電路在正弦激勵下非正弦穩(wěn)態(tài)的響應(yīng)

1、電路在正弦激勵下非正弦穩(wěn)態(tài)的響應(yīng)收稿日期： 修回日期： 基金項目：教育部高等學(xué)校儀器類專業(yè)新工科建設(shè)立項項目（2018C051）。第一作者：田社平（1967 ），男，博士，副教授，主要從事電路理論和動態(tài)測試技術(shù)等的教學(xué)和科研工作。E-mail: HYPERLINK mailto: 。田社平1，孫盾2，張峰1(1上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院 上海 200240；2浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院 杭州 310027)摘要：基于作者的教學(xué)實踐，討論了電路在正弦激勵下產(chǎn)生非正弦穩(wěn)態(tài)的響應(yīng)的各種情況。零狀態(tài)動態(tài)電路存在正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的充要條件為，響應(yīng)的象函數(shù)Y(s)存在且僅存在一對共軛虛極點，而Y(s)的其它

2、極點均位于復(fù)平面的開左半平面上。通過實例說明了在正弦激勵下產(chǎn)生非正弦穩(wěn)態(tài)的響應(yīng)的情形。電路本文的討論對豐富正弦穩(wěn)態(tài)電路分析的教學(xué)內(nèi)容，加深學(xué)生對相關(guān)知識的理解，具有良好的助益。關(guān)鍵詞：正弦激勵；非正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；電路中圖分類號： TM13 文獻標識碼 ANon-sinusoidal Steady-state Response of Circuit with Sinusoidal ExcitationTIAN She-ping1, SUN Dun2, ZHANG Feng1(1School of Electronic, Information and Electrical Engineering,

3、 Shanghai Jiao Tong Univ., Shanghai 200240, China; 2College of Electrical and Electronic Eng，Zhejiang Univ.，Hangzhou 310027,China)Abstract: Based on the teaching practice, various situations of non-sinusoidal steady-state response of circuit with sinusoidal excitation are discussed. The necessary an

4、d sufficient condition for the existence of sinusoidal steady-state response in a zero-state dynamic circuit is that the Laplace transform of the response which is Y (s) exists and has only one pair of conjugate virtual poles, while the other poles of Y (s) lie on the left open plane of the complex

5、plane. Several examples are given to illustrate the non-sinusoidal steady-state response with sinusoidal excitation. The discussion is helpful to enrich the teaching content of sinusoidal steady-state circuit analysis and deepen students understanding of relevant knowledge.Key words: sinusoidal exci

6、tation; non-sinusoidal steady-state response; circuit處于正弦穩(wěn)態(tài)的電路稱為正弦穩(wěn)態(tài)電路。一般而言，線性非時變電路在正弦激勵下，其響應(yīng)（電壓、電流）都是與激勵同頻率的正弦量。其理論依據(jù)是正弦穩(wěn)態(tài)電路的主定理1, 2：任意個角頻率相同的正弦量以及任意個這種正弦量的任意階導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和，仍為一個同頻率的正弦量。盡管如此，對一個動態(tài)電路，在正弦激勵下，其響應(yīng)就一定會進入正弦穩(wěn)態(tài)嗎？響應(yīng)可以不是正弦穩(wěn)態(tài)的嗎？這是筆者在教學(xué)中碰到的問題。本文結(jié)合筆者的教學(xué)實踐，試圖對這一問題進行討論，以就教于大家。理論分析對某一單一激勵的零狀態(tài)線性非時變電路，假設(shè)其激勵

7、為 (1)在該激勵下，電路的某一電壓/電流響應(yīng)為y(t)。由該電路的s域模型，可以得到對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)，且有(2)由式(2)可知，電路響應(yīng)的象函數(shù)（對應(yīng)電路的時域響應(yīng)）Y(s)完全由H(s)、X(s)決定。具體而言，H(s)、X(s)的零點、極點共同決定了電路的響應(yīng)。顯然，X(s)包含一對共軛虛極點p1,2=j和一個零點z1=tan。根據(jù)H(s)的零點、極點，可以得到如下結(jié)論：如果H(s)包含p1,2=j的虛極點，則該極點是Y(s)的二重虛極點，對應(yīng)地，響應(yīng)y(t)中就會出現(xiàn)形式的項3。此時，響應(yīng)y(t)中不會包含有頻率為的正弦量。如果H(s)不包含z1,2=j的虛零點，則響應(yīng)y(t)中

8、包含有頻率為的正弦量。如果H(s)包含z1,2=j的虛零點，則該零點與X(s)中的共軛虛極點p1,2=j對消，從而響應(yīng)y(t)中不包含有頻率為的正弦量。如果H(s)包含p=0的極點（零固有頻率），且0，則響應(yīng)y(t)中就會出現(xiàn)直流項4。當(dāng)=0時，X(s)包含一個等于零的零點，如果此時H(s)包含一個零固有頻率，則該零固有頻率會與X(s)中的相應(yīng)零點對消，從而響應(yīng)y(t)中就不會出現(xiàn)直流項。應(yīng)用實例與仿真基于上述分析，我們可以舉出若干正弦激勵下出現(xiàn)非正弦響應(yīng)的電路例子。2.1 H(s)包含p1,2=j的虛極點的情況如圖1所示為LC二階電路，電路的激勵為 (3)從而得到 (4)圖1 LC電路由圖中

9、參數(shù)可知，電容電壓uo所對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為 (5)可見，H(s)包含p1,2=j10的虛極點，與X(s)的極點相同，電路不可能包含正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。由式(4)、式(5)可得 (6)利用Multisim軟件對圖1進行仿真，結(jié)果如圖2所示?？梢姡瑄o隨時間遞增，電路不能進入正弦穩(wěn)態(tài)。圖2 圖1電路電容電壓uo的響應(yīng)曲線2.2 共軛虛極點、共軛虛零點對消的情況如圖3所示電路，由三個一階低通濾波電路與一個加法電路構(gòu)成。對該電路進行分析，不難得出網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為 (7)可見，H(s)包含z1,2=j的虛零點。圖3 含共軛虛零點的電路現(xiàn)取定電路的激勵為 (8)從而得到 (9)則X(s)的極點與H(s)的零點正號對消，

10、從而有 (10)可見，電路不能進入正弦穩(wěn)態(tài)，而是達到零穩(wěn)態(tài)。利用Multisim軟件對圖3進行仿真的仿真結(jié)果見圖4。圖4 圖3電路電容電壓uo的響應(yīng)曲線2.3 H(s)包含零固有頻率的情況。如圖5所示電路，由一個積分電路、一個一階低通濾波電路與一個加法電路構(gòu)成。對該電路進行分析，可得出網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為 (11)可見，圖5電路包含一階零固有頻率。如果取定激勵如式(8)所示，則有(12)同樣，電路無法進入正弦穩(wěn)態(tài)，因為響應(yīng)中包含直流穩(wěn)態(tài)分量。利用Multisim軟件對圖5進行仿真的仿真結(jié)果見圖6。圖5 含零固有頻率的電路圖6 圖5電路電容電壓uo的響應(yīng)曲線如果對圖5電路取激勵為x(t)=cost V，則

11、有 (13)(14)可見，由于等于零的零點與零固有頻率對消，響應(yīng)中不再有直流分量，電路能夠進入正弦穩(wěn)態(tài)。進一步的討論由上面分析可知，可以總結(jié)出如下結(jié)論：零狀態(tài)動態(tài)電路存在正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的充要條件為，響應(yīng)的象函數(shù)Y(s)存在且僅存在一對共軛虛極點，而Y(s)的其它極點均位于復(fù)平面的開左半平面上。如果電路存在初始狀態(tài)，則上述結(jié)論不一定成立。下面舉例加以說明?？紤]圖7所示電路，采用拉式變換求解響應(yīng)電壓uo。作出s域模型如圖8所示，可得圖7 非零狀態(tài)電路圖8 圖7電路的s域模型(15)可見，Uo(s)包含一個等于零的極點。由上式解得時域響應(yīng)為(16)由式(16)可知，電路無法進入正弦穩(wěn)態(tài)，而是進入非正弦

12、周期穩(wěn)態(tài)，其中的直流項是由電路的非零狀態(tài)引起的。對圖7電路，只要初始狀態(tài)為零，電路就將進入正弦穩(wěn)態(tài)！下面再舉一例。如圖1所示電路，假設(shè)電感的初始狀態(tài)為零，電容的初始狀態(tài)為uo(0+)=2V，激勵為x(t)=cos(20t)V，作出s域模型如圖9所示，可得圖9 圖1電路的s域模型(17)可見，Uo(s)包含1個等于零的極點、2個共軛虛極點。由上式求得時域響應(yīng)為 (18)由式(18)可知，電路無法進入正弦穩(wěn)態(tài)，而是進入非正弦周期穩(wěn)態(tài)，其中的直流項是由電路的非零狀態(tài)引起的，-7sin(10t)/3項則是由電路的虛固有頻率引起的。4 結(jié)語正弦穩(wěn)態(tài)電路是電路理論教學(xué)中的重要內(nèi)容。盡管如此，在教學(xué)中較少涉及電路在正弦激勵下的非正弦穩(wěn)態(tài)的響應(yīng)。本文基于作者的教學(xué)實踐，討論了電路在正弦激勵下產(chǎn)生非正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的各種情況，對豐富正弦穩(wěn)態(tài)電路分析的教學(xué)內(nèi)容，加深學(xué)生對相關(guān)知識的理解，具有良好的助益。值得指出的是，在實際應(yīng)用中，可以改變正弦激勵的頻率，確保