信號(hào)與系統(tǒng)講義：第五章（第10-11講）

1、PAGE 第五章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析5-1 引言從FT到LTFT的優(yōu)點(diǎn)和不足優(yōu)點(diǎn)：避免微分方程求解和卷積計(jì)算，簡(jiǎn)化了系統(tǒng)響應(yīng)求解過(guò)程；物理意義明確。如：諧波，頻響，帶寬，等。不足：只能處理滿(mǎn)足收斂條件的信號(hào)，對(duì)某些不滿(mǎn)足條件的信號(hào)必須引入奇異函數(shù)解決，不方便；必須計(jì)算廣義積分：，有時(shí)計(jì)算比較困難；只能求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。拉普拉斯變換（LT）的優(yōu)點(diǎn)：可以自動(dòng)引入初始條件，求系統(tǒng)的全響應(yīng)；變方程的微積分運(yùn)算為乘除運(yùn)算，變卷積運(yùn)算為乘法運(yùn)算，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化；對(duì)信號(hào)的適應(yīng)性比FT強(qiáng)，不用引入奇異函數(shù)；5-2 拉普拉斯變換拉普拉斯變換的推導(dǎo)途徑：從數(shù)學(xué)角度：通過(guò)積分變換進(jìn)行函數(shù)到函數(shù)的變換，將微分方

2、程變?yōu)榇鷶?shù)方程。從物理意義推導(dǎo)：本質(zhì)上依然是將信號(hào)分解為多個(gè)正交的子信號(hào)的和（積分），或可以從FT推廣出。從FT到LTFT存在的條件是其積分結(jié)果收斂。如果不收斂，可以考慮用收斂因子將原信號(hào)乘以強(qiáng)行使其收斂，再進(jìn)行FT。例1：原信號(hào)：， 新信號(hào)： 只要足夠大，使，總能收斂。例2：原信號(hào)：，新信號(hào)：當(dāng)時(shí)，負(fù)半邊收斂，正半邊發(fā)散。只要，一定收斂。 通過(guò)乘以收斂因子，可以使原來(lái)不收斂的信號(hào)收斂，從而可以用FT加以處理。假設(shè)原信號(hào)為，通過(guò)乘以收斂因子后，新的收斂的信號(hào)為，其FT為：或記作：這就導(dǎo)出了拉普拉斯變換。將其與傅里葉變換式相比較:可見(jiàn)，從公式的形式上看,將FT中的純虛數(shù)推廣為復(fù)數(shù)，就可以導(dǎo)出LT

3、；反之，令LT中的復(fù)變量的實(shí)部為零，就可以得到FT。可以這樣認(rèn)為：FT是LT的一個(gè)特例，LT是FT的推廣。拉普拉斯反變換可以由的IFT求出：或記作：反變換積分線S平面至此可得到拉普拉斯變換對(duì)：F(s)稱(chēng)為f(t)的拉普拉斯變換，f(t)稱(chēng)為F(s)的原函數(shù)。從兩種變換的歷史上講，拉普拉斯變換并不是由傅里葉變換導(dǎo)出的。Pierre Simon Laplace，（17491827），法國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家。1812年在其概率論的解析理論中提出了拉普拉斯變換。Jean Baptiste Joseph Fourier，（17681830），法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1807年提出傅里葉變換，但是直

4、到1822年在其著名的熱的解析一書(shū)中才得以確認(rèn)。單邊和雙邊拉普拉斯變換 上面討論的信號(hào)，在和時(shí)都可能有非零值，是雙邊信號(hào)，相應(yīng)的變換稱(chēng)為雙邊拉普拉斯變換，用和表示。實(shí)際電路中的信號(hào)往往是有始信號(hào)，這時(shí)的拉普拉斯變換稱(chēng)為單邊拉普拉斯變換，記作：如果沒(méi)有特別說(shuō)明，一般的LT均指單邊LT。LT的物理意義比較拉普拉斯反變換和傅里葉反變換公式可以看出:與FT一樣，LT也可以看成是將信號(hào)分解為多個(gè)子信號(hào)的和。FT中：子信號(hào)為，的頻率分量相加，得到一個(gè)（幅度不變的）正弦波；LT中：子信號(hào)為，的頻率分量（或共軛的和）相加，得到幅度變化的正弦波。s是復(fù)數(shù)，可以用復(fù)平面中的一點(diǎn)表示，該復(fù)平面稱(chēng)為s平面。LT實(shí)際上

5、是利用了s平面上的所有實(shí)部為固定值的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的子信號(hào)構(gòu)成正交子信號(hào)集，用來(lái)表示任意信號(hào)。S平面圖上的變化規(guī)律： 對(duì)于實(shí)信號(hào)f(t)，其LT同樣滿(mǎn)足共軛對(duì)稱(chēng)性，即（正如FT中LT也可以用來(lái)處理復(fù)數(shù)信號(hào)。5-3 LT的收斂區(qū)間一、函數(shù)的LT存在的條件：函數(shù)的LT存在與否與的取值有關(guān)。如果的值合適收斂存在存在。所以，的LT存在的（充分）條件，是存在是，使?jié)M足Direchlet 條件。通常要求是指數(shù)階函數(shù)且具有分段連續(xù)的性質(zhì)，此時(shí)有二、收斂區(qū)的定義：使?jié)M足絕對(duì)可積條件的的取值區(qū)間稱(chēng)為的LT的收斂區(qū)，應(yīng)該滿(mǎn)足的條件稱(chēng)為收斂條件。在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，的LT存在；在區(qū)間外，的LT不存在。單邊LT的收斂區(qū)單邊LT只處

6、理右邊信號(hào);對(duì)于右邊信號(hào)，如果存在，使收斂，則對(duì)于任意一個(gè)大于的， 一定收斂。所以，單邊信號(hào)的收斂區(qū)間的右邊界一定為，一般形式為，或收斂條件為。其中稱(chēng)為收斂坐標(biāo)，s平面上的垂線稱(chēng)為收斂邊界（或收斂軸）。收斂區(qū)收斂軸S平面單邊LT的收斂區(qū)間是一個(gè)左開(kāi)區(qū)間，不包含收斂軸。 上面關(guān)于右邊信號(hào)的收斂區(qū)的討論得到的結(jié)論可以推廣到任意一個(gè)有始（右邊）信號(hào)。 例1：?jiǎn)芜呏笖?shù)信號(hào)（）的收斂區(qū)間為的右半平面，即。因?yàn)椋鞘剐盘?hào)收斂的因子，它是否可以為負(fù)值？例2：階躍信號(hào)的收斂區(qū)間為的整個(gè)右半平面，即。因?yàn)椋?除單邊LT外，還有雙邊LT，故有雙邊LT的收斂區(qū)問(wèn)題。但本書(shū)僅討論單邊LT，并簡(jiǎn)稱(chēng)LT。而工程實(shí)際上遇到

7、的有始信號(hào)，幾乎都是指數(shù)階信號(hào)，所以以后不特別說(shuō)明是否收斂的問(wèn)題。 5-4 常見(jiàn)信號(hào)的LT 工程中常見(jiàn)的信號(hào)有兩類(lèi)：指數(shù)類(lèi)和冪類(lèi)。如果信號(hào)的FT存在。求LT可以直接采用FT的結(jié)果，只要將其中的換成s。單邊指數(shù)類(lèi)信號(hào)的LT，收斂區(qū)（為常數(shù)）。由此可以導(dǎo)出其它指數(shù)類(lèi)信號(hào)的LT。信號(hào)FTLT收斂區(qū).可見(jiàn)，LT結(jié)果比FT簡(jiǎn)單的多。t 的正冪類(lèi)函數(shù)的LT1）收斂區(qū)：2）收斂區(qū)：推導(dǎo)方法：分步積分；（2）用LT時(shí)域積分性質(zhì)。3）收斂區(qū)：4）收斂區(qū)：沖擊函數(shù)1）收斂區(qū)：2）收斂區(qū)：其它變換結(jié)果見(jiàn)書(shū)上表格?？梢?jiàn)，很多信號(hào)的F(s)都能表示成有理函數(shù)形式。記住這些常用LT結(jié)果，不僅能夠方便LT計(jì)算，而且對(duì)求LT

8、反變換有很大幫助作用。習(xí)題：.5.3(1)、(3)、(5)、（7） *5-5 單邊拉普拉斯反變換定義：求解其積分較麻煩，一般采用部分分式展開(kāi)法或留數(shù)法求解。部分分式展開(kāi)法（Haviside展開(kāi)法）基本思想：根據(jù)LT的線性特性，將復(fù)雜的F(s)展開(kāi)為多個(gè)簡(jiǎn)單部分的和，通過(guò)已知的簡(jiǎn)單LT結(jié)果，得到F(s)的原函數(shù)。假設(shè)F(s)可以表示成有理函數(shù)形式：將其通過(guò)部分分式展開(kāi)，表示為多個(gè)簡(jiǎn)單的有理分式之和。分幾種情況討論：m 常數(shù)的求法：系數(shù)平衡法；特例：如果D(s)=0有復(fù)根，則復(fù)根一定共軛出現(xiàn)（假設(shè)是實(shí)數(shù)）。假設(shè)是一個(gè)復(fù)根，則一定也是方程的根，且與之相關(guān)的系數(shù)和滿(mǎn)足：將中有關(guān)兩項(xiàng)統(tǒng)一考慮，可得：結(jié)果

9、依然是一個(gè)實(shí)信號(hào)。所以，對(duì)兩個(gè)共軛復(fù)根，可以將其統(tǒng)一考慮。例：求下示函數(shù)的反變換。解： 或 m=n時(shí)，先通過(guò)長(zhǎng)除，將其變?yōu)橐粋€(gè)關(guān)于s的真分式和多項(xiàng)式的和： 然后再用1、2方法求解。其中要用到： 例：求下示函數(shù)的反變換。 解：用長(zhǎng)除法， 或留數(shù)法F(s) 的極點(diǎn)和零點(diǎn)極點(diǎn)：使F(s)等于無(wú)窮大的s平面上的點(diǎn) D(s)=0的根。零點(diǎn)：使F(s)等于零的s平面上的點(diǎn) N(s)=0的根。2、 留數(shù)法的基本思想：由于拉普拉斯反變換是復(fù)平面中的線積分問(wèn)題，很難直接求解出結(jié)果。因此，設(shè)法將復(fù)平面中的線積分問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為圍線積分，從而可以用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理直接求得結(jié)果。原問(wèn)題：，求解不方便。如果另外增加一條

10、曲線，使其變?yōu)檠匾粋€(gè)閉合曲線的積分，且沿該增加的曲線的積分為零,則就變成一個(gè)計(jì)算圍線積分。所以，我們根據(jù)上述積分半徑的情況，取半徑為無(wú)窮大的圓弧成為閉合曲線，如下兩圖所示： t0時(shí)的F(s)的閉合積分路線 t0時(shí)，積分應(yīng)沿左半圓弧進(jìn)行（左圖），故有：； 當(dāng)t0的情況，積分曲線應(yīng)該增加ABC，這時(shí)只要考慮積分線左半平面中的所有極點(diǎn)的留數(shù)。即：的極點(diǎn)就是的極點(diǎn)。留數(shù)計(jì)算：假設(shè)是的一階極點(diǎn)，則其留數(shù)為：假設(shè)是的n階極點(diǎn)，則其留數(shù)為：注意：當(dāng)F(s)不滿(mǎn)足約當(dāng)輔助定理?xiàng)l件1）時(shí)，不能用此方法求解。例如：F(s)=1,F(s)=s,當(dāng)F(s)m=n時(shí)，不能用此方法求解！解決方法：先用長(zhǎng)除法進(jìn)行預(yù)處理，即

11、化為多項(xiàng)式與真分式的和，而后，真分式部分用留數(shù)法，多項(xiàng)式部分另行用常規(guī)法處理。舉例：用留數(shù)法求下示函數(shù)的反變換。解： 而， 所以， 留數(shù)法與部分分式分解法比較：部分分式分解法只能解決有理函數(shù)，而留數(shù)法不受有理函數(shù)的限制；留數(shù)法不能直接解決m=n的情況，部分分式分解法可以；留數(shù)法在數(shù)學(xué)上比部分分式分解法嚴(yán)密；部分分式分解法涉及的基礎(chǔ)知識(shí)比留數(shù)法簡(jiǎn)單。5-6拉普拉斯變換性質(zhì)線性：收斂區(qū)間：一般為和的收斂區(qū)公共部分。適用范圍：?jiǎn)芜匧T，雙邊LT尺度變換特性如果，收斂區(qū)間，則：， 收斂區(qū)間：時(shí)， 時(shí)，適用范圍：1）雙邊LT2）對(duì)于單邊LT，要求a0與FT比較：時(shí)延特性如果，收斂區(qū)間，則：，收斂區(qū)間不變

12、。適用范圍：1）雙邊LT2）對(duì)于單邊LT，要求與FT比較：例：非周期信號(hào)按周期T在t0部分進(jìn)行周期化后的信號(hào)的LT：假設(shè)的LT為F(s),則單邊周期化后的信號(hào)為：則：本式對(duì)一些LT和的計(jì)算很有用。復(fù)移頻特性 如果，收斂區(qū)間，則：，收斂區(qū)間：。適用范圍：雙邊LT，單邊LT與FT比較：例：已知： 收斂區(qū)： 則：，收斂區(qū)：時(shí)域微分特性如果，收斂區(qū)間則： 對(duì)于系統(tǒng)或： 對(duì)于系統(tǒng)收斂區(qū)：可能增大，不會(huì)減小。適用范圍：?jiǎn)芜匧T。系統(tǒng)：從t=開(kāi)始考慮系統(tǒng)激勵(lì)和響應(yīng)，響應(yīng)的LT為：；系統(tǒng)：從t=開(kāi)始考慮系統(tǒng)激勵(lì)和響應(yīng)，響應(yīng)的LT為：； 系統(tǒng)LT和系統(tǒng)LT的差異在于是否考慮了t=0時(shí)的躍變，變換結(jié)果可能不同。

13、系統(tǒng)LT分析可以自動(dòng)引入系統(tǒng)的初始條件，所以一般都使用系統(tǒng)LT。 推廣：如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)為0，則上式簡(jiǎn)化為：可以用于的求解與FT比較：時(shí)域積分：如果，收斂區(qū)間則：收斂區(qū)：因?yàn)橐雜=0處的極點(diǎn)，所以可能減少。適用范圍：?jiǎn)芜匧T。推廣：與FT比較： 時(shí)域積分的另一個(gè)公式：如果是一個(gè)右邊信號(hào)，則：復(fù)頻域微積分特性如果，收斂區(qū)間，則： 收斂區(qū)：復(fù)頻域微分：可能增加； 復(fù)頻域積分：可能減小。與FT比較： 參量微積分特性設(shè)，收斂區(qū)間，則：收斂區(qū)：不變。初值定理： 如果和存在，且的LT也存在，則：證明：利用時(shí)域微分特性。該問(wèn)題留給同學(xué)們解決，此處從略，。如果和中含有沖激函數(shù)（或其導(dǎo)數(shù)），或不存在，就不能

14、用上式直接求初值。這時(shí)可以先通過(guò)長(zhǎng)除將F(s)變成一個(gè)真分式與一個(gè)關(guān)于s的多項(xiàng)式之和，然后將初值定理表示為： 終值定理 如果和存在，的LT也存在，且F(s)的極點(diǎn)位于s平面的左半平面，在s=0上至多存在單極點(diǎn)，則：卷積定理：與FT比較，結(jié)論相似。對(duì)偶特性：如果：則： 與FT比較：習(xí)題：. 5.4(1) 、(3); . 5.6（2）、(3) 、（4）。*5-7線性系統(tǒng)的LT分析法從數(shù)學(xué)角度對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行LT分析1、對(duì)微分方程進(jìn)行LT處理對(duì)于一般的線性系統(tǒng)，表示成微（積）分方程的形式。例如，對(duì)于某二階系統(tǒng)，有：為求響應(yīng)，將其兩邊同時(shí)求LT，有：然后，通過(guò)不難得到r(t)。2、對(duì)電路進(jìn)行LT處理(電

15、路分析中的內(nèi)容)對(duì)于線性電路系統(tǒng)，不需列出其微（積）分方程，按下列步驟進(jìn)行：對(duì)其中各個(gè)電路元件和信號(hào)源直接求LT。對(duì)于電感，有：可在LT域看成一個(gè)阻抗為的電阻與初始等效電壓源串聯(lián)。（在時(shí)域可以看成一個(gè)零狀態(tài)的電感和一個(gè)初始等效電壓源串聯(lián)。）對(duì)于電容，有：在LT域看成一個(gè)阻抗為的電阻與初始等效電壓源串聯(lián)。（在時(shí)域可以看成一個(gè)零狀態(tài)的電容和一個(gè)初始等效電壓源串聯(lián)。）這里的阻抗、和以前的復(fù)阻抗、和算子阻抗、很相似，稱(chēng)為運(yùn)算阻抗。根據(jù)KCL或KVL方程列出方程組，求出響應(yīng)的LT。通過(guò)，得到r(t)。這種方法的物理概念不清晰，不利分析激勵(lì)與響應(yīng)之間的相互作用。 從信號(hào)分解角度對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行LT分析將系統(tǒng)

16、的響應(yīng)分為和。的求解。以二階系統(tǒng)為例：將其兩邊同時(shí)求LT，有：其中，稱(chēng)為轉(zhuǎn)移函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)。按R(s)和E(s)含義的不同，H(s)又可以有更具體的含義，如運(yùn)算阻抗、運(yùn)算導(dǎo)納、運(yùn)算電壓傳輸函數(shù)、運(yùn)算電流傳輸函數(shù)。歸納LT法求解的步驟如下：求激勵(lì)信號(hào)e(t)的LTE(s)求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)求響應(yīng)的LTR(s)=H(s)E(s)，得到。H(s)的獲得有三種不同的方式：從微分方程得到H(s)線性系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程表示：LT后得到：這種方法與轉(zhuǎn)移算子在形式上非常相似，只要將其中s和p互換就可以了。只不過(guò)其含義不同。從信號(hào)分解的角度得到H(s)見(jiàn)上面的“一、”“2、”，即采用“對(duì)電路進(jìn)行

17、LT處理”的方法，通過(guò)解KCL或KVL方程，得到H(s)。由于這里只求，所以不用考慮初始條件。從系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求H(s)根據(jù)近代時(shí)域法中的結(jié)論，有：兩邊取LT，有：這里的H(s)定義為沖激響應(yīng)h(t)的LT，同時(shí)它又和上面提到的H(s)是一致的。所以可以通過(guò)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)的LT得到H(s)。反之，也可以通過(guò)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)H(s)得到系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。的求解。 對(duì)于，可以采用等效源的方法，將其轉(zhuǎn)化為求的問(wèn)題。但是，這里出現(xiàn)的是一個(gè)多激勵(lì)的響應(yīng)問(wèn)題，其中的每一個(gè)激勵(lì)都有其系統(tǒng)函數(shù)。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)分析理論，同一個(gè)電路的不同系統(tǒng)函數(shù)有相同的分母多項(xiàng)式。所以，只要知道其中的一個(gè)，就可以知道。同樣

18、，只要知道了求解時(shí)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)，同樣也可以得到，從而確定中各個(gè)信號(hào)分量的形式，從而可以用待定系數(shù)法解。這樣就不用求各個(gè)了。響應(yīng)R(s)=E(s)H(s)中的極點(diǎn)只決定于H(s)的分母D(s)，D(s)=0的根決定了響應(yīng)中的各個(gè)信號(hào)分量的形式。D(s)=0稱(chēng)為系統(tǒng)的特征方程，其根稱(chēng)為特征根，或自然頻率。值得注意的是，在求零輸入響應(yīng)的時(shí)候，H(s)中的零極點(diǎn)同樣不能抵消。這是因?yàn)楦鱾€(gè)以及H(s)一般不會(huì)有共同的零點(diǎn)，如果抵消，會(huì)損失一個(gè)自然頻率。響應(yīng)之間關(guān)系系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)R(s)=H(s)E(s)的極點(diǎn)有H(s)帶來(lái)的，對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的自然響應(yīng)，也有E(s)帶來(lái)的，對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的受迫響應(yīng)。系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的極點(diǎn)只會(huì)由H(s)帶來(lái)，屬于自然響應(yīng)。極點(diǎn)的位置決定了