2022屆北京市海淀區(qū)知春里高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)，是非零向量.若，則（ ）ABCD2窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨(dú)特，神獸人們喜愛下圖即是一副窗花，是把一個(gè)邊長為12的大正方形在四個(gè)角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部

2、分中的四個(gè)角處再剪出邊長全為1的一些小正方形若在這個(gè)窗花內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)不落在任何一個(gè)小正方形內(nèi)的概率是（ ）ABCD3已知、，則下列是等式成立的必要不充分條件的是（ ）ABCD4已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）ABCD15已知三棱柱的所有棱長均相等，側(cè)棱平面，過作平面與平行，設(shè)平面與平面的交線為，記直線與直線所成銳角分別為，則這三個(gè)角的大小關(guān)系為( )ABCD6已知平面向量，則實(shí)數(shù)x的值等于（ ）A6B1CD7某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該單位去年的水費(fèi)開支占總開支的百分比為（ ）ABCD8已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將此

3、圖象分別作以下變換，那么變換后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有（ ）繞著軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn); 沿軸正方向平移;以軸為軸作軸對稱;以軸的某一條垂線為軸作軸對稱.ABCD9生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識技藝過人，這里的“六藝”其實(shí)源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為（ ）ABCD10已知函數(shù)在上可導(dǎo)且恒成立，則下列不等式中一定成立的是（ ）A、B、C、D、11如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱

4、 AB，BC，的中點(diǎn)，M為棱AD的中點(diǎn)，設(shè)P，Q為底面ABCD內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足平面EFG，則的最小值為（ ）ABCD12若單位向量，夾角為，且，則實(shí)數(shù)（ ）A1B2C0或1D2或1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是_.14實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_15已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，且的三邊長，成等差數(shù)列，則的離心率為_.16點(diǎn)在雙曲線的右支上，其左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓相切于點(diǎn)，線段的垂直平分線恰好過點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線的斜率為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程

5、或演算步驟。17（12分）如圖所示，在三棱錐中，點(diǎn)為中點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)為中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值18（12分）已知函數(shù)（）求在點(diǎn)處的切線方程；（）求證：在上存在唯一的極大值；（）直接寫出函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)19（12分）已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.20（12分）已知橢圓的離心率為是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線的斜率為1（1）求橢圓的方程；（1）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，是否存在直線使得？若存在，求出的

6、方程；若不存在，請說明理由21（12分）已知函數(shù)是減函數(shù).（1）試確定a的值；（2）已知數(shù)列，求證：.22（10分）如圖，在四棱柱中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)（）求證：平面；（）求二面角的余弦值（）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長，若不存在說明理由參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1D【解析】試題分析：由題意得：若，則；若，則由可知，故也成立，故選D.考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點(diǎn)，作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、

7、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識，又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題，實(shí)有其合理之處.解決此類問題的常用方法是：利用已知條件，結(jié)合平面幾何知識及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易)；將條件通過向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用求解(較難)；建系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，此法對解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.2D【解析】由幾何概型可知,概率應(yīng)為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3D【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù)，由得出，分、三種情

8、況討論，利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出或，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，；當(dāng)時(shí)，.由得.若，則，即，不合乎題意；若，則，則，此時(shí)，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，；若，則，則，此時(shí)，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，.綜上所述，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵，解題時(shí)要注意對的取值范圍進(jìn)行分類討論，考查推理能力，屬于中等題.4C【解析】先將，化簡轉(zhuǎn)化為，再得到下結(jié)論.【詳解】已知復(fù)數(shù)，所以，所以的虛部為-1.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)

9、算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5B【解析】利用圖形作出空間中兩直線所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，由圖可知過且與平行的平面為平面，所以直線即為直線，由題易知，的補(bǔ)角，分別為，設(shè)三棱柱的棱長為2，在中，；在中，；在中，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中兩直線所成角的計(jì)算，考查了學(xué)生的作圖，用圖能力，體現(xiàn)了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).6A【解析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】，即，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于容易題.7A【解析】由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計(jì)算出水費(fèi)開支占水、電、交通開支的比例，

10、相乘即可求出水費(fèi)開支占總開支的百分比.【詳解】水費(fèi)開支占總開支的百分比為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎(chǔ)題.8D【解析】計(jì)算得到，故函數(shù)是周期函數(shù)，軸對稱圖形，故正確，根據(jù)圖像知錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】，當(dāng)沿軸正方向平移個(gè)單位時(shí)，重合，故正確；，故，函數(shù)關(guān)于對稱，故正確；根據(jù)圖像知：不正確；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識和圖像的綜合應(yīng)用.9C【解析】分情況討論，由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開的事件個(gè)數(shù)，不考慮限制因素，總數(shù)有種，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)“數(shù)”位于第一位時(shí)，禮和樂相鄰有4種情況，禮和樂順

11、序有2種，其它剩下的有種情況，由間接法得到滿足條件的情況有 當(dāng)“數(shù)”在第二位時(shí)，禮和樂相鄰有3種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種，由間接法得到滿足條件的情況有共有：種情況，不考慮限制因素，總數(shù)有種，故滿足條件的事件的概率為： 故答案為：C.【點(diǎn)睛】解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)10A【解析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件，得到，得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增，得到，進(jìn)而變形即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，則，又由，所以，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，

12、變形可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，以及利用單調(diào)性比較大小，其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.11C【解析】把截面畫完整，可得在上，由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上，利用對稱性可得的最小值【詳解】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，易證共面，即平面為截面，連接，由中位線定理可得，平面，平面，則平面，同理可得平面，由可得平面平面，又平面EFG，在平面上，正方體中平面，從而有，在以為圓心1為半徑的四分之一圓（圓在正方形內(nèi)的部分）上，顯然關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號

13、，所求最小值為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查空間距離的最小值問題，解題時(shí)作出正方體的完整截面求出點(diǎn)軌跡是第一個(gè)難點(diǎn)，第二個(gè)難點(diǎn)是求出點(diǎn)軌跡，第三個(gè)難點(diǎn)是利用對稱性及圓的性質(zhì)求得最小值12D【解析】利用向量模的運(yùn)算列方程，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于，所以，即，即，解得或.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量模的運(yùn)算，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131【解析】該程序的功能為利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得：，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件，執(zhí)

14、行循環(huán)體，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，此時(shí)滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題.14【解析】畫出可行域，解出可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，比較大小得到目標(biāo)函數(shù)最值.【詳解】解：作出可行域，如圖所示，則當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)直線的截距最大，z取最大值由同理，取最大值故答案為： 【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題. 線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，若可行域是一個(gè)封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn)，

15、然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值.15【解析】設(shè)，根據(jù)勾股定理得出，而由橢圓的定義得出的周長為，有，便可求出和的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率.【詳解】解：由已知，的三邊長，成等差數(shù)列，設(shè)，而，根據(jù)勾股定理有：，解得：，由橢圓定義知：的周長為，有，在直角中，由勾股定理，即：，離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率以及橢圓的定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.16【解析】如圖，是切點(diǎn)，是的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，又，所以，又，根?jù)雙曲線的定義，有，即，兩邊平方并化簡得，所以，因此.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、

16、證明過程或演算步驟。17（1）答案見解析（2）【解析】（1）通過證明平面，證得，證得，由此證得平面，進(jìn)而證得平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)?，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以因?yàn)?，所以平面因?yàn)槠矫?，所以平面平面?）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，過點(diǎn)與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即取，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即取，則，所以，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空

17、間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18（）；（）證明見解析；（）函數(shù)在有3個(gè)零點(diǎn)【解析】（）求出導(dǎo)數(shù)，寫出切線方程；（）二次求導(dǎo)，判斷單調(diào)遞減，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，判斷即可；（），數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論【詳解】解：（），故在點(diǎn)，處的切線方程為，即；（）證明：，故在遞減，又，由零點(diǎn)存在性定理，存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減，故在只有唯一的一個(gè)極大值；（）函數(shù)在有3個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題19（1）直線普通方程：，曲線直角坐標(biāo)方程：；（2）.【解析】

18、（1）消去直線參數(shù)方程中的參數(shù)即可得到其普通方程；將曲線極坐標(biāo)方程化為，根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化原則可得其直角坐標(biāo)方程；（2）將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義可知，利用韋達(dá)定理求得結(jié)果.【詳解】（1）由直線參數(shù)方程消去可得普通方程為：曲線極坐標(biāo)方程可化為：則曲線的直角坐標(biāo)方程為：，即（2）將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，整理可得：設(shè)兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為：，則，【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用；求解距離之和的關(guān)鍵是能夠明確直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，利用韋達(dá)定理來進(jìn)行求解.20（1） （1）不存在

19、，理由見解析【解析】（1）利用離心率和過點(diǎn)，列出等式，即得解（1）設(shè)的方程為，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示中點(diǎn)N的坐標(biāo)，用點(diǎn)坐標(biāo)表示，利用韋達(dá)關(guān)系代入，得到關(guān)于k的等式，即可得解.【詳解】（1）由題意，可得解得則，故橢圓的方程為（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，則，即設(shè)，則，則，即，整理得，此方程無解，故的方程不存在綜上所述，不存在直線使得【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了弦長和中點(diǎn)問題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.21（）（）見證明【解析】（）求導(dǎo)得，由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0，即可求出；（）由是減函數(shù)，且可得，當(dāng)時(shí)，則，即，兩邊同除以得，即，從而 ，兩邊取對數(shù) ，然后再證明恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)證明即可【詳解】解：（）的定義域?yàn)椋?由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立.設(shè).，由知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在時(shí)取得最大值.又，對任意的，恒成立，即的最大值為.，解得.（）由是減函