-數(shù)列的概念及函數(shù)特點(diǎn)測試題

1、數(shù)列的概念及函數(shù)特征測試卷A 組一填空題 ( 本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分) 1. 數(shù)列 1, 1,1, 1,1，的通項(xiàng)公式的是。1. a n ( 1) n 1或 a n 1， 為奇數(shù)1， 為偶數(shù)。提示：寫成兩種形式都對(duì)，nn an 不能省掉。2. ,1 2, 1, 2 , 的一個(gè)通項(xiàng)公式是。3 2 52. a nn 21 ; 提示：若把 12 換成24，同時(shí)首項(xiàng) 1 換成22，規(guī)律就明顯了。其一個(gè)通項(xiàng)應(yīng)該為：a n 2;n 13. 在某報(bào)自測健康狀況的報(bào)道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表 . 觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（）內(nèi) . 年齡（歲）30

2、35 40 45 50 55 60 65 收縮壓（水銀柱 毫 M ）110 115 120 125 130 135 （） 145 舒張壓（水銀柱 毫 M ）70 73 75 78 80 83 （） 88 3.140,85。提示：觀察上表規(guī)律，收縮壓每次增加 5，舒張壓相應(yīng)增加 3 或 2，且是間隔出現(xiàn)的，故應(yīng)填 140,85。4已知數(shù)列 a n，a n 1 ( n N )，那么 1 是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng) . n n 2) 1204.10. 提示：令 a n 1= 1，即 n 2+2n-120=0, 解得 n=10. n n 2) 12015.已知數(shù)列 a n 的圖像是函數(shù) y 圖像上，當(dāng) x 取正

3、整數(shù)時(shí)的點(diǎn)列，則其通項(xiàng)公式為。x5. an=1 .提示：數(shù)列 a n 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列為 (n,an),即有 an=1。n n26.已知數(shù)列 a n，a n 2 n 10 n 3，它的最小項(xiàng)是。6.2 或 3 項(xiàng)。提示：a n 2 n 210 n 3 =2（n-5）2-19 .故當(dāng) n=2 或 3 時(shí)， an最小。2 27. 已知數(shù)列 a n 滿足 a 1 2，a n 1 2 2 a n，則 a 4 . 1 a n7. 25。提示：a 2 2 21（2 2）=23，a 3 21 22 23 6，a n 1 21 26 6 25。38.如圖，圖（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4）分別包含1 個(gè)、 5

4、 個(gè)、 13 個(gè)、 25 個(gè)第二十九屆北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物“ 福娃迎迎” ，按同樣的方式構(gòu)造圖形，設(shè)第n 個(gè)圖形包含f n 個(gè)“ 福娃迎迎” ，則f n1)f n ( )（答案用n的解讀式表示） 4, ，猜想8.n 22. 提示： f(2)-f(1)=4=1 4, f(3)-f(2)=8=2 4, f(4)-f(3)=3f n1)f n ( )4n. 二解答題 ( 本大題共 4 小題，共 54 分) 9. 已知 a n 滿足 a 1 3，a n 1 2 a n 1，試寫出該數(shù)列的前 5 項(xiàng)，并用觀察法寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 . 9. 解 a 1 3 , a n 1 2 a n 1 , a 2

5、7 , a 3 15 , a 4 31 , a 5 63 , 注意到： 3=2 2-1 ，7=2 3-1 ， 15=2 4-1 ，31=2 5-1 ，猜得 a n 2 n 11。10. 已知數(shù)列 a n 中，a 1 3，a 10 21，通項(xiàng) a 是項(xiàng)數(shù) n 的一次函數(shù)，求 a n 的通項(xiàng)公式，并求 a 2005；若 b n 是由 a a a 6 , a 8 , , 組成，試歸納 b n 的一個(gè)通項(xiàng)公式 . k b 3 k 210. 解: 設(shè) a n kn b , 則 , 解得 , 10 k b 21 b 1a n 2 n 1( n N ) , a 2005 4011 . 又2a , a , 4

6、 a , 6 8a , 即為 5,9,13,17, , b n 4 n 1 . 11. 如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等和數(shù)列。已知等和數(shù)列 na 的第一項(xiàng)為 2，公和為 7，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式an。11. 解：a n是等和數(shù)列，公和為7，a1=2， a2=5,a3=2,a4=5, ，一般地， a2n-1=2，a2n=5，nN * . 2， 為正奇數(shù)，通項(xiàng)公式 an=5， 為正偶數(shù)。12. 已知不等式 1+ 1+ 1 + +1 a 對(duì)于一切大于 1 的自然數(shù) n 都成立，求實(shí)n 1 n 2 n 3 2n數(shù) a的取值范圍。解 令 f（n）

7、= 1+ 1+ 1 + +1，n 1 n 2 n 3 2n則 f （n+1）-f（n）= 1+ 1-1= 1-10. 2 n 1 2 n 2 n 1 2 n 1 2 n 2f（ n+1）f （n）, f （n）是遞增數(shù)列， f （n）min= f （2） =7。12a7 . 12備選題： 1. 若數(shù)列的前個(gè)通項(xiàng)公式是。5 項(xiàng)為 6，66，666，6666，66666， ，寫出它的一1.2 （ 10 n-1 ）。提示：注意到 66 6 6 99 9 ，故 66 6 2 （ 10 n-1 ）。3 n 9 n n 32. 設(shè)數(shù)列 2, 5,2 2, 11, , 則 2 5 是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)。2.7.

8、 提 示：由 題 設(shè) 知 2, 5, 8, 11, , 的 通 項(xiàng) 為 3n 1，2 5 = 20 3 7 1。 3. 已知數(shù)列 a n ，a 1 1，a n 1 a n( n N * )，寫出這個(gè)數(shù)列的前 4 項(xiàng)，并根據(jù)規(guī)1 2 a n律，寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 . 3.解：a 1 1，a n 1 a n， a2= 1 1 .同理求得 a3=1，a4=1 . 1 2 a n 1 2 1 3 5 71從而猜想 an= . 2 n 1B 組一填空題 ( 本大題共 6 小題，每小題5 分，共 30 分) 32 31, ，1. 數(shù)列11,24,39,416,的一個(gè)通項(xiàng)公式是。2510171.an

9、nnn21.提示：觀察和對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)21111，242422221,393932255210102一般地，annn21.1, 可考慮（ -1 ）n 或2 n2. 數(shù)列1,2,3,4,的一個(gè)通項(xiàng)公式是。23452.an()1n1nn1。提示：這類題應(yīng)解決兩個(gè)問題，一是符號(hào)（-1 ）n+1調(diào)節(jié)，二是分式，分子是n，分母 n+1。故an(1 )n1nn. 3. 將正偶數(shù)按下表排成5 列：第 1 列第 2 列第 3 列第 4 列第 5 列第 1 行 2 4 6 8 第 2 行 16 14 12 10 第 3 行 18 20 22 24 28 26則 2006 在第行，第列。3第 251 行

10、，第 4 列.提示：由題意知每列 行。又由奇數(shù)行的特點(diǎn)知應(yīng)該是第 4 列。8 4 個(gè)數(shù)， 1003=4 250+3, 故 2006 在第 2514. 已知 a n 是遞增數(shù)列，且對(duì)任意nN +，都有an=n2+6 n 恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍x10是。4.（3，）。提示：常見的錯(cuò)解：an是一個(gè)特殊的y 4二次函數(shù)，要保證在n 取自然數(shù)時(shí)單調(diào)遞增，只須-21，2即-2。本題錯(cuò)誤的原因在于機(jī)械地套用了函數(shù)的性質(zhì)，忽略了數(shù)列的離散性的特點(diǎn)。0125正解 如圖，只要 -2-3 時(shí)就適合題意。-25.觀察下列不等式：11，1111，11113，223237211112，11115，由此猜想第n個(gè)不等式為

11、. 2315233125.111n 211n 。提示：本題是歸納推理問題，注意到 23=22-1 ，7=2 3-1 ，2315=24-1 ，1= 2 2，2=4 2，故猜想：111211n 。2n23點(diǎn)評(píng)：歸納推理的關(guān)鍵是找到式子變化的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。6. 若數(shù)列 a n 滿足 an+1=2an12(01an1),若a156,則 a20的值是2 a36。2(1 2765 . 提示：7a 12anan1 )3213a465a26a7777775數(shù)列 a n 是周期為 3 的數(shù)列，a 20 a 18 2 a 2 . 7二解答題 ( 本大題共 2 小題，共 36 分) 7. 已知數(shù)列 an 中， a

12、n= n n N *，求數(shù)列 an 的最大項(xiàng) . n 15.6解: 考察函數(shù) y x1 15.6, 因?yàn)橹本€ x 15.6 為函數(shù)圖象的漸近線 , 且函x 15.6 x 15.6數(shù)在 ,15.6 上單調(diào)遞減，在 15.6, 上單調(diào)遞減，所以當(dāng) n 15.6 且 n 最接近 15.6且 n N 時(shí), * a 最大 , 故 a 最大 , 即第 16 項(xiàng)最大 . 8. 設(shè)向量 a =（x , 2）， b =（x n , x 1）（ n N），函數(shù) y a b 在0 ， 1上 的 最 小 值 與 最 大 值 的 和 為 a n，又 數(shù) 列 b n 滿 足：9 n 1 9 n 2 9nb 1 ( n )

13、1 b 2 2 b n 1 b n ( ) ( ) 110 10 10（1）求證：an n 1；（2）求 b 的表達(dá)式；（3）c n a n b n，試問數(shù)列 c 中，是否存在正整數(shù) k ，使得對(duì)于任意的正整數(shù)n ，都有 nc kc 成立？證明你的結(jié)論 . 解 （1）證明： y ab = x 2 ( n 4 ) x 2，因?yàn)閷?duì)稱軸 x n 4, 2所以在 0 ，1 上為增函數(shù)，an ( 2 ) ( n 3 ) n 1。（2）解：由 nb 1 ( n )1 b 2 2 b n 1 b n ( 9) n 1( 9) n 2 9 110 10 10得 ( n 1 ) b 1 ( n 2 ) b 2

14、b n 1 ( 9) n 2( 9) n 3 9 110 10 10兩式相減得 b 1 b 2 b n 1 b n ( 9) n 1S n，10當(dāng) n 1 時(shí)，b 1 S 1 1當(dāng) n 2 時(shí)，b n S n S n 1 9( 9) n 210 10即 b n10 1 ( 110 9 ) n 2n n 12（3）解：由（ 1）與（ 2）得 c n a n b n n10 1 (10 29 ) n 2n n 12設(shè)存在正整數(shù) k ，使得對(duì)于任意的正整數(shù) n ，都有 c kc 成立，當(dāng)n,12時(shí)，c2c 1230c2c 1n ，都有c kc 成立10當(dāng) n 2 時(shí)，cn1cn(9)n28n，10100所以當(dāng)n8時(shí)，c n1cn，當(dāng)n8時(shí)，cn1c n，當(dāng)n8時(shí)，cn1c n，使得對(duì)于任意的正整數(shù)所以存在正整數(shù)k9備選題：1.數(shù)列19 199 1999 19999 10 100 1000 10000, 的通項(xiàng)公式是。1021,1.an