《機械優(yōu)化設(shè)計》課件2.優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)機械優(yōu)化設(shè)計是建立在多元函數(shù)的極值理論基礎(chǔ)上無約束優(yōu)化問題就是數(shù)學(xué)上的無條件極值問題約束優(yōu)化問題則是數(shù)學(xué)上的條件極值問題一.多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度 1)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)就是這個函數(shù)對自變量的變化率。1. 方向?qū)?shù)2) 二元函數(shù)的方向?qū)?shù)即沿某一方向d 的變化率，定義為3).方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系Ox2x1x10 x20 x0 x1x2dxd 二維空間中的方向12n元函數(shù)的方向?qū)?shù)2. 二元函數(shù)的梯度 梯度方向為函數(shù)變化率最大方向，也就是最速上升方向。負梯度方向為函數(shù)變化率取最小值方向，即最速下降方向。 定義最大值方向為梯度方向梯度方向：梯度方向：2)二元函數(shù)梯度的幾何解

2、釋2)二元函數(shù)梯度的幾何解釋2)二元函數(shù)梯度的幾何解釋2)二元函數(shù)梯度的幾何解釋2)二元函數(shù)梯度的幾何解釋Ox2x1x0變化率為零的方向最速下降方向下降方向上升方向最速上升方向f(x0)f(x0) 梯度方向與等值線的關(guān)系3.多元函數(shù)的梯度將二元函數(shù)推廣到多元函數(shù)，對于多元函數(shù)f(x)在X0處的梯度，可表示為 梯度的模 二.多元函數(shù)的泰勒展開 函數(shù)的梯度方向和模例題（一）例題（二）2022/7/1219三.優(yōu)化的極值條件1. 無約束優(yōu)化的極值條件2. 等式約束優(yōu)化的極值條件3. 不等式約束優(yōu)化的極值條件1. 無約束優(yōu)化問題的極值條件極值條件就是指目標函數(shù)取得極小值時極值點所應(yīng)滿足的條件任何一個單

3、值、連續(xù)、可微分的不受任何約束的一元函數(shù)f(x)在點(x0)處有極值的充分必要條件是對于二元函數(shù)，若在點(x0)處取得極值其必要條件是 二元函數(shù)取得極值的充分條件 (1) 二元函數(shù)在點(x0)處的泰勒展開式，考慮上述極值必要條件，有(2) 若f(x1,x2)在(x10,x20)處取得極小值，則要求其附近的一切點均須滿足(3) 此條件反映了在點(x10,x20)處的海賽矩陣G(x0)的各階主子式均大于零，即(4) 二元函數(shù)在某點處取得極值的充分條件是要求在該點處的海賽矩陣為正定 多元函數(shù)取得極值的充要條件2. 等式約束優(yōu)化問題的極值條件(1) 求解等式約束優(yōu)化問題 (2) 思路：將其轉(zhuǎn)化為無約束

4、優(yōu)化問題，有兩種常用的方法:(1) 消元法（降維法）(2) 拉格朗日乘子法（升維法） 消元法（降維法）對于n維問題，可由l個約束方程將n個變量中的前l(fā)個變量用其余nl個變量表示，即有將這些函數(shù)關(guān)系代入到目標函數(shù)中，從而得到只含 的共nl個變量的函數(shù) 就可以利用無約束優(yōu)化問題的極值條件求解。 拉格朗日乘子法 通過增加變量將等式約束優(yōu)化問題變成無約束優(yōu)化問題。所以又稱作升維法對于具有l(wèi)個約束的N維問題通過增加變量將等式約束優(yōu)化問題變成無約束優(yōu)化問題。所以又稱作升維法對于具有l(wèi)個約束的N維問題引入拉格郎日乘子 構(gòu)成一個新的目標函數(shù)將其作為一個新的無約束條件的目標函數(shù)來求解它的極值點，所得結(jié)果就是原等

5、式約束問題的極值點。新的目標函數(shù)具有極值點的必要條件為一共可得n+l個方程，從而可解得(x,)共n+l個未知變量的值。由上述方程組求得的x*即為原等式約束優(yōu)化問題的極值點。等效證明：二維問題三維問題極值點在f等值面與面 的切點處 ，有3. 不等式約束優(yōu)化的極值條件(1) 對于多元函數(shù)不等式的約束優(yōu)化問題 (2) 求解思路不等式約束等式約束無約束優(yōu)化引入松馳變量拉格朗日乘子拉格朗日乘子法新的目標函數(shù)無約束極值條件，在極值點處有在邊界上在邊界內(nèi)對應(yīng)的約束條件起作用對應(yīng)的約束條件不起作用無約束極值條件，在極值點處有庫恩塔克條件表示成梯度形式庫恩塔克條件上式表明庫恩塔克條件的幾何意義是，在約束極小值點

6、x*處，函數(shù)f(x)的負梯度一定能表示成所有起作用約束在該點梯度的非負線性組合庫恩塔克條件擴展對于同時具有等式和不等式的約束的優(yōu)化問題 庫恩塔克條件可表述為例題：無約束優(yōu)化問題求函數(shù)的極值首先，根據(jù)極值的必要條件求駐點再根據(jù)極值的充分條件，判斷其海賽矩陣是否正定例題：等式約束優(yōu)化問題用拉格朗日乘子法改造目標函數(shù)例題：庫恩塔克條件此問題在設(shè)計空間平面上的圖形如圖所示，它的K-T條件表示為例題：庫恩塔克條件(1)若g1,g2,g3在x*處都起作用K-T條件中的第一個方程可寫為三個方程兩個未知數(shù)屬矛盾方程組例題：庫恩塔克條件(2)若g1,g3在x*處都起作用K-T條件中的第一個方程可寫為不滿足非負要

7、求例題：庫恩塔克條件(3)若g1,g2在x*處都起作用K-T條件中的第一個方程可寫為X1=1不滿足g3滿足非負要求小結(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度多元函數(shù)的泰勒展開無約束優(yōu)化的極值條件等式約束優(yōu)化的極值條件拉格朗日乘子法不等式約束優(yōu)化的極值條件庫恩塔克條件習(xí)題四 凸集與凸函數(shù)XX2X1凸集非凸集凹集*若X是X1和X2連線上的點，則有一.凸集- 若任意兩點 ，對于 ， 恒有 ， 則 D 為凸集。整理后即得二.凸函數(shù) 設(shè)f(X)為定義在 Rn 內(nèi)一個凸集D上的函數(shù)，若對于 及D上的任意兩點X1,X2,恒有 則f(X)為定義在D上的一個凸函數(shù)。1.定義2.凸函數(shù)的基本性質(zhì)兩邊乘上 證: 由定義 （1）設(shè) 為定義在凸集D上的凸函數(shù)， 為任意正實數(shù),則 也是定義在 D上的凸函數(shù)。證: 由定義（2）設(shè) 、 均為定義在凸集D上的凸函數(shù)，則 + 也是定義在 D上的凸函數(shù)。 兩式相加,整理后可得證.（3）設(shè) 、 均為定義在凸集D上的凸