概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：第2講 事件的概率

1、1.2 事件的概率1.2.1 事件的頻率I. 頻率定義 設(shè)A是一個(gè)事件, 在相同條件下進(jìn)行n次試驗(yàn)，A發(fā)生了m 次。 則稱 m為事件A在 n 次試驗(yàn)中發(fā)生的頻數(shù)或頻次，稱 m與 n之比 m/n 為事件A在 n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為 fn(A)。 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n充分大時(shí)，事件的頻率總在一個(gè)定值附近擺動(dòng)，而且，試驗(yàn)次數(shù)越多，一般說(shuō)來(lái)擺動(dòng)的幅度越小。這一性質(zhì)稱頻率的穩(wěn)定性。 頻率在一定程度上反映了事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小。盡管每進(jìn)行一連 n次試驗(yàn)，所得到的頻率可能各不相同,但只要 n足當(dāng)大，頻率就會(huì)非常接近一個(gè)固定值概率。 因此, 概率可以通過(guò)頻率來(lái)“度量”, 頻率是概率的近似, 概率是頻

2、率某種意義下的極限。 考慮在相同條件下進(jìn)行的 k 組試驗(yàn)事件A在各組試驗(yàn)中的頻率形成一個(gè)數(shù)列頻率穩(wěn)定性是指：各組試驗(yàn)次數(shù) n1,n2, nk 充分大時(shí)，在各組試驗(yàn)中事件 A 出現(xiàn)的頻率間、或頻率與某定值相差很小 。 穩(wěn)定在概率 p 附近下面我們來(lái)說(shuō)明頻率穩(wěn)定性的含義。 在實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)概率不易求出時(shí)，人們?cè)谠囼?yàn)次數(shù)很大情況下，常用事件的頻率作為概率的估計(jì)，并稱此概率為統(tǒng)計(jì)概率。這種確定概率的方法為頻率法。例如: 若需了解某射箭運(yùn)動(dòng)員中10環(huán)的概率，應(yīng)對(duì)該運(yùn)動(dòng)員在相同條件下的多次射箭情況進(jìn)行觀測(cè)、統(tǒng)計(jì)。 假設(shè)其射擊 n 次，中10環(huán)m次，當(dāng) n很大時(shí)，就 m/n 作為其命中10環(huán)的概率。又如：進(jìn)

3、行產(chǎn)品檢驗(yàn)時(shí)，如果檢驗(yàn)了n 件產(chǎn)品,其中m 件為次品，則當(dāng) n 很大時(shí)，可用 m/n 作為產(chǎn)品的次品率(概率)的估計(jì)值。(1) 0 fn(A)1；(2) fn()=1, fn()=0；(3).若事件 A1,A2,Ak 兩兩互斥，則:II. 頻率性質(zhì) 1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家(概率統(tǒng)計(jì)學(xué)家)柯?tīng)柲缏宸?(Kolmogorov) 給出了概率如下公理化定義。1.2.2 事件概率I. 概率定義概率的公理化定義(2). P()=1 ; (3). 若事件A1, A2 , 兩兩互斥，則有 設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，是樣本空間，對(duì)中的每個(gè)事件A，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)P(A) ，如果事件(集合)函數(shù) P(A) 滿足下述三條:(

4、1). P(A)0；則稱P(A)為事件A 的概率。 注意：這里的函數(shù)P(A)與以前所學(xué)過(guò)的函數(shù)不同。不同之處在于：P(A)的自變量是事件 ( 集合 )。 不難看出：這里事件概率的定義是在頻率性質(zhì)的基礎(chǔ)之上提出的。在5.1中, 我們將看到：頻率fn(A)在某種意義下收斂到概率P(A)的結(jié)論?；谶@一點(diǎn)，我們有理由用上述定義的概率 P(A)來(lái)度量事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小。II. 概率的性質(zhì) 1. P()=0，即不可能事件的概率為零； 2. 若事件 A1,A2, An 兩兩互斥，則有： P(A1A2An)=P(A1)+P(An), 即互斥事件并的概率等于它們各自 概率之和(有限可加性)；4

5、. 對(duì)兩個(gè)事件A和B，若AB, 則有: P(B-A)=P(B)-P(A), P(B)P(A)。3. 對(duì)任一事件A, 均有證明：5.對(duì)任意兩個(gè)事件A, B，有因 AB，AAB，BAB兩兩互斥，且由概率的可加性， 有 P(AB)=P(AB(AAB) (B AB)=P(AB)+P(A AB)+P(B AB）=P(AB)+P(A AB)+P(B AB)+P(AB) P(AB)=P(A)+P(B) P(AB).AB = AB(A AB) (B AB)， 說(shuō)明n個(gè)事件并的多除少補(bǔ)公式特別地，n = 3 時(shí)，有小結(jié) 本節(jié)首先介紹頻率的概念，指出在試驗(yàn)次數(shù)充分大的情況下，頻率接近于概率的結(jié)論；然后給出了概率的

6、公理化定義及概率的主要性質(zhì)。1.3 古典概率模型I. 什么是古典概率模型如果試驗(yàn) E 滿足 (1).試驗(yàn)結(jié)果只有有限種； (2).各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。則稱這樣的試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑榈瓤赡芨怕誓Ｐ突蚬诺涓怕誓Ｐ停?jiǎn)稱等可能概型或古典概型。II. 古典概率模型中事件概率求法 因試驗(yàn)E的結(jié)果只有有限種，即樣本點(diǎn)是有限個(gè): 1,2 ,n 。 =12 n，i是基本事件，且各自發(fā)生的概率相等。 于是，有 1=P()=P(12 n) =P(1)+P(2 )+P(n) =n P(i), i=1,2,n。從而， P(i)= 1/n，i=1,2,n.因此，若事件A 包含 k 個(gè)基本事件，即則III. 古典概模型舉例例

7、1：擲一顆均勻骰子，設(shè)A表示所擲結(jié)果為“四點(diǎn)或五點(diǎn)”，B表示所擲結(jié)果為“偶數(shù)點(diǎn)”，求P(A)和P(B)。解：由 n=6，kA=2,得 P(A)=2/6=1/3；再由kB=3，得 P(B)=3/6=1/2。例2：貨架上有外觀相同的商品15件，其中12件來(lái)自產(chǎn)地甲, 3件來(lái)自地乙?，F(xiàn)從15件商品中隨機(jī)地抽取兩件,求這兩件商品來(lái)自同一產(chǎn)地的概率。解：從15件商品中取出2商品，共有C215= 105種取法，且每種取法都是等可能的，故n=105。令 A=兩件商品都來(lái)自產(chǎn)地甲,kA= C212=66, B=兩件商品都來(lái)自產(chǎn)地乙,kB= C23 =3，而事件: 兩件商品來(lái)自同一產(chǎn)地=AB, 且A與B互斥,

8、AB包含基本事件數(shù)66+3=69。故，所求概率=69/105=23/35。例3：有外觀相同的三極管6只，按電流放大系數(shù)分類，4只屬甲類，2只屬乙類。按下列兩種方案抽取三極管兩只：(1).每次抽取一只，測(cè)試后放回，然后再抽取下一只 (放回抽樣)；(2).每次抽取一只，測(cè)試后不放回，然后在剩下的三 極管中再抽取下一只(不放回抽樣)。設(shè) A=抽到兩只甲類三極管， B=抽到兩只同類三極管, C=至少抽到一只甲類三極管, D=抽到兩只不同類三極管。求 P(A),P(B),P(C),P(D)。解: (1).由于每次抽測(cè)后放回, 因此，每次都是在6只三極管中抽取。 因第一次從6只中取一只，共有6種可能取法；

9、第二次還是從6只中取一只，還是有6種取法。故，取兩只三極管共有66=36種可能的取法。從而, n=36。 注意：這種分析方法使用的是中學(xué)學(xué)過(guò)的“乘法原理”。 因每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。故第一次取一只甲類三極管共有4種可能取法,第二次再取一只甲類三極管還是有4種可能取法。故,取兩只甲類三極管共有44=16 種可能的取法,即kA=16。所以，P(A)=16/36=4/9； 令E=抽到兩只乙類三極管，則 kE=22=4。故，P(E)=4/36=1/9；因C是E的對(duì)立事件，所以 P(C)=1-P(E)=8/9;因B=AE, 且A與E互斥，得 P(B)=P(A)+P(E)=5/9；D是B的對(duì)立事件

10、, 得 P(D)=1-P(B)=4/9。 (2).由于第一次抽測(cè)后不放回,所以第一次從6只中取一只, 共有6種可能的取法；第二次是從剩余的5只中取一只，有5種可能的取法。由乘法原理，知取兩只三極管共有n= 65=30種可能的取法。 由乘法原理，得 kA=43=12。從而P(A)=12/30=2/5； 類似地,得kE=21=2，P(E)=2/30=1/15；由C是E的對(duì)立事件,得 P(C)=1-P(E)=14/15;由B=AE, 且A與E互斥，得 P(B)=P(A)+P(E)=7/15；由D是B的對(duì)立事件, 得 P(D)=1-P(B)=8/15.例4：n個(gè)球隨機(jī)地放入N(Nn)個(gè)盒子中，若盒子的

11、容量無(wú)限制。求“每個(gè)盒子中至多有一球”的概率。解: 因每個(gè)球都可以放入N個(gè)盒子中的任何一個(gè)，故每個(gè)球有N種放法。由乘法原理，將n個(gè)球放入N個(gè)盒子中共有 Nn 種不同的放法。 每個(gè)盒子中至多有一個(gè)球的放法(由乘法原理得): N(N-1)(N-n+1)=ANn 種。故， P(A)= ANn / Nn . 設(shè)每個(gè)人在一年(按365天計(jì))內(nèi)每天出生的可能性都相同，現(xiàn)隨機(jī)地選取n(n365)個(gè)人，則他們生日各不相同的概率為 A365n / 365n。于是, n個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率為 1-A365n / 365n。 書(shū) P12，可看到表1.3。 許多問(wèn)題和上例有相同的數(shù)學(xué)模型。如(生日問(wèn)題)：

12、某人群有n個(gè)人，他們中至少有兩人生日相同的概率有多大？ 從上表可以看出: 在40人左右的人群里,十有八九會(huì)發(fā)生兩人或兩人以上生日相同這一事件。 把 n 個(gè)物品分成k組，使第一組有n1個(gè),第二組有n2個(gè),第 k 組有nk個(gè)，且 n1+ n2+nk=n，則不同的分組方法數(shù)為公式例5：某公司生產(chǎn)的15件產(chǎn)品中，有12件正品, 3件次品?，F(xiàn)將它們隨機(jī)地分裝在3個(gè)箱中, 每箱裝5件，設(shè)A=每箱中恰有一件次品, B=三件次品都在同一箱中。求P(A)和P(B)。解：15件產(chǎn)品裝入3個(gè)箱中，每箱裝5件，有種等可能的裝法。故，基本事件總數(shù)為 把三件次品分別裝入三個(gè)箱中，共有3!種裝法。這樣的每一種裝法取定以后，

13、把其余12件正品再平均裝入3個(gè)箱中，每箱裝4件，有個(gè)基本事件。再由乘法原理，可知裝箱總方法數(shù)有即A包含從而， 把三件次品裝入同一箱中,共有3種裝法。這樣的每一種裝法取定以后,再把其余12件正品裝入3個(gè)箱中(一箱再裝2件,另兩箱各裝5件)又有個(gè)基本事件。故，由乘法原理，知裝箱方法共有即B包含例6：設(shè)N件產(chǎn)品中有K件次品，N-K件正品, KN?，F(xiàn)從N件中每次任意抽取1件產(chǎn)品，檢查其是正品還是次品后放回；這樣共抽檢產(chǎn)品n次。求事件A=所取的n件產(chǎn)品中恰有k件次品的概率，k = 0, 1, 2, , n。解：假定N件產(chǎn)品有編號(hào)，從中任意取出一件，每次都有N種取法。由乘法原理，n次共有Nn種取法，故，基本事件總數(shù)為Nn。 當(dāng)所取的n件產(chǎn)品中恰有k件次品時(shí)，由于取到這k件次品次序之不同，因此，從次序考慮共有Cnk種情況。這Cnk種情況確定以后,從K件次品中取出k件，共有Kk種取法；從N-K件正