【全程復(fù)習(xí)方略】北師版數(shù)學(xué)文（陜西用）總復(fù)習(xí)配套課件： 第十一節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值

1、第十一節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（1）函數(shù)y=f(x)在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)常數(shù)函數(shù)（2）單調(diào)性的應(yīng)用若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）上單調(diào)，則y=f(x)在該區(qū)間上_.不變號2.函數(shù)的極值（1）極大值在包含x0的一個(gè)區(qū)間（a,b)內(nèi)，函數(shù)y=f(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都_x0點(diǎn)的函數(shù)值，稱_為函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，其函數(shù)值_為函數(shù)的極大值.小于或等于點(diǎn)x0f(x0)（2）極小值在包含x0的一個(gè)區(qū)間（a,b）內(nèi)，函數(shù)y=f(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都_x0點(diǎn)的函數(shù)值，稱_為函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，其函數(shù)值_為函數(shù)的極小值._與_統(tǒng)稱為極值，_與_統(tǒng)稱為

2、極值點(diǎn).大于或等于點(diǎn)x0f(x0)極大值極小值極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)（3）導(dǎo)數(shù)與極值x(a,x0)x0(x0,b)f(x) + 0 - y=f(x) 增加 極大值 減少 x(a,x0)x0(x0,b)f(x) -0 +y=f(x) 減少極小值 增加 3.函數(shù)極值與最值的求法(1)求可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)極值的步驟：求出導(dǎo)數(shù)f(x)；解方程f(x)=0；對于方程f(x)=0的每一個(gè)解x0，分析f(x0)在x0左、右兩側(cè)的符號（即f（x）的單調(diào)性），確定極值點(diǎn)：若f（x）在x0兩側(cè)的符號“_”，則x0為極大值點(diǎn)；若f（x）在x0兩側(cè)的符號“_”，則x0為極小值點(diǎn)；若f（x）在x0兩側(cè)的符號_，則x0不是極

3、值點(diǎn).左正右負(fù)左負(fù)右正相同（2）求函數(shù)在閉區(qū)間a,b上的最值可分兩步進(jìn)行：求y=f(x)在(a,b)內(nèi)的_；將函數(shù)y=f(x)的各極值與區(qū)間a,b端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中_為最大值，_為最小值.極值最大的一個(gè)最小的一個(gè)判斷下面結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊保?(1) f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充要條件.( )(2)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值是唯一的.( )(3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.( )(4)對可導(dǎo)函數(shù)f(x),f(x0)=0是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件.( )(5)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值.( )【解析】（1）錯(cuò)誤.f(

4、x)0能推出f(x)為增函數(shù)，反之不一定如函數(shù)f(x)=x3在(-,+)上單調(diào)遞增，但f(x)0所以f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充分條件，但不是必要條件(2)錯(cuò)誤一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值可以不止一個(gè).(3)正確.一個(gè)函數(shù)的極大值與極小值沒有確定的大小關(guān)系，極大值可能比極小值大，也可能比極小值小.(4)錯(cuò)誤.對可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f(x0)=0只是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，如y=x3在x=0時(shí)f(0)=0，而函數(shù)在R上為增函數(shù)，所以0不是極值點(diǎn)(5)正確.當(dāng)函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值時(shí)，這時(shí)的最值不是極值.答案：(1)(2)(3)(4)(5)1函數(shù)f(x)ln xax(a0)的遞增區(qū)間為

5、( )（A） （B）（C） （D）(-,a)【解析】選A.由 得 f(x)的遞增區(qū)間為2設(shè)f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x1處均有極值，則下列點(diǎn)中一定在x軸上的是( )（A）(a，b) （B）(a，c)（C）(b，c) （D）(ab，c)【解析】選A.f(x)3ax22bxc，由題意知1，1是方程3ax22bxc0的兩根， b0.3.函數(shù)f(x)=x3-3x,x(-1,1)( )（A）有最大值，但無最小值 （B）有最大值，也有最小值（C）無最大值，也無最小值 （D）無最大值，但有最小值【解析】選C.f(x) =3x2-3,x(-1,1),f(x)0,f(x)在(-1,1)上是減少的

6、，故f(x)無最大值，也無最小值. 4已知f(x)x3ax在1，)上是增加的，則a的最大值是( )（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【解析】選D. f(x)3x2a0在1，)上恒成立，即a3x2在1，)上恒成立，而(3x2)min3123.a3，故amax3.5已知yf(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(1)1，f(x)1，則f(x)x的解集是( )（A）(0,1) （B）(1,0)(0,1)（C）(1，) （D）(，1)(1，)【解析】選C.令F(x)f(x)x，則F(x)f(x)10，所以F(x)是增函數(shù)，故易得F(x)F(1)的解集，即f(x)x的解集是(1，)考向 1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

7、的單調(diào)性 【典例1】（1）（2012遼寧高考）函數(shù) 的遞減區(qū)間為( )（A）(-1,1 （B）(0,1（C）1,+) （D）(0,+)（2）（2012北京高考改編）已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a0), g(x)=x3+bx.若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公切線,求a,b的值;當(dāng)a2=4b時(shí),求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間.【思路點(diǎn)撥】（1）保證函數(shù)有意義的前提下，利用y0求解.(2)利用交點(diǎn)既在f(x)上,也在g(x)上，在公切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)相等，構(gòu)造方程組求解；構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)，再利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間.【規(guī)范解答】（1）選B.由 -1x1，

8、且x0，又函數(shù)的定義域?yàn)?0,+),故遞減區(qū)間為(0,1.（2）f(x)=2ax,g(x)=3x2+b，由已知可得解得a=b=3.令 令F(x)=0，得a0,x10得， 或由F(x)0得，遞增區(qū)間是遞減區(qū)間為【互動(dòng)探究】在本例題(2)中，若條件不變，討論函數(shù)f(x)+g(x)當(dāng)a0時(shí)，在區(qū)間（-，-1)上的單調(diào)性.【解析】由本例解析知，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是 遞減區(qū)間為當(dāng) 即0a2時(shí)，f(x)+g（x）在(-，-1)上為增加的；當(dāng) 即26時(shí)，f(x)+g（x）在 上是增加的，在 上是減少的，在 上是增加的.綜上，當(dāng)00時(shí),因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+(a-1)x-a的圖像開口向上,而f(0)=

9、-a0,所以需f(1)=(a-1)e0,即0a1; 3分當(dāng)a=1時(shí),對于任意x0,1,有f(x)=(x2-1)ex0,且只在x=1時(shí)f(x)=0,f(x)符合條件;當(dāng)a=0時(shí),對于任意x0,1,f(x)=-xex0,且只在x=0時(shí)，f(x)=0，f(x)符合條件;當(dāng)a0,f(x)不符合條件.故a的取值范圍為0a1.5分(2)因g(x)=(-2ax+1+a)ex,g(x)=(-2ax+1-a)ex,()當(dāng)a=0時(shí),g(x)=ex0,g(x)在x=0處取得最小值g(0)=1,在x=1處取得最大值g(1)=e. 6分()當(dāng)a=1時(shí),對于任意x0,1有g(shù)(x)=-2xex0,g(x)在x=0處取得最大

10、值g(0)=2,在x=1取得最小值g(1)=0. 7分()當(dāng)0a1時(shí),由g(x)=0得若 即 時(shí),g(x)在0,1上是增加的,g(x)在x=0處取得最小值g(0)=1+a,在x=1處取得最大值g(1)=(1-a)e. 9分若 即 時(shí),g(x)在 處取得最大值 在x=0或x=1處取得最小值,而g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e, 10分由g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0,得則當(dāng) 時(shí)，g(0)-g(1)0,g(x)在x=0處取得最小值g(0)=1+a;當(dāng) 時(shí)，g(0)-g(1)0,g(x)在x=1處取得最小值g(1)=(1-a)e. 12分【失分警示】 (下

11、文見規(guī)范解答過程）1.(2012陜西高考）設(shè)函數(shù) 則( )（A） 為f(x）的極大值點(diǎn)（B） 為f(x)的極小值點(diǎn)（C）x=2為f(x)的極大值點(diǎn)（D）x=2為f(x)的極小值點(diǎn)【解析】選D. 令f（x）=0，即 解得x=2.當(dāng)0 x2時(shí)，f（x）2時(shí)，f（x）0，所以x=2為f（x）的極小值點(diǎn).2.（2012福建高考）已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,abc,且f(a)=f(b)=f(c)=0,現(xiàn)給出如下結(jié)論：f(0)f(1)0;f(0)f(1)0;f(0)f(3)0;f(0)f(3)0.其中正確結(jié)論的序號是( )（A） （B）（C） （D）【解析】選C.f(x)=3x2-12x+9

12、=3(x-1)(x-3),函數(shù)f(x)在(-,1)上是增加的，在(1,3)上是減少的，在(3,+）上是增加的，又因?yàn)閒(a)=f(b)=f(c)=0，所以f(x)=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根，故f(x)的極大值f(1)0,f(x)的極小值f(3)0,又f(0)=-abc=f(3)，故f(0)0,故正確.3.（2013合肥模擬）已知函數(shù)f(x)=x2+3x-2ln x，則函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為( )(A) (B)(C)(-,-2) (D) 【解析】選D.函數(shù)f(x)=x2+3x-2ln x的定義域?yàn)?0,+).因?yàn)?令2x+3- 0,即2x2+3x-20，解得 又x0，所以 故函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為（0

13、, ）.4.（2013景德鎮(zhèn)模擬）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,5，部分對應(yīng)值如表，f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示, 下列關(guān)于函數(shù)f(x)的命題:函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,2;函數(shù)f(x)在0，2上是減少的;x -1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 如果當(dāng)x-1,t時(shí)，f(x)的最大值是2，那么t的最大值為4;當(dāng)1a2時(shí)，函數(shù)y=f(x)-a有4個(gè)零點(diǎn).其中真命題為_（填寫序號）.【解析】由y=f(x)的圖像知，y=f(x)在(-1,0)上是增加的，在(0,2)上是減少的，在(2,4)上是增加的，在(4,5)上是減少的，故正確；當(dāng)x=0與x=4時(shí)，y=f(x)取極大值，當(dāng)x=2時(shí)，y=f(x)取極小值，因?yàn)閒(2)的值不確定，故不正確；對于，t的最大值為5.答案：5. （2012安徽高考）設(shè)定義在（0，+）上的函數(shù)(1)求f(x)的最小值.(2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為 求a,b的值.【解析】(1) 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，f(x)取最小值為b+2.（2）由題意得: ， ,由得:a=2,b=-1.1.已知函數(shù)f(x)(xR)的圖像上任一點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程為yy0(x02)(x021)(xx0)，那么函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是( )（A）1，) （B）(，2（C）(，1)，(1,2) （D）2，)