高中數(shù)學(xué)全程學(xué)習(xí)方略配套通用PPT課件幾類(lèi)不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型人教A必修

1、高中數(shù)學(xué)全程學(xué)習(xí)方略配套課件幾類(lèi)不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型人教A必修1.了解和體會(huì)函數(shù)模型在社會(huì)生活及科研中的廣泛應(yīng)用. 2.理解直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的含義以及三種函數(shù)模型的性質(zhì)的比較.3.掌握常見(jiàn)增長(zhǎng)函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)，并能體會(huì)其增長(zhǎng)的快慢以及應(yīng)用. 1.本課重點(diǎn)是幾類(lèi)不同函數(shù)模型增長(zhǎng)的含義及差異.2.本課難點(diǎn)是怎樣選擇數(shù)學(xué)模型分析解決實(shí)際問(wèn)題.1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)(1)指數(shù)函數(shù)解析式：_；單調(diào)性：在(0，+)上的增減性：_；圖象的變化：隨x增大逐漸與_軸平行.y=ax(a1)增函數(shù)y(2)對(duì)數(shù)函數(shù)解析式：_；單調(diào)性：在(0，+)上的增減性：_；圖象的變化：隨x增大逐漸與_軸平行.y=

2、logax(a1)增函數(shù)x(3)冪函數(shù)解析式：_；單調(diào)性：在(0,+)上的增減性：_；圖象的變化：隨_值不同而不同.y=xn(n0)增函數(shù)n2.三種函數(shù)的增長(zhǎng)速度的比較函數(shù)y=ax(a1)、y=logax(a1)、y=xn(n0)在區(qū)間(0,+)上：(1)單調(diào)性:_函數(shù)；(2)增長(zhǎng)速度：y=ax(a1)：隨著x的增大，y增長(zhǎng)速度_，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n0)的增長(zhǎng)速度，y=logax(a1)的增長(zhǎng)速度_；(3)存在一個(gè)x0,當(dāng)xx0時(shí)，有_.增越來(lái)越快越來(lái)越慢axxnlogax1.函數(shù)y=x2與y=2x在(4，+)上哪一個(gè)增長(zhǎng)得更快些？提示：由圖象可知.y=2x的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于y=x2的增長(zhǎng)

3、速度.Oyx2 4 8y=x2y=2x16128422.在區(qū)間(0,+)上，當(dāng)a1，n0時(shí)，是否總有l(wèi)ogaxxnax成立？提示：不是，但總存在x0，使得當(dāng)a1,n0，xx0時(shí)，logaxxnax成立.3.在函數(shù)y=3x，y=log3x，y=3x，y=x3中增長(zhǎng)速度最快的是_.【解析】由各函數(shù)的增長(zhǎng)差異可判斷出y=3x的增長(zhǎng)速度最快.答案：y=3x1.三類(lèi)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異(1)對(duì)于冪函數(shù)y=xn，當(dāng)x0，n0時(shí)，y=xn才是增函數(shù)，當(dāng)n越大時(shí)，增長(zhǎng)速度越快.(2)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的遞增前提是a1，又它們的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，從而可知，當(dāng)a 越大，y=ax增長(zhǎng)越快；當(dāng)a越小，y=logax增

4、長(zhǎng)越快，一般來(lái)說(shuō)，axlogax(x0,a1).(3)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)，當(dāng)x0，n0，a1時(shí)，可能開(kāi)始時(shí)有xnax，但因指數(shù)函數(shù)是“爆炸型”函數(shù)，當(dāng)x大于某一個(gè)確定值x0后，就一定有axxn.2.三種函數(shù)模型的表達(dá)形式及其增長(zhǎng)特點(diǎn)(1)指數(shù)函數(shù)模型：能用指數(shù)型函數(shù)f(x)=abx+c(a，b，c為常數(shù)，a0，b1)表達(dá)的函數(shù)模型，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量x的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快，常稱(chēng)之為“指數(shù)爆炸”.(2)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：能用對(duì)數(shù)型函數(shù)f(x)=mlogax+n(m，n，a為常數(shù)，m0，a1)表達(dá)的函數(shù)模型，其增長(zhǎng)的特點(diǎn)是開(kāi)始階段增長(zhǎng)得較快，但隨著x的逐漸增大，其函數(shù)值變化的越來(lái)越慢，常

5、稱(chēng)之為“蝸牛式增長(zhǎng)”.(3)冪函數(shù)模型：能用冪型函數(shù)f(x)=ax+b(a，b，為常數(shù)，a0，1)表達(dá)的函數(shù)模型，其增長(zhǎng)情況由a和的取值確定，常見(jiàn)的有二次函數(shù)模型和反比例函數(shù)模型. 函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異【技法點(diǎn)撥】函數(shù)模型增長(zhǎng)差異問(wèn)題的處理技巧(1)處理的關(guān)鍵是確定變量間的關(guān)系，不能僅僅根據(jù)自變量較大時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值比較，還要看函數(shù)值的變化趨勢(shì).(2)對(duì)數(shù)函數(shù)模型適合描述先快后慢，增長(zhǎng)速度比較平緩的變化規(guī)律，指數(shù)函數(shù)模型適合描述先慢后快，增長(zhǎng)速度急劇上升的變化規(guī)律，依據(jù)其規(guī)律可幫助快速的選擇函數(shù)模型.【典例訓(xùn)練】1.某商品的價(jià)格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價(jià)格與原來(lái)的價(jià)格

6、相比，變化的情況是( )(A)增長(zhǎng)了7.84%(B)減少了7.84%(C)減少了9.5%(D)不增不減2.研究函數(shù)y=0.5ex-2,y=ln(x+1),y=x2-1在0,+)上的增長(zhǎng)情況.【解析】1.選B.設(shè)該商品原價(jià)為a，則四年后的價(jià)格為a(1+ 0.2)2(1-0.2)2=a1.220.82=0.921 6a，所以a-0.921 6a=0.078 4a=7.84%a，故變化的情況是減少了7.84%.2.分別在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出三個(gè)函數(shù)的圖象(如圖),從圖象上可以看出函數(shù)y=0.5ex-2的圖象首先超過(guò)了函數(shù)y=ln(x+1)的圖象,然后又超過(guò)了y=x2-1的圖象,即存在一個(gè)x0滿足 -2

7、 =x02-1,當(dāng)xx0時(shí),ln(x+1)x2-10.5ex-2.y= -2Oyxy= x2-1y= ln(x+1)【思考】處理函數(shù)模型增長(zhǎng)差異問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？提示：處理函數(shù)模型增長(zhǎng)差異問(wèn)題的關(guān)鍵是確定變量間的關(guān)系.【變式訓(xùn)練】有一組數(shù)據(jù)如下表：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，則其中最接近的一個(gè)是( )(A)v=log2t (B)v=(C)v= (D)v=2t-2t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01【解析】選C.取t=1.992，代入A,得v=log22=11.5，代入B,得v= =-11.5，代入C,得v= =1.5，代入D，得v=

8、22-21.5.同理取t=3.0代入可知C項(xiàng)最符合，故選C. 圖象信息遷移題【技法點(diǎn)撥】圖象信息題的解答策略(1)明確橫軸、縱軸的意義，分析題中的具體含義(2)從圖象形狀上判定函數(shù)模型.(3)抓住特殊點(diǎn)的實(shí)際意義，特殊點(diǎn)一般包括最高點(diǎn)(最大值點(diǎn))、最低點(diǎn)(最小值點(diǎn))及折線的拐角點(diǎn)等.(4)通過(guò)方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型化實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題.【典例訓(xùn)練】1.如圖，ABC為等腰直角三角形，直線l與AB相交且lAB，直線l截這個(gè)三角形所得的位于直線右方的圖形面積為y，點(diǎn)A到直線l的距離為x，則yf(x)的圖象大致為四個(gè)選項(xiàng)中的( )2.如圖所示，折線是某電信局規(guī)定打長(zhǎng)途電話所需要付的電話費(fèi)y(元)

9、與通話時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系圖象，根據(jù)圖象填空：(1)通話2分鐘，需付電話費(fèi)_元;(2)通話5分鐘，需付電話費(fèi)_元;(3)如果t3，則電話費(fèi)y(元)與通話時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi).【解析】1.選C.設(shè)ABa，則y ，其圖象為拋物線的一段，開(kāi)口向下，頂點(diǎn)在y軸上方故選C.2.(1)由圖象可知，當(dāng)t3時(shí)，電話費(fèi)都是3.6元.(2)由圖象可知，當(dāng)t=5時(shí)，y=6，需付電話費(fèi)6元.(3)當(dāng)t3時(shí)，y關(guān)于t的圖象是一條直線，且經(jīng)過(guò)(3,3.6)和(5,6)兩點(diǎn)，故設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=kt+b，則解得故電話費(fèi)y(元)與通話時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=1.2t(t3).答案：(1)3.

10、6 (2)6 (3)y=1.2t(t3)【互動(dòng)探究】題2中的已知條件不變，若通話費(fèi)用為4.5元，則通話時(shí)間是多少？【解析】由題2的解析結(jié)合圖象可知，當(dāng)y=4.5元時(shí)，通話時(shí)間超過(guò)3分鐘，故電話費(fèi)與時(shí)間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=1.2t(t3), 4.5=1.2t,t=3.75(分鐘).故若通話費(fèi)用為4.5元時(shí)，通話時(shí)間為3.75分鐘.【思考】解決本題1,2的關(guān)鍵是什么？提示：(1)解決本題1的關(guān)鍵是根據(jù)條件建立面積y關(guān)于x的關(guān)系式;(2)解決本題2的關(guān)鍵是讀懂題目所給函數(shù)圖象，借助圖象處理問(wèn)題.【變式訓(xùn)練】(2012萬(wàn)州高一檢測(cè))“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來(lái)，睡

11、了一覺(jué)，當(dāng)它醒來(lái)時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)用S1,S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時(shí)間，則與故事情節(jié)相吻合的是( )【解析】選B.由于烏龜慢慢爬行可看作勻速運(yùn)動(dòng)，函數(shù)S1=f(t)，圖象是直線,兔子先跑后停再跑；函數(shù)S2=g(t)圖象是直線，且中間一段是與S軸垂直的；可排除C,最后根據(jù)烏龜先到終點(diǎn)知烏龜用時(shí)短，排除A、D，綜上知B吻合故事情節(jié). 兩種方案的選擇【技法點(diǎn)撥】“四步走”解函數(shù)應(yīng)用題第一步:閱讀、理解題意,認(rèn)真審題.讀懂題中的文字?jǐn)⑹?理解敘述所反映的實(shí)際背景,領(lǐng)悟從背景中概括出來(lái)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì).審題時(shí)要抓住題目中的關(guān)鍵量,善于聯(lián)想、化歸

12、,實(shí)現(xiàn)應(yīng)用問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.第二步:引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào),建立數(shù)學(xué)模型.一般地，設(shè)自變量為x,函數(shù)為y,并用x表示各相關(guān)量,然后根據(jù)已知條件,運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化,即所謂建立數(shù)學(xué)模型.第三步:利用數(shù)學(xué)方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題(即數(shù)學(xué)模型)解答,求得結(jié)果.第四步:再轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答.【典例訓(xùn)練】1.某公司為了適應(yīng)市場(chǎng)需求，對(duì)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整調(diào)整后初期利潤(rùn)增長(zhǎng)迅速，后來(lái)增長(zhǎng)越來(lái)越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)反映該公司調(diào)整后利潤(rùn)y與產(chǎn)量x的關(guān)系，則可選用( )(A)一次函數(shù) (B)二次函數(shù)(C)指數(shù)型函數(shù) (

13、D)對(duì)數(shù)型函數(shù)2.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為50元,其成本價(jià)為25元,因?yàn)樵谏a(chǎn)過(guò)程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米污水排出,為了凈化環(huán)境,工廠設(shè)計(jì)兩套方案對(duì)污水進(jìn)行處理,并準(zhǔn)備實(shí)施.方案一:工廠的污水先凈化處理后再排出,每處理1立方米污水所用原料費(fèi)2 元,并且每月排污設(shè)備損耗費(fèi)為30 000元;方案二:工廠將污水排到污水處理廠統(tǒng)一處理,每處理1立方米污水需付14元的排污費(fèi).問(wèn):(1)工廠每月生產(chǎn)3 000件產(chǎn)品時(shí),你作為廠長(zhǎng),在不污染環(huán)境,又節(jié)約資金的前提下應(yīng)選擇哪種方案? 通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；(2)若工廠每月生產(chǎn)6 000件產(chǎn)品,你作為廠長(zhǎng),又該如何決策呢?【解析】1.選D.一

14、次函數(shù)保持均勻的增長(zhǎng)，不符合題意；二次函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸的兩側(cè)有增也有降；而指數(shù)型函數(shù)是“爆炸式”增長(zhǎng)，不符合“增長(zhǎng)越來(lái)越慢”，因此，只有對(duì)數(shù)型函數(shù)最符合題意，先快速增長(zhǎng)，后來(lái)越來(lái)越慢2.解題流程.求值判斷下結(jié)論構(gòu)造函數(shù)設(shè)工廠每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品時(shí)，依方案一的利潤(rùn)為y1，依方案二的利潤(rùn)為y2，由題意知y1=(50-25)x-20.5x-30 000=24x-30 000, y2=(50-25)x-140.5x=18x.(1)當(dāng)x=3 000時(shí)，y1=42 000, y2=54 000，y1y2(2)當(dāng)x=6 000時(shí)，y1=114 000, y2=108 000，y1y2應(yīng)選擇方案二處理污水應(yīng)選擇方案一

15、處理污水【想一想】(1)解決題1的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？(2)解決題2時(shí)的方法是什么？提示：(1)解決題1的關(guān)鍵點(diǎn)是了解到此函數(shù)增長(zhǎng)的情況初期增長(zhǎng)迅速，后來(lái)越來(lái)越慢.(2)解決題2時(shí)的方法是先把每種方案都列出來(lái)，然后進(jìn)行比較，最后作出選擇.【變式訓(xùn)練】某文具店出售軟皮本和鉛筆，軟皮本每本2元，鉛筆每根0.5元，該店推出兩種優(yōu)惠辦法：(1)買(mǎi)一本軟皮本贈(zèng)送一根鉛筆；(2)按總價(jià)的92%付款.現(xiàn)要買(mǎi)軟皮本4本，鉛筆若干根(不少于4根)，若購(gòu)買(mǎi)鉛筆數(shù)為x根，支付款數(shù)為y元，試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明使用哪種優(yōu)惠辦法更合算？【解題指南】根據(jù)題意列出兩個(gè)一次函數(shù)關(guān)系式，利用變量的范圍

16、，比較兩函數(shù)的大小，從而確定使用哪種優(yōu)惠辦法更合算.【解析】由優(yōu)惠辦法(1)得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式為:y=24+0.5(x-4)=0.5x+6(x4，且xN).由優(yōu)惠辦法(2)得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=(0.5x+24)92%=0.46x+7.36(x4，且xN).令0.5x+6=0.46x+7.36，解得x=34，且當(dāng)4x34時(shí)，0.5x+60.46x+7.36，當(dāng)x34時(shí)，0.5x+60.46x+7.36，即當(dāng)購(gòu)買(mǎi)鉛筆數(shù)少于34根(不少于4根)時(shí)，用優(yōu)惠辦法(1)合算；當(dāng)購(gòu)買(mǎi)鉛筆數(shù)多于34根時(shí)，用優(yōu)惠辦法(2)合算；當(dāng)購(gòu)買(mǎi)鉛筆數(shù)是34根時(shí)，兩種優(yōu)惠辦法支付的總錢(qián)數(shù)是相同的，即一樣合算.

17、【規(guī)范解答】巧用函數(shù)圖象比較大小【典例】(12分)已知函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3，在同一坐標(biāo)系下作出它們的圖象，結(jié)合圖象比較f(8)，g(8)，f(2 012)，g(2 012)的大小.【解題指導(dǎo)】【規(guī)范解答】列表x -10123 f(x) 1248g(x) -101827 2分 描點(diǎn)、連線,得如圖所示圖象： 4分則函數(shù)f(x)=2x對(duì)應(yīng)的圖象為C2，函數(shù)g(x)=x3對(duì)應(yīng)的圖象為C1. 6分g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10)=1 000,f(10)=1 024,f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(9),f

18、(10)g(10)，1x12,9x210,x18x22 012. 8分從圖象上知，當(dāng)x1xx2時(shí)，f(x)g(x);當(dāng)xx2時(shí)，f(x)g(x), 10分且g(x)在(0,+)上是增函數(shù),f(2 012)g(2 012)g(8)f(8). 12分【閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)閱卷后分析，對(duì)解答本題的失分警示及解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的見(jiàn)規(guī)范解答過(guò)程)失分警示在解答過(guò)程中若在處把函數(shù)的對(duì)應(yīng)圖象找錯(cuò)，直接影響后面的函數(shù)值大小的判斷，在考試中最多給2分,是考試中常出現(xiàn)的失分點(diǎn). 在解答過(guò)程中，雖處解答正確，但卻沒(méi)能由特殊值的函數(shù)值的大小，總結(jié)出兩函數(shù)圖象交點(diǎn)x1，x2的范圍，即處的1x12,9x210,x1

19、8x22 012，則此種情況會(huì)導(dǎo)致后面的函數(shù)值的大小比較失誤,在考試中最多給68分. 失分警示在解答過(guò)程中若漏掉處，雖然處正確，但本題沒(méi)有給出結(jié)論性的答案,屬于解題步驟不完整，在考試中最多得10分. 解題啟示(1)要熟記基本函數(shù)圖象的特點(diǎn)，并把握好指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖象的增長(zhǎng)特點(diǎn).(2) 結(jié)合圖象分析圖中曲線的特點(diǎn)與區(qū)別，聯(lián)想對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.(3)解答題目要步驟完整，需要下總結(jié)性結(jié)論的，最后一定要點(diǎn)明，規(guī)范步驟. 【規(guī)范訓(xùn)練】(12分)已知0 x20，利用圖象說(shuō)明 和log2x的大小關(guān)系.【規(guī)范答題】作出f(x)= 和g(x)=log2x的圖象，如圖所示： 4分Oyxf(x)=g(x)=log2x510152024由圖象可知：在(0,4)內(nèi)， log2x; 6分x=4或x=16時(shí)， =log2x； 8分在(4,16)內(nèi) log2x; 10分在(16,20)內(nèi) log2x. 12分1.當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，下列函數(shù)中