高中數(shù)學(xué)選修2-1221橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一) 生活中的橢圓生活中的橢圓 橢圓概念的引入： 在前面圓的方程中我們知道：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓改為兩個(gè)定點(diǎn)呢？數(shù) 學(xué) 實(shí) 驗(yàn)F1F2M1在平面內(nèi)，任取兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2 ；2取一細(xì)繩并將細(xì)繩（大于兩定點(diǎn)的距離）的兩端分別固定在F1、F2兩點(diǎn) ；3用筆尖（點(diǎn)M）把細(xì)繩拉緊，慢慢移動(dòng)筆尖看看能畫出什么圖形？演示F1F2請(qǐng)你為橢圓下一個(gè)定義 想想看，這一過程中什么變化了，什么沒有變？1.橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)（用2a表示且大于|F1F2 |）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)。兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距(2

2、c)。橢圓定義的文字表述：橢圓定義的符號(hào)表述：(2a2c)MF2F1數(shù) 學(xué) 實(shí) 驗(yàn)F1F2M1在平面內(nèi)，任取兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2 ；2取一細(xì)繩并將細(xì)繩（大于兩定點(diǎn)的距離）的兩端分別固定在F1、F2兩點(diǎn) ；3用筆尖（點(diǎn)M）把細(xì)繩拉緊，慢慢移動(dòng)筆尖看看能畫出什么圖形？若改為小于或等于將是什么情況？演示1演示2 結(jié)論：1.當(dāng)繩長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)F1,F2間的距離時(shí)，軌跡是橢圓。2.當(dāng)繩長(zhǎng)等于兩定點(diǎn)F1,F2間的距離時(shí)，軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的線段。3.當(dāng)繩長(zhǎng)小于兩定點(diǎn)F1,F2間的距離時(shí)，不能構(gòu)成圖形。 求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般方法：（1）建系設(shè)點(diǎn)（2）列式（3）代換、化簡(jiǎn) （4）審查坐標(biāo)法2.求橢圓的方程：

3、 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案建立平面直角坐標(biāo)系通常利用“對(duì)稱性”O(jiān)xyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM2.求橢圓的方程：解：取過焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖). 設(shè)M(x, y)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距2c(c0)，M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a (2a2c) ，則F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0) .xF1F2M0y（問題：下面怎樣化簡(jiǎn)？）由橢圓的定義得：代入坐標(biāo)兩邊除以 得由橢圓定義可知整理得兩邊再平方，得移項(xiàng)，平方總體印象：對(duì)稱、簡(jiǎn)潔，“像”直線方程的截距式焦點(diǎn)在y軸：焦點(diǎn)在x軸：3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:1

4、oFyx2FM12yoFFMx 圖 形方 程焦 點(diǎn)F(c，0)F(0，c)a,b,c之間的關(guān)系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定 義12yoFFMx1oFyx2FM注:共同點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1.不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸的橢圓 項(xiàng)分母較大. 焦點(diǎn)在y軸的橢圓 項(xiàng)分母較大.OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0 , c)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識(shí)：（1）“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”是個(gè)專有名詞，專指本節(jié)介紹的兩 個(gè)方程，方程形式是固定的。（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足a2

5、=b2+c2。（4）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值。（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪 一個(gè)軸上,即“橢圓的焦點(diǎn)看分母，誰大在誰上”例1、填空：(1)已知橢圓的方程為： ，則a=_，b=_，c=_，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：_焦距等于_;若CD為過左焦點(diǎn)F1的弦，則F2CD的周長(zhǎng)為_例題精析543(3,0)、(-3,0)60F1F2CD判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)所在軸的方法： 看分母，誰大在誰上練習(xí)1：判定下列橢圓的焦點(diǎn)在哪條軸上？并指明a2、b2，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)答：在 X 軸。（-3，0）和 （3，0）答：在 y 軸。（0，-5）和 （0，5）答：在y 軸。（0，-1）

6、和 （0，1）(2)已知橢圓的方程為： ,則 a=_，b=_，c=_， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為：_，焦距 等于_; 若曲線上一點(diǎn)P到下焦點(diǎn)F1的距離為3，則 點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離等于_， 則F1PF2的周長(zhǎng)為_21(0,-1)、(0,1)2PF1F2例1、填空：練習(xí)2：將下列方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，并判定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)例2.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-2，0),(2，0),并且經(jīng)過點(diǎn) ,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方 程為 (ab 0)由橢圓定 義知 所以 ,又因?yàn)?,所以 因此,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為待定系數(shù)法 兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-4，0）、（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于10。解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在X軸上，所以可設(shè)它的方程 為：2a=10，2c=8即 a=5，c=4故 b2=a2-c2=52-42=9所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：練習(xí)、求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 看分母，誰大在誰