發(fā)散思維妙證連篇不等式

1、發(fā)散思維 妙證連篇江西 譚殿韌在高中數(shù)學(xué)中.不等式的證明沒(méi)有固定的模式可以套用.它方法靈活多變.技巧性強(qiáng).綜合性強(qiáng).特別在不等式中,幾乎與函數(shù)，三角函數(shù),向量及立體幾何等所有知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)。以下面一道不等式題為例，希望能幫同學(xué)們開拓視野.打開思路.(一)應(yīng)用不等式的性質(zhì)證明;1)應(yīng)用已知”1”化簡(jiǎn)方法1:由不等式可知.左邊為二次的,右邊為常數(shù).為了達(dá)到比較的目的.右邊也要化成二次的,于是可以利用如下:證明:所以:(當(dāng)”a=b=c”時(shí)”=”成立)2)應(yīng)用分析法方法2 :要證即 即證 展開有:() 又 (), 明顯成立故命題得證。3應(yīng)用不等式的性質(zhì)方法3：因?yàn)椋?由+得： 以上就是用一般的性質(zhì)來(lái)證

2、明.我們還可以用減元換元來(lái)證明. (二)應(yīng)用減元換元法證明1)應(yīng)用減元法證明方法4:當(dāng)b=且a=-時(shí).”=”成立即時(shí),”=”成立2)應(yīng)用一般換元法證明方法5:分析:利用.可以令再運(yùn)算即可設(shè),則有: 即 ”=”成立)方法6:設(shè) =+s2+t2+r2當(dāng)且僅當(dāng)s=t=r=0時(shí)取等號(hào)， x2+y2+z2.3)應(yīng)用三角函數(shù)換元法證明方法7:除了應(yīng)用不等式的性質(zhì)證明及應(yīng)用減元換元法證明外,還可以應(yīng)用函數(shù)來(lái)證明.現(xiàn)舉例如下:(三)應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)來(lái)證明!)設(shè)字母為變量構(gòu)造函數(shù)方法8:分析: ,可以利用減少字母數(shù). a+b+c=1即要證明即證明可以令左邊為:即求即可證明: , 令 (當(dāng)x=時(shí),”=”成立)2)構(gòu)造

3、二次函數(shù)構(gòu)造二次函數(shù)的恒成立模型方法9:分析:要證 即證明:構(gòu)造二次函數(shù)法: 即, 所以: 構(gòu)造二次函數(shù)的一般模型方法10:另: 構(gòu)造函數(shù).化簡(jiǎn)即可得方法11構(gòu)造凸函數(shù)，則有：，故又，故 (四)構(gòu)造空間向量:方法12:設(shè), 且又由向量公式: 又故(五)應(yīng)用解析幾何-方法13:分析:構(gòu)造空間坐標(biāo),則表示一個(gè)平面,如右下圖而令= 其中R表示在平面上找一點(diǎn)使得球Y的半徑最短即原點(diǎn)到平面的最短距離,即過(guò)原點(diǎn)作平面的垂線,利用等體積方法求即可。證： 由題知為等邊三角形，可求得 由有：R=則 (六)應(yīng)用立體幾何方法14：設(shè)長(zhǎng)方體的邊長(zhǎng)依次為a,b,c.且則體對(duì)角線為我們知道當(dāng)長(zhǎng)方體為正方體時(shí)，即此時(shí)體對(duì)角

4、線最短，故由有：除了以上方法外,我們還有另一種方法-柯西不等式(六) 應(yīng)用柯西不等式方法15:介紹柯西不等式:對(duì)任意實(shí)數(shù)有: 其中當(dāng)且僅當(dāng)= 時(shí), ”=”可以取等號(hào)即.或其中當(dāng)且僅當(dāng)= 時(shí), ”=”可以取等號(hào)即.(證明柯西不等式: 設(shè)()對(duì)恒成立 且 , 則 )于是有: 即: 不等式的證明在高中是個(gè)難點(diǎn),這里方法多,題目一般比較難,除了以上我們介紹的方法外,還有比較法,反證法,放縮法等方法.練習(xí);試用以上各種方法證明下列問(wèn)題:(1) (2) (通信地址：江西余干藍(lán)天實(shí)驗(yàn)學(xué)校335100 譚殿韌)例2 證明若x,y,zR，且x+y+z=1，x2+y2+z2=，則x,y,z,0,。證法一由x+y+z=1，x2+y2+z2=，得：x2+y2+(1xy)2=整理成關(guān)于y的一元二次方程得：2y22(1x)y+2x22x=0yR，故04(1x)242(2x22x)0解之得：0 xx0,同理可得：y,z0,證法二 設(shè)x=+x，y=+y,z=+z，則x+y+z=0于是故，x，x0, ，同理，y,z0, 證法三 反證法設(shè)x、y、z三數(shù)中若有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x0，=x2+y2+z2x2+=+x2=x2x+，矛盾。設(shè)x,y,z三數(shù)中若有最大者大于，不妨設(shè)x，則：=x2+y2+z2x2+