數(shù)學(xué)2-1導(dǎo)數(shù)概念

1、第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念一. 引例二. 導(dǎo)數(shù)的定義三. 求導(dǎo)數(shù)舉例四. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義五. 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之 間的關(guān)系一、引例1.自由落體運(yùn)動的瞬時(shí)速度問題如圖,取極限得2.切線問題割線的極限位置切線位置播放如圖, 如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線.極限位置即兩個(gè)問題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .類似問題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問題二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1 . 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為

2、記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義 , 在點(diǎn)處可導(dǎo), 在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù). 運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度曲線在 M 點(diǎn)處的切線斜率其它形式v =不存在,就說函數(shù)在點(diǎn) 不可導(dǎo). 若函數(shù)在開區(qū)間I內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就稱函數(shù)在I內(nèi)可導(dǎo). 若極限 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：2.右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù):三、求導(dǎo)數(shù)舉例步驟:例1解常數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒為零!例2解例3解更一般地例如,例4解例5解例6解例7.設(shè), 問 a 取何值時(shí),在0點(diǎn)存在?解: 顯然該函數(shù)在 x = 0 連續(xù)且 f (0)=0.故時(shí)此時(shí)在都存在, 導(dǎo)函數(shù)四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線方程為法線方程為例8解由導(dǎo)數(shù)的幾何意

3、義, 得切線斜率為所求切線方程為法線方程為例9. 問曲線哪一點(diǎn)有鉛直切線?哪一點(diǎn)處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對應(yīng)則在點(diǎn)(1,1),(-1,-1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(diǎn)(0,0)有鉛直切線五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).證由極限的運(yùn)算法則,若在一點(diǎn)不連續(xù),則一定不可導(dǎo)!連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例0例如,注意: 該定理的逆定理不成立. 可導(dǎo) 連續(xù).01例如,此時(shí), 叫做在 x = 1處有鉛直切線.例10解六、小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): 增量比的極限;3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率;4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 求導(dǎo)數(shù)最基

4、本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù).6. 判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).連續(xù)直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.思考題思考題解答練習(xí)題答案2.切線問題割線的極限位置切線位置2.切線問題割線的極限位置切線位置2.切線問題割線的極限位置切線位置2.切線問題割線的極限位置切線位置2.切線問題割線的極限位置切線位置2.切線問題割線的極限位置切線位置2.切線問題割線的極限位置切線位置2.切線問題割線的極限位置切線位置2.切線問題割線的極限位置切線位置2.切線問題割線的極限位置切線位置2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(