函數(shù)與導數(shù) (2)

1、函數(shù)與導數(shù)函數(shù)是數(shù)學永恒的主題，是中學數(shù)學中最重要的主干知識之一，導數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，函數(shù)與導數(shù)不僅是高中數(shù)學的核心內(nèi)容，也是學習高等數(shù)學的基礎(chǔ)，其觀點及其思想方法，貫穿整個高中數(shù)學教學的全過程，是歷年來高考考查力度最大的主干知識。在高考中，對函數(shù)的考查更多的是與導數(shù)的結(jié)合，發(fā)揮導數(shù)的工具性作用，應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、最值、證明不等式問題等，體現(xiàn)高考的綜合熱點。是高考考查等價轉(zhuǎn)化，化歸，數(shù)形結(jié)合，分類討論等數(shù)學思想和數(shù)學方法的主要陣地，所以在高考中函數(shù)知識占有極其重要的地位。從近幾年高考命題的特點看，函數(shù)與導數(shù)在高考試卷中形式新穎且呈現(xiàn)多樣性，既有填空題又有解答題，體現(xiàn)全方位，多層次，

2、巧綜合，變角度，重能力等多方面的特點。主要涉及知識點有以下幾個方面：一函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的基礎(chǔ)知識涉及函數(shù)的三要素、函數(shù)的表示方法、單調(diào)性、奇偶性、周期性等內(nèi)容，對于函數(shù)性質(zhì)的考查在高考中頻率較高，屬熱點問題。首先我們必須牢固掌握所有基本知識點，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)和基本的解題方法。例1：（2013江蘇）已知是定義在上的奇函數(shù).當時，則不等式的解集用區(qū)間表示為.解析：因為是定義在上的奇函數(shù)，所以易知時，解不等式得到的解集用區(qū)間表示為;本題考查函數(shù)的奇偶性和解不等式。解題思路有兩種：一是利用奇函數(shù)的性質(zhì)：，先求出時，再解不等式；二是利用奇函數(shù)的性質(zhì)：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，作出函數(shù)的圖像，再利用和圖

3、像解決問題。奇函數(shù)是我們解題的突破點。例2：（2012江蘇）設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上，其中，若，則的值為 -10 本題考查函數(shù)的周期性。解題思路：根據(jù)函數(shù)的周期性知：對,有，故有，且，可以解出和的值。函數(shù)的周期性是解題的出發(fā)點。二：牢固掌握基本初等函數(shù)及圖像和性質(zhì)基本初等函數(shù)主要包含：二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，對初等函數(shù)的考查主要突出圖像和性質(zhì)極其簡單的應(yīng)用，同時也是考查數(shù)列、不等式等知識的載體。需熟練掌握基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)，尤其是指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)。例3（2012江蘇）函數(shù)的定義域為 本題主要考查函數(shù)的定義域和對數(shù)函數(shù)的簡單性質(zhì)。例4.（2013

4、江蘇）平面直角坐標系中，設(shè)定點，是函數(shù)圖像上一動點，若點之間最短距離為，則滿足條件的實數(shù)的所有值為.解析：由題意設(shè),則有令,則 其對稱軸方程為： = 1 * GB3 .時， = 2 * GB3 . 時， 綜上.本題主要以反比例函數(shù)作為載體，主要考查了二次函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸，和分類討論的思想方法。故我們應(yīng)該重視基本函數(shù)知識的理解和應(yīng)用。例5.（2014江蘇）已知函數(shù)，若對任意，都有成立，則實數(shù)m的取值范圍是 例6. （2014江蘇）已知是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當時，若函數(shù)在區(qū)間上有10個零點(互不相同)，則實數(shù)a的取值范圍是 三：導數(shù)的概念和運算利用導數(shù)的幾何意義求曲線在某點

5、處的切線方程是高考的熱點問題，解決該類問題必須熟記導數(shù)公式，明確導數(shù)的幾何意義：表示曲線在點處的切線的斜率。例7.（2014江蘇）在平面直角坐標系xOy中，若曲線(為常數(shù))過點，且該曲線在點P處的切線與直線平行，則的值是 -3四函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用主要包含兩個方面：實際應(yīng)用和綜合應(yīng)用，歷來是高考重視的考點，主要體現(xiàn)在函數(shù)模型、函數(shù)與方程方面，函數(shù)與方程已成為高考命題的熱點。常與導數(shù)融合考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)。利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問題已經(jīng)成為高考考查的熱點問題，例8（2012江蘇）如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米某炮位于坐標原點已知

6、炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標（1）求炮的最大射程；（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。?，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由x（千米）y（千米）O例9. （2013江蘇）設(shè)函數(shù) ，其中為實數(shù).(1) 若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的范圍；(2) 若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.解：（1）， 由題意：對恒成立，即對恒成立， 所以， 在上有最小值 當時，恒成立，在無最值 當時，由題意， 。 綜上：的范圍是：（2）在上是單調(diào)增函數(shù) 對恒成立，即對恒成立，所以。 令，

7、則 則有的零點個數(shù)即為與圖像交點的個數(shù) 令，則 易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 函數(shù)在時取到最大值 又當時，當時， 所以易由圖可知：時，有1個零點 時，有2個零點本題主要與導數(shù)結(jié)合考查了函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點。體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的解題思想，將函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為與圖像交點的個數(shù)。例10.（2012江蘇）已知是實數(shù)，1和-1是函數(shù)的兩個極值點（1）求和的值；（2）設(shè)函數(shù)的導函數(shù)，求的極值點；（3）設(shè)，其中，求函數(shù)的零點個數(shù)解：（1）由題設(shè)知：，且，解得。（2）由（1）知，因為，所以的根為，于是函數(shù)的極值點只可能是當時，；當時，故是的極值點。當時，故1不是的極值點。所以的極值點為-2.（3）令，

8、則。先討論關(guān)于的方程根的情況，。當時，由（2）可知，的兩個不等根為1和-2，注意到是奇函數(shù)，所以的兩個不等根為-1和2.當時，因為所以-2，-1,1,2都不是的根，由（1）知 = 1 * GB3 當時，于是是單調(diào)增函數(shù)，從而，此時無實根，同理，在上無實根。 = 2 * GB3 當時，于是是單調(diào)增函數(shù)，又的圖像不間斷，所以在內(nèi)有唯一實根，同理在內(nèi)有唯一實根。 = 3 * GB3 當時，故是單調(diào)減函數(shù)，又，的圖像不間斷，所以在內(nèi)有唯一實根由上可知：當時，有兩個不等實根，滿足；當時，有三個不等實根，滿足，現(xiàn)考慮函數(shù)的零點：（ = 1 * roman i）當時，有兩個根滿足，而有三個不等的實根，有兩個

9、不等實根，故有5個零點。（ = 2 * roman ii）當時，有三個不等的實根，滿足，而三個不等的實根，故有9個零點.綜上可知：當時，函數(shù)有5個零點；當時，函數(shù)有9個零點.本題綜合考查導數(shù)的定義、計算及其在求解函數(shù)極值和最值中的運用，考查較全面系統(tǒng)，要注意變形的等價性和函數(shù)零點的認識、極值和極值點的理解本題主要考查數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，考查知識比較綜合，全方位考查分析問題和解決問題的能力，運算量比較大例11. （2014江蘇）已知函數(shù)其中e是自然對數(shù)的底數(shù)（1）證明：是上的偶函數(shù)；（2）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）已知正數(shù)a滿足：存在，使得成立試比較與的大小，

10、并證明你的結(jié)論本小題主要考查初等函數(shù)的基本性質(zhì)、導數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學思想 方法分析與解決問題的能力.滿分16分.（1），是上的偶函數(shù)（2）由題意，即，即對恒成立令，則對任意恒成立，當且僅當時等號成立（3），當時，在上單調(diào)增令，即在上單調(diào)減存在，使得，即設(shè)，則當時，單調(diào)增；當時，單調(diào)減因此至多有兩個零點，而當時，；當時，；當時，例5：（2013江蘇）設(shè)函數(shù) ，其中為實數(shù).(1) 若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的范圍；(2) 若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.解：（1）， 由題意：對恒成立，即對恒成立， 所以， 在上有最小值 當時，恒成立，在無最值 當時

11、，由題意， 。 綜上：的范圍是：（2）在上是單調(diào)增函數(shù) 對恒成立，即對恒成立，所以。 令，則 則有的零點個數(shù)即為與圖像交點的個數(shù) 令，則 易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 函數(shù)在時取到最大值 又當時，當時， 所以易由圖可知：時，有1個零點 時，有2個零點本題主要與導數(shù)結(jié)合考查了函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點。體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的解題思想，將函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為與圖像交點的個數(shù)。四：導數(shù)的概念和運算利用導數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程是高考的熱點問題，解決該類問題必須熟記導數(shù)公式，明確導數(shù)的幾何意義：表示曲線在點處的切線的斜率。例6：在平面直角坐標系中，直線是曲線的切線，則當時，實數(shù)的最小值是本題

12、主要考查導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的最值問題，直線是曲線的切線是解題的突破口，切點是導數(shù)幾何意義中的必備要素，從而很快明確需設(shè)出切點，利用導數(shù)的幾何意義找到的關(guān)系。五：利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值。利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問題已經(jīng)成為高考考查的熱點問題，解決此類問題要明確:導數(shù)為零的點不一定是極值點，導函數(shù)的變號零點才是函數(shù)的極值點；求單調(diào)區(qū)間時一定要注意函數(shù)的定義域；求最值時需要把極值和端點值逐一求出，比較即可。例7：（2012江蘇）已知是實數(shù)，1和-1是函數(shù)的兩個極值點（1）求和的值；（2）設(shè)函數(shù)的導函數(shù)，求的極值點；（3）設(shè)，其中，求函數(shù)的零點個數(shù)解：（1）由題設(shè)知：，且，

13、解得。（2）由（1）知，因為，所以的根為，于是函數(shù)的極值點只可能是當時，；當時，故是的極值點。當時，故1不是的極值點。所以的極值點為-2.（3）令，則。先討論關(guān)于的方程根的情況，。當時，由（2）可知，的兩個不等根為1和-2，注意到是奇函數(shù)，所以的兩個不等根為-1和2.當時，因為所以-2，-1,1,2都不是的根，由（1）知 = 1 * GB3 當時，于是是單調(diào)增函數(shù)，從而，此時無實根，同理，在上無實根。 = 2 * GB3 當時，于是是單調(diào)增函數(shù)，又的圖像不間斷，所以在內(nèi)有唯一實根，同理在內(nèi)有唯一實根。 = 3 * GB3 當時，故是單調(diào)減函數(shù)，又，的圖像不間斷，所以在內(nèi)有唯一實根由上可知：當時

14、，有兩個不等實根，滿足；當時，有三個不等實根，滿足，現(xiàn)考慮函數(shù)的零點：（ = 1 * roman i）當時，有兩個根滿足，而有三個不等的實根，有兩個不等實根，故有5個零點。（ = 2 * roman ii）當時，有三個不等的實根，滿足，而三個不等的實根，故有9個零點.綜上可知：當時，函數(shù)有5個零點；當時，函數(shù)有9個零點.本題綜合考查導數(shù)的定義、計算及其在求解函數(shù)極值和最值中的運用，考查較全面系統(tǒng)，要注意變形的等價性和函數(shù)零點的認識、極值和極值點的理解本題主要考查數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，考查知識比較綜合，全方位考查分析問題和解決問題的能力，運算量比較大六.突出函數(shù)與導數(shù)為主的綜合應(yīng)用高考命題

15、強調(diào)“以能力立意”，就是以數(shù)學知識為載體，從問題入手，把握數(shù)學學科的整體意義，加強對知識的綜合性和應(yīng)用性的考查。中學數(shù)學的內(nèi)容可以聚合成數(shù)與形兩條主線，其中數(shù)是以函數(shù)概念來串聯(lián)代數(shù)、三角和解析幾何知識，我們可以把方程看作函數(shù)為零，不等式看作兩個函數(shù)值的大小比較，數(shù)列、三角則是特殊的一類函數(shù)。所以，在高考中涉及函數(shù)的考題面很廣，所以，高考對有關(guān)函數(shù)綜合題的考查，重在對函數(shù)與導數(shù)知識理解的準確性、深刻性，重在于方程、不等式等相關(guān)知識的聯(lián)系，要求具備較高的數(shù)學思維能力和綜合分析問題能力以及較強的運算能力，體現(xiàn)以函數(shù)為載體，多種能力同時考查的思想。例8：記函數(shù)的導函數(shù)為，已知（）求的值（）設(shè)函數(shù)，試問

16、：是否存在正整數(shù)使得函數(shù)有且只有一個零點？若存在，請求出所有的值；若不存在，請說明理由（）若實數(shù)和（），滿足：，試比較與的大小，并加以證明解：（），由得 （），令得，當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù)當時，有極小值，也是最小值，當時，；當時（可取體驗），當時，函數(shù)有兩個零點；當時，函數(shù)有兩個零點；當時，函數(shù)有且只有一個零點，綜上所述，存在使得函數(shù)有且只有一個零點 （），得， 則，當時，設(shè)，則（當且僅當時取等號），在上是減函數(shù)，又，當時，設(shè)，則（當且僅當時取等號），在上是增函數(shù)，又，綜上所述，當時 ，當時本題主要考查函數(shù)、導數(shù)基礎(chǔ)知識，考查推理論證、抽象概括、運算求解等能力，體現(xiàn)函數(shù)與方程思想、數(shù)形

17、結(jié)合思想、化歸和轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。函數(shù)導數(shù)，是高中數(shù)學的一個重要組成部分，與各大模塊的關(guān)系都非常緊密，是整個高中數(shù)學的基礎(chǔ)。我們在學習理解中應(yīng)予以高度重視，并注意如下幾個方面：1.對函數(shù)概念的復習要“恰到好處”，求函數(shù)的解析式，定義域，零點，值域，一般出現(xiàn)在填空題中，屬基礎(chǔ)題，因此復習時不宜拓展。2.對基本函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的復習要全面而突出重點。并注重橫向聯(lián)系。歷年來高考中考查對函數(shù)知識的應(yīng)用。既著眼于知識點的新穎巧妙組合，又關(guān)注對數(shù)學思想方法的考查。試題多數(shù)圍繞函數(shù)的概念，性質(zhì)，圖象等方面命題。圍繞二次函數(shù)，分段函數(shù)，指、對數(shù)函數(shù)等幾個基本函數(shù)來進行，故在復習中，應(yīng)該全面夯實基礎(chǔ)，突出對上面所講重點內(nèi)容的復習。3.另外，對函數(shù)性質(zhì)單調(diào)性，奇偶性，周期性和圖象對稱性等內(nèi)容的考查，多以組合形式，一題多角度考查，尤其是利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性與極值，最值問題，不等式問題，函數(shù)與方程的聯(lián)系等重點考點?？疾榱Χ冗€有可能加大。而函數(shù)題的綜合趨勢幾乎涉及所有模塊，但重點還是在與不等式綜合。在解