來計算兩個債券的信譽(yù)評級結(jié)合轉(zhuǎn)移概率。 例如，希望計算兩個債券均堅持當(dāng)前信譽(yù)評級不變的概率。即BB級對應(yīng)的資產(chǎn)收益率在 到 之間，A級對

16、應(yīng)的資產(chǎn)收益率在 到 之間。假設(shè)兩個資產(chǎn)收益率是獨立的 ，那么這個結(jié)合概率是80.53BB堅持在BB的概率與91.05A堅持在A的概率的乘積。 假設(shè) 不等于0，那么結(jié)合概率為：其中， 是相關(guān)系數(shù)為 的二元正態(tài)分布的密度函數(shù)。即，此處可以令 資產(chǎn)收益率門檻值規(guī)范化。表18.9 BB級和A級債券的結(jié)合評級轉(zhuǎn)移概 BB級A級AAAAAABBBBBBCCCDefault0.092.2791.055.520.740.260.010.06AAA0.030.000.000.030.000.000.000.000.00AA0.140.000.010.130.000.000.000.000.00A0.670.0

17、20.040.610.010.000.000.000.00BBB7.730.070.320.010.000.00BB80.530.001.7973.654.240.560.180.010.04B8.840.000.087.800.790.130.050.000.01CCC1.000.000.010.850.110.020.010.000.00Default1.060.000.010.900.130.020.010.000.00 一樣的方法可以計算兩個債券的64個結(jié)合評級轉(zhuǎn)移概率，假設(shè) ，利用SAS編程求得概率如表18.9所示。 組合信譽(yù)風(fēng)險用規(guī)范差作為信譽(yù)風(fēng)險丈量目的時

18、的相關(guān)公式：兩項資產(chǎn)： 更普通的，當(dāng)組合資產(chǎn)為n項 ，各項均值為 ，方差為 。令 ，那么組合的方差為： 三項資產(chǎn)組合的規(guī)范差：實踐運(yùn)用時，運(yùn)用下面的向量方式方便計算。計算兩債券組合信譽(yù)風(fēng)險值的sas程序：以18.2.2中的兩只債券組合為例，一只為BB級債券，另一只為A級債券。proc iml;recovery=53.80,51.13,38.52,32.74,17.09; /* 創(chuàng)建恢復(fù)率矩陣 */recovery=recovery/100;forward=3.60 4.17 4.73 5.12,3.65 4.22 4.78 5.17,3.72 4.32 4.93 5.32,4.10 4.67

19、5.25 5.63,5.55 6.02 6.78 7.27,6.05 7.02 8.03 8.52,15.05 15.02 14.03 13.52; /* 一年期遠(yuǎn)期利率矩陣 */forward=forward/100;par=100;coupon=0.06;tran=90.81 8.33 0.68 0.06 0.12 0 0 0,0.70 90.65 7.79 0.64 0.06 0.14 0.02 0,0.09 2.27 91.05 5.52 0.74 0.26 0.01 0.06,0.02 0.33 5.95 86.93 5.30 1.17 0.12 0.18,0.03 0.14 0.6

20、7 7.73 80.53 8.84 1.00 1.06,0 0.11 0.24 0.43 6.48 83.46 4.07 5.20,0.22 0 0.22 1.30 2.38 11.24 64.86 19.79;/* 一年期等級轉(zhuǎn)移概率矩陣 */tran=tran/100;rating=5 3;/* 對應(yīng)等級BB,A */prob=t(tranrating,);v=80;do i=1 to 7;vi=coupon*par*(1+1/(1+forwardi,1)+1/(1+forwardi,2)#2+1/(1+ forward i,3)#3+1/(1+ forward i,4)#4)+par/(

21、1+ forward i,4)#4;end; /* 一年后的價值 */v8=par*recovery2;z=J(9,2,0); /* 創(chuàng)建9行2列元素全為0矩陣 */z9,=-40;z1,=8;z8,=probit(prob8,);do i=7 to 2 by -1;zi,=probit(probi,+probnorm(zi+1,);end;btran=J(8,8,0);value=J(8,8,0);do i=1 to 8; do j=1 to 8;btrani,j=probbnrm(zi,1,zj,2,0.2)-probbnrm(zi+1,1,zj,2,0.2)-probbnrm(zi,1,

22、zj+1,2,0.2)+probbnrm(zi+1,1,zj+1,2,0.2);valuei,j=vi+vj; end;end;mean=sum(btran#value);var=sum(btran#value#value)-mean#2;std=sqrt(var);print prob,z,btran,value,mean,std;run;MEAN STD209.90116 6.1698569 要計算第二種信譽(yù)風(fēng)險測度目的，即計算均值與組合價值1%分位數(shù)的差，首先要確定資產(chǎn)價值的1%分位數(shù)，即找出組合中的一個值，這個值以下的一切概率和小于1%。在組合中的資產(chǎn)不超越2個的條件下，可以簡單地利用

23、轉(zhuǎn)移概率表中的值計算出1%程度下的信譽(yù)風(fēng)險值。但是對于更大的組合，用解析的方法來計算百分位數(shù)是行不通的必需采用模擬的方法。蒙特卡羅模擬前面運(yùn)用的是解析方法估計信譽(yù)風(fēng)險值。這種方法有兩個有優(yōu)點：一是速度快，二是準(zhǔn)確程度高。但也存在著兩個缺陷：一是對于數(shù)量很大的組合，速度就會變得很慢；二很多有用的統(tǒng)計量也沒有解析的估計方式。為了更好地描畫組合的分布，下面運(yùn)用蒙特卡羅模擬方法。思索一個包括三個債券的組合：BBB級債券；A級債券；CCC級債券，相對應(yīng)的公司分別是firm1，firm2，firm3。簡單起見，假設(shè)這三只債券的面值均為100美圓，5年到期，息票率為6%。 生成情景基于資產(chǎn)收益率模型，生成情

24、景的步驟如下：建立組合中每個債券的資產(chǎn)收益率門檻值；由正態(tài)分布模擬資產(chǎn)收益率情景；由資產(chǎn)收益率情景影射出信譽(yù)評級情景。確定資產(chǎn)收益率門檻值表18.10 三個債券BBB, A和CCC的信譽(yù)評級轉(zhuǎn)移概率轉(zhuǎn)移概率（Transition probability(%)）評級（Rating）公司1（Firm1）公司2 （Firm2）公司3（Firm3）AAA0.020.090.22AA0.332.270.00A5.9591.050.22BBB86.935.521.30BB5.300.742.38B1.170.2611.24CCC0.120.0164.86Default0.180.0619.79根據(jù)資產(chǎn)收益

25、率模型，利用表18.10中的轉(zhuǎn)移概率可以確定出3個公司的資產(chǎn)收益率門檻值，如表18.11所示。 表18.11 三公司資產(chǎn)收益率門檻值閾值(Threshold)公司1(Firm1) 公司2（Firm2）公司3（Firm3）ZAA3.543.122.86ZA2.781.982.86ZBBB1.53-1.512.63ZBB-1.49-2.302.11ZB-2.18-2.721.74ZCCC-2.75-3.191.02ZDef-2.91-3.24-0.85模擬資產(chǎn)收益率情景表18.12 三公司資產(chǎn)收益率的相關(guān)系數(shù)公司1(Firm1)公司2（Firm2）公司3（Firm3）公司1（Firm1）1.00.

26、30.1公司2（Firm2）0.31.00.2公司3（Firm3）表18.13 模擬資產(chǎn)收益率的10個情景每個情景中的3個數(shù)代表了3個公司的規(guī)范化后的資產(chǎn)收益率. 情景（Scenario）公司1（Firm1）公司2（Firm2）公司3（Firm3）1-0.044853-0.611057 1.237651420.4834726-0.682041 -1.2620273-0.2263670.8700212 -0.5708994-1.022657-1.286783 0.14997915-0.5081340.626757 -0.23123461.66525191.1056594 -0.

27、7367747-1.821203-0.935153 -0.33555180.40171331.3204778 -0.5883869-0.2956430.1456195 0.9723559101.04501630.3240485 1.1110892Proc iml;corr=1.0 0.3 0.1,0.3 1.0 0.2,0.1 0.2 1.0;/* 相關(guān)系數(shù)矩陣 */rv0=rannor(repeat(0,100,3);/* 種子為0，產(chǎn)生10個隨機(jī)數(shù)，3個變量 */rv0=t(rv0);rv=root(corr)*rv0; rv=t(rv);Print rv;create scenario

28、from rv;append from rv;close scenario;run;quit;由資產(chǎn)收益率情景映射到信譽(yù)評級情景 表18.14 由資產(chǎn)收益率情景到評級情景的映射情景（Scenario）資產(chǎn)收益率（Asset Return）新評級（New Rating）公司1（Firm1）公司2（Firm2）公司3（Firm3）公司1（Firm1）公司2（Firm2）公司3（Firm3）1-0.044853-0.611057 1.2376514BBBAB20.4834726-0.682041 -1.262027BBBADefault 3-0.2263670.8700212 -0.570899BB

29、BACCC4-1.022657-1.286783 0.1499791BBBACCC5-0.5081340.626757 -0.231234BBBACCC61.66525191.1056594 -0.736774AACCC7-1.821203-0.935153 -0.335551BBACCC80.40171331.3204778 -0.588386BBBACCC9-0.2956430.1456195 0.9723559BBB ACCC101.04501630.3240485 1.1110892BBBAB資產(chǎn)收益率情景到評級情景的映射的SAS程序：proc iml;use scenario;rea

30、d all into rv;use z;read all into z;ratingmap=J(100,3,0);do m=1 to ncol(rv); do i=1 to nrow(rv); do j=8 to 1 by -1; if rvi,mz1,m then ratingmapi,m=1; if rvi,mzj,m then do; ratingmapi,m=j; j=0;end; end; end;end;print z,rv,ratingmap;create ratingmap from ratingmap;append from ratingmap;close ratingmap

31、;run;quit;由資產(chǎn)收益率情景到評級情景的映射(RATINGMAP)4 3 64 3 84 3 74 3 74 3 73 3 75 3 74 3 74 3 73 6組合定價 對于前面給出的債券組合，利用蒙特卡羅模擬方法計算一年后這個組合的信譽(yù)風(fēng)險值。 組合情況：三個債券構(gòu)成的組合，BBB級債券；A級債券；CCC級債券，相對應(yīng)的公司分別是firm1，firm2，firm3。假設(shè)這三只債券的面值均為為100美圓，5年到期，息票率為6%。 對于非違約情景，可以采用解析法中的算法。對于每一個情景，新的評級影射到一個新的價值。 一種情景下的組合價值計算：例如假設(shè)1年末組合中BBB級債券晉級到A，A

32、級債券降級到BBB，CCC級債券的級別未發(fā)生變化，那么1年末的債券價值分別是： 組合價值為： 對于違約的情景，情況有點不同。由于恢復(fù)率是一個不確定的量，有較大的動搖性。可以根據(jù)情景中資產(chǎn)頭寸的優(yōu)先級獲得他們恢復(fù)率的均值和規(guī)范差。對每一個違約情景，用這些參數(shù)和beta分布產(chǎn)生隨機(jī)的恢復(fù)率，然后基于這些恢復(fù)率計算每個違約情景下單個資產(chǎn)頭寸的價值。表18.15 情景組合的定價情景（scenario）評級（Rating）價值（Value）公司1（Firm1）公司2（Firm2）公司3（Firm1）公司1（Firm1）公司2（Firm2）公司3（Firm3）組合（Portfolio）1BBBAB107.5309108.642998.0859314.25982BBBADefault 107.5309108.642950266.17393BBBACCC107.5309108.642983.6257299.79974BBBACCC107.5309108.642983.6257299.79975BBBACCC107.5309108.642983.6257299.79976AACCC108.6429108.642983.6257300.91177BBACCC102.0063108