2022年《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》費(fèi)業(yè)泰—答案

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理(第 6 版)費(fèi)業(yè)泰答案(最全 ) 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第一章 緒論 1-1研究誤差的意義是什么？簡述誤差理論的主要內(nèi)容。答： 研究誤差的意義為：(1)正確認(rèn)識(shí)誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因，以消除或減小誤差；(2)正確處理測量和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果，以便在一定條件下 得到更接近于真值的數(shù)據(jù)；(3)正確組織實(shí)驗(yàn)過程，合理設(shè)計(jì)儀器或選用儀器和測量方法，以便在 最經(jīng)濟(jì)條件下，得到理想的結(jié)果。誤差理論的主要內(nèi)容：誤差定義、誤差來源及誤差分類等。1-2試 述測量誤差的定義及分類，不同種類誤差的特點(diǎn)是什么？答：測量誤差 就是測的值與被測量的真值之間的差；按照誤差的特點(diǎn)和性質(zhì)，可分為

2、系 統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、粗大誤差。系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是在所處測量條件下，誤差的絕對值和符號(hào)保持恒定，；或遵循一定的規(guī)律變化（大小和符號(hào)都按一定規(guī)律變化）隨機(jī)誤差的特點(diǎn)是在所處測量條件下，誤差的絕對值和符號(hào)以不可預(yù) 定方式變化；粗大誤差的特點(diǎn)是可取性。1-3試述誤差的絕對值和絕對誤差有何異同，并舉例說明。答： (1)誤差的絕對值都是正數(shù)，只是說實(shí)際尺寸和標(biāo)準(zhǔn)尺寸差別的大小數(shù)量，不反映是“ 大了” 還是“ 小了”，只是差別量；絕對誤差即可能是正值也可能是負(fù)值，指的是實(shí)際尺寸和標(biāo)準(zhǔn)尺寸的差值。 +多少表明大了多少，-多少表示小了多少。(2)就測量而言 ,前者是指系統(tǒng)的誤差未定但標(biāo)準(zhǔn)值確定的，后者是指系統(tǒng)本

3、身標(biāo)準(zhǔn)值未定o15 測得某三角塊的三個(gè)角度之和為1800002” ,試求測量的絕對誤差和相對誤差解：絕對誤差等于： 180 o00?02?180o?2? 相對誤差等于：2?2?2?0.00000308641?0.000031% o 180180?60?60?648000?1 1-6在萬能測長儀上， 測量某一被測件的長度為 50mm，已知其最大絕對誤差為 1 m，試問該被測件的真實(shí)長度為多少？解： 絕對誤差測得值真值，即： LL L0 已知： L50， L 1 m0.001mm，測件的真實(shí)長度0 L L500.00149.999（mm）1-7用二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測量某壓力得 100.2Pa，該壓

4、力用更準(zhǔn)確的辦法測得為 100.5Pa，問二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測量值的誤差為多少？解：在實(shí)際檢定中，常把高一等級精度的儀器所測得的量值當(dāng)作實(shí)際值。 故二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測量值的誤差測得值實(shí)際值，即：100.2100.5 0.3（ Pa）1-8 在測量某一長度時(shí)，讀數(shù)值為2.31m，其最大絕對誤差為20?m，試求其最大相對誤差。相對誤差 max?絕對誤差 max?100%測得值 20?10-6 ?100%2.31 ?8.66?10-4% 1-9、解：4?2(h1?h2)由 g?，得 2T 4?2?1.04230g?9.81053m/s2 2.0480 4?2(h1?h2)?h，對 g?進(jìn)行全微分，

5、令 dh，T2 dT 得 4?2?h8?2h?T ?g?23TT h?h1?h2，并令 ?g，?T 代替 dg，從而 ?g?h?T?2的最大相對誤差為：ghT ?gmax?hmax?T?2max ghT =0.00005?0.0005 ?2?1.042302.0480 2 =5.3625?10?4% 4?2(h1?h2)由 g? ，得 T? 2T T?2.04790 ?gmax?hmax?T?2max ghT ABS?gmT?hm?2hgxaABSx由 ?Tm?m，?gxg有mT?hi 2h n(m 1-10 檢定 2.5 級（即引用誤差為2.5%）的全量程為100V 的電壓表，發(fā)現(xiàn) 50V

6、刻度點(diǎn)的示值誤差 最大引用誤差 ? 2V 為最大誤差，問該電壓表是否合格？某量程最大示值誤差 ?100%測量范圍上限?2?100%?2%?2.5%100 該電壓表合格1-11 為什么在使用微安表等各種表時(shí)，總希望指針在全量程的2/3 范圍內(nèi)使用？答：當(dāng)我們進(jìn)行測量時(shí)，測量的最大相對誤差 : xmaxxm ?s%即: A0A0?max?xms%A0 所以當(dāng)真值一定的情況下，所選用的儀表的量程越小，相對誤差越小，測量越準(zhǔn)確。因此我們選擇的量程應(yīng)靠近真值，所以在測量時(shí)應(yīng)盡量使指針靠近滿度范圍的三分之二以上1-12 用兩種方法分別測量L1=50mm，L2=80mm。測得值各為 50.004mm，80.

7、006mm。試評定兩種方法測量精度的高低。相對誤差L1:50mm I1?50.004?50?100%?0.008% 50 3 L2:80mm I2?80.006?80?100%?0.0075% 80 I1?I2 所以 L2=80mm 方法測量精度高。113 多級彈導(dǎo)火箭的射程為10000km 時(shí)，其射擊偏離預(yù)定點(diǎn)不超過0.lkm，優(yōu)秀射手能在距離50m 遠(yuǎn)處準(zhǔn)確地射中直徑為2cm 的靶心，試評述哪一個(gè)射擊精度高? 解：射手的相對誤差為：多級火箭的射擊精度高。1-14 若用兩種測量方法測量某零件的長度L1=110mm，其測量誤差分別為 ?11?m 和?9?m；而用第三種測量方法測量另一零件的長度

8、 L2=150mm。其測量誤差為 ?12?m，試比較三種測量方法精度的高低。相對誤差11?m?0.01% 110mm 9?m?0.0082 % I2?110mm 12?m?0.008% I3?150mmI1? I3?I2?I1 第三種方法的測量精度最高第二章 誤差的基本性質(zhì)與處理2-1試述標(biāo)準(zhǔn)差、平均誤差和或然誤差的幾何意義。答：從幾何學(xué)的角度出發(fā)，標(biāo)準(zhǔn)差可以理解為一個(gè)從 N 維空間的一個(gè)點(diǎn)到一條直線的距離的函數(shù)；從幾何學(xué)的角度出發(fā)，平均誤差可以理解為N 條線段的平均長度；2-2試述單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差和算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，兩者物理意義及實(shí) 4 際用途有何不同。2-3 試分析求服從正態(tài)分布、反正弦

9、分布、均勻分布誤差落在中的概 率2-4測量某物體重量共8 次，測的數(shù)據(jù) (單位為 g)為 236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，是求算術(shù)平均值以及 標(biāo)準(zhǔn)差。?236.4? ? 236.430.05?(?0.03)?0.11?(?0.06)?(?0.01)?0.08?0.07?0 8 ? ?0.0599 ?0.0212 2-5 用別捷爾斯法、極差法和最大誤差法計(jì)算2-4，并比較2-6 測量某電路電流共 5 次，測得數(shù)據(jù)（單位為 mA）為 168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。試求算術(shù)平均值及

10、其標(biāo)準(zhǔn)差、或然誤差和平均誤 差。x?168.41?168.54?168.59?168.40?168.50 5 ?168.488(mA) ? ?vi?152i 5?1?0.082(mA) ?0.037(mA) 或然誤差： R?0.6745?0.6745?0.037?0.025(mA) 平均誤 差： T?0.7979?x?0.7979?0.037?0.030(mA) 2-7 在立式測長儀上測量某校對量具，重量測量5 次，測得數(shù)據(jù)（單位為 mm）為 20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若測量值服從正態(tài)分布，試以99%的置信概率確定測量結(jié)果。5 x?20.0

11、015?20.0016?20.0018?20.0015?20.0011 5 ? 20.0015(mm) ?0.00025 正態(tài)分布 p=99%時(shí)， t?2.58 ?lim?t? ?2.58 ?0.0003(mm) 測量結(jié)果：X?x?limx?(20.0015?0.0003)mm 27 在立式測長儀上測量某校對量具，重復(fù)測量 5 次，測得數(shù)據(jù) (單 位為 mm)為 20 0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若測量值服從正態(tài)分布，試以 99的置信概率確定測量結(jié)果。解：求算術(shù)平均值 求單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 確定測量的極限誤差因 n5 較小，算術(shù)平

12、均值的極限誤差應(yīng)按t 分布處理。現(xiàn)自由度為： n1 4； 10.990.01，查 t 分布表有： ta4.60 極限誤差為6 寫出最后測量結(jié)果2-9 用某儀器測量工件尺寸，在排除系統(tǒng)誤差的條件下，其標(biāo)準(zhǔn)差?0.004mm，若要求測量結(jié)果的置信限為?0.005mm，當(dāng)置信概率為99%時(shí)，試求必要的測量次數(shù)。正態(tài)分布 p=99%時(shí)， t?2.58 ?limx? ? 2.58?0.004?2.0640.005 n?4.26 取 n?5 210 用某儀器測量工件尺寸，已知該儀器的標(biāo)準(zhǔn)差 0.001mm，若要求測量的允許極限誤差為0.0015mm，而置信概率 P 為 0.95 時(shí)，應(yīng) 測量多少次？解：根

13、據(jù)極限誤差的意義，有 ?t?t 根據(jù)題目給定得已知條件，有 ?n?0.0015 t n?0.0015?1.5 0.001 查教材附錄表 3 有 若 n5，v4， 0.05，有 t2.78，t n?2.78 5?2.78?1.24 2.236 若 n4，v3， 0.05，有 t3.18，t n?3.18 4?3.18?1.59 2 即要達(dá)題意要求，必須至少測量 5 次。2-12 某時(shí)某地由氣壓表得到的讀數(shù)（單位為Pa）為 102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36 ， 7 其權(quán)各為

14、 1，3，5，7，8，6，4，2，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。x?pxi?1 88ii?102028.34(Pa) ?p i?1i ?pivxii?18 i?182?86.95(Pa) (8?1)?pi ?241324，其 ?241336212-13 測量某角度共兩 次，測得值為，?標(biāo)準(zhǔn)差分別為 ?1?3.1,?2?13.8，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。p1:p2? ?1?12:1?22?19044:961 x?241320? ?x?x19044?16?961?4?24?1335 19044?961pii?p i?12?3.1?i19044?3.0 19044?961 2-14 甲、乙兩測

15、量者用正弦尺對一錐體的錐角?各重復(fù)測量5 次，測得值如下：?甲:7?2?20?,7?3?0?,7?2?35?,7?2?20?,7?2?15?; ?乙:7?2?25?,7?2?25?,7?2?20?,7?2?50?,7?2?45?; 試求其測量結(jié)果。甲： x 甲?72?20?60?35?20?15?7?230 5 ?甲 ?18.4 8 ?x 甲? ?8.23 25?25?20?50?45?7?233 5 乙： x 乙?72? ?乙? ?13.5 ? ?6.04 p 甲:p 乙?1?2?:12 乙 11:?3648:6773 8.2326.042 x?p 甲 x 甲?p 乙 x 乙 3648?30

16、?6773?33?72?7?232 p 甲?p 乙 3648?6773 p 甲 p 甲?p 乙 ?8.23?3648?4.87? 3648?6773?x?x甲 X?x?3?x?7?232?15 2-15試證明 n 個(gè)相等精度測得值的平均值的權(quán)為 n 乘以任一個(gè)測量 值的權(quán)。證明：解：因?yàn)?n 個(gè)測量值屬于等精度測量，因此具有相同的標(biāo)準(zhǔn)偏差：n個(gè)測量值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：?x 已知權(quán)與方差成反比，設(shè)單次測量的權(quán)為 P1，算術(shù)平均值的權(quán)為 P2，則P1:P2?1?2:1?2 x?1:n? P2?nP1 m/s2、標(biāo)準(zhǔn)差為 2-16 重力加速度的20 次測量具有平均值為9.811 0.014m/

17、s2。另外 30 次測量具有平均值為 標(biāo)準(zhǔn)差為 9 9.802m/s2，0.022m/s2。假設(shè)這兩組測量屬于同一正態(tài)總體。試求此 50 次測量的 平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。p1:p2?1 2122?:122?1?0.014?20?2:1?0.022?2?242:147 ?242?9.811?147?9.802?9.808(m/s2) 242?147 ?0.014242 ?0.0025（m/s2）242?14720 2-17 對某量進(jìn)行 10 次測量，測得數(shù)據(jù)為14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，試判斷該測量列中是否存在系統(tǒng)誤差。?14.9

18、6 按貝塞爾公式 ?1?0.2633 按別捷爾斯法 ?2?1.253?vi?110i (10?1)?0.2642 由 ?2?1?u 得 u?2?1?0.0034 ?1?1 2?0.67 所以測量列中無系差存在。n?1u? 2-18 對一線圈電感測量10 次，前 4 次是和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，后 6 次是和另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，測得結(jié)果如下（單位為 mH）：50.82，50.83，50.87，50.89；50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。試判斷前 4 次與后 6 次測量中是否存在系統(tǒng)誤差。使用秩和檢驗(yàn)法：排序：10 T=5.5+7+9+10=31.5

19、 查表T?14 T?30 T?T? 所以兩組間存在系差2-19 對某量進(jìn)行 10 次測量，測得數(shù)據(jù)為14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，試判斷該測量列中是否存在系統(tǒng)誤差。?14.96 按貝塞爾公式 ?1?0.2633 按別捷爾斯法 ?2?1.253? ?v i?1 10 i (10?1) ?0.2642 由?2? ?1?u 得 u?2?1?0.0034 ?1?1 2 ?0.67 所以測量列中無系差存在。n?1 u? 2-20對某量進(jìn)行 12 次測量，測的數(shù)據(jù)為 20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12

20、，20.11，20.14，20.18，20.18，20.21，20.19，試用兩種方法 判斷該測量列中是否存在系統(tǒng)誤差。解：(1)殘余誤差校核法 ?20.125 ?(?0.065?0.055?0.065?0.045?0.025?0.005)?(?0.015?0.015?0.055?0.055 ?0.085?0.0?0.54 11 因?yàn)??顯著不為 0，存在系統(tǒng)誤差。（ 2）殘余誤差觀察法 殘余誤差符號(hào)由負(fù)變正，數(shù)值由大到小，在變大，因此繪制殘余誤差 曲線，可見存在線形系統(tǒng)誤差。（ 3）?1 0.05 ?2?v12i?0.06 ?2?1?u?1 ?2u?1? 0.19?1 u?0.603 所以不

21、存在系統(tǒng)誤差。2-22 12 第三章 誤差的合成與分配3-1 相對測量時(shí)需用 塊研合54.255mm 的量塊組做標(biāo)準(zhǔn)件，量塊組由四塊量l?1.25mm，而成，它們的基本尺寸為 l1?40mm，l2?12mm ，3 l4?1.005mm。經(jīng)測量，它們的尺寸偏差及其測量極限誤差分別為 13 ?l1?0.7?m,?l2?0.5?m,?l3?0.3?m, ?l4?0.1?m,?liml1?0.35?m,?liml2?0.25?m,?liml3?0.20?m,?liml4?0.2 0?m。試求量塊組按基本尺寸使用時(shí)的修正值及給相對測量帶來的測量誤 差。修正值 =?(?l1?l2?l3?l4) =?(?0

22、.7?0.5?0.3?0.1) =0.4(?m) 測量誤差 : ?l=?2liml?2liml?2liml?2liml 1234 =?(0.35)2?(0.25)2?(0.20)2?(0.20)2 =?0.51(?m) 3-2 為求長方體體積V，直接測量其各邊長為a?161.6mm，b?44.5mm,c?11.2mm,已知測量的系統(tǒng)誤差 為?a?1.2mm，?b?0.8mm，?c?0.5mm，測量的極限誤差 為?a?0.8mm， ?b?0.5mm，?c?0.5mm， 試求立方體的體積及其體積的極限誤差。V?abc V?f(a,b,c) V0?abc?161.6?44.5?11.2 ?80541

23、.44(mm) 體積 V 系統(tǒng)誤差 ?V 為： 3 ?V?bc?a?ac?b?ab?c 14 ?2745.744(mm3)?2745.74(mm3) 立方體體積實(shí)際大小為：V?V0?V?77795.70(mm3) ?limV?(?f22?f22?f22)?a?()?b?()?c ?a?b?c 222?(bc)2?a?(ac)2?b?(ab)2?c ?3729.11(mm3) 測量體積最后結(jié)果表示為 : V?V0?V?limV?(77795.70?3729.11)mm3 33 長方體的邊長分別為 1， 2, 3 測量時(shí)：標(biāo)準(zhǔn)差均為 ；標(biāo)準(zhǔn)差各為 1、 2、解： 3 。試求體積的標(biāo)準(zhǔn)差。長方體的體

24、積計(jì)算公式為：V?a1?a2?a3 體積的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)為： ?V?(?V22?V22?V22)?1?()?2?()?3 ?a1?a2?a3 現(xiàn)可求出： ?V?V?V?a2?a3；?a1?a3；?a1?a2 ?a1?a2?a3 若： ?1?2?3? 則 有： ?V?(?V22?V22?V22?V2?V2?V2)?1?()?2?()?3?()?()?()?a1?a2?a3?a1?a2?a 3?(a2a3)2?(a1a3)2?(a1a2)2 若： ?1?2?3 則有： ?V?22(a2a3)2?12?(a1a3)2?2?(a1a2)2?3 15 3-4 測量某電路的電流I?22.5mA，電壓 U?12.

25、6V，測量的標(biāo)準(zhǔn)差分?0.1V，求所耗功率P?UI及其標(biāo)準(zhǔn)差 ?P。別為 ?I?0.5mA， U P?UI?12.6?22.5?283.5(mw) P?f(U,I)?U、I 成線性關(guān)系 ?UI?1 ?P?(?f22?f?f?f2)?U?()2?I?2()?u?I ?U?I?U?I ?f?f?U?I?I?U?U?I?22.5?0.1?12.6?0.5 ?U?I ?8.55(mw) 3-9測量某電路電阻 R兩端的電壓 U，按式 I=U/R 計(jì)算出電路電流，若需保證電流的誤差為 0.04A，試求電阻 R和電壓 U 的測量誤差為多少？解：在 I=U/R 式中，電流 I 與電壓 U 是線性關(guān)系，若需要保

26、證電流誤差不大于 0.04A，則要保證電壓的誤差也不大于 0.04 R。312 按公式 V= r2h 求圓柱體體積， 若已知 r 約為 2cm，h 約為 20cm，要使體積的相對誤差等于 1，試問 r 和 h 測量時(shí)誤差應(yīng)為多少 ? 解：若不考慮測量誤差，圓柱體積為V?r2?h?3.14?22?20?251.2cm3 根據(jù)題意，體積測量的相對誤差為 ?1% V 即 ?V?1%?251.2?1%?2.51 1，即測定體積的相對誤差為：現(xiàn)按等作用原則分配誤差，可以求出 測定 r 的誤差應(yīng)為：? ?r?12.511?0.007cm 2?V/?r1.412?hr 測定 h 的誤差應(yīng)為：?h? ?12.

27、511?0.142cm 2?V/?h1.41?r216 3-14 對某一質(zhì)量進(jìn)行4 次重復(fù)測量，測得數(shù)據(jù) (單位 g)為 428.6，429.2，426.5，430.8。已知測量的已定系統(tǒng)誤差 ?2.6g,測量的各極限誤差分量及其相應(yīng)的傳遞系數(shù)如下表所示。若各誤差均服從正態(tài)分布，試求該質(zhì)量? 4 ?428.775(g)?428.8(g) 最可信賴值 x?428.8?2.6?431.4(g) ?f13?f222)ei?()?i ?x?(?x4i?1?xii?1i ?4.9(g) 測量結(jié)果表示為 :x?x?(431.4?4.9)g 52 第四章測量不確定度r，若重復(fù) 10 次測量得 r r =(3.13241 某圓球的半徑為0.005)cm，試求該圓球最大截面的圓周和面積及圓球體積的測量不確定度，置信概率 17 P=99。解：求圓球的最大截面的圓周的測量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為：D?2?r 其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為： 0.0314cm ?D?2u?r?r?22?2?r22?4?3.14159?0.0052 確定包含因子。查 t 分布表 t0.01（ 9） 3.25，及 K3.25 故圓球的最大截面的圓周的測量不確定度為：UKu3.25 0.03140.102 求圓球的體積的測量不確定度圓球體積