2022年專題二高考三角函數(shù)與平面向量命題動(dòng)向

1、專題二 高考三角函數(shù)與平面向量命題動(dòng)向高考命題分析縱觀近年各省的高考數(shù)學(xué)試題，出現(xiàn)了一些富有時(shí)代氣息的三角函數(shù)與平面向量考題，它們形式獨(dú)特、 背景鮮明、結(jié)構(gòu)新穎，主要考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和處理交匯性問(wèn)題的能力在新課標(biāo)高考試卷中一般有 24 題，分值約占全卷的 14%20%，因此，加強(qiáng)這些試題的命題動(dòng)向研究，對(duì)指導(dǎo)高考復(fù)習(xí)無(wú)疑有十分重要的意義現(xiàn)聚焦高考三角函數(shù)與平面向量試題，揭秘三角函數(shù)與平面向量高考命題動(dòng)向，挖掘三角函數(shù)與平面向量常見(jiàn)的考點(diǎn)及其求解策略，希望能給考生帶來(lái)幫助和啟示高考命題特點(diǎn)新課標(biāo)高考涉及三角函數(shù)與平面向量的考題可以說(shuō)是精彩紛呈，奇花斗艷，其特點(diǎn)如下：(1)考小題，

2、重基礎(chǔ)：有關(guān)三角函數(shù)的小題其考查重點(diǎn)在于基礎(chǔ)知識(shí)：解析式；圖象與圖象變換；兩域 (定義域、值域 )；四性 (單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性 )；簡(jiǎn)單的三角變換(求值、化簡(jiǎn)及比較大小 )有關(guān)向量的考查主要是向量的線性運(yùn)算以及向量的數(shù)量積等知識(shí)(2)考大題，難度明顯降低：有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題，通過(guò)公式變形轉(zhuǎn)換來(lái)考查大題中思維能力的題目已經(jīng)很少，而著重考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能與方法的題目卻在增加的向量，主要是作為工具來(lái)考查的，多與三角、圓錐曲線相結(jié)合(3)考應(yīng)用，融入三角形與解析幾何之中：既能考查解三角形、圓錐曲線的知識(shí)與方法，又能考查運(yùn)用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能，深受命題者的青睞主要解法是充

3、分利用三角形內(nèi)角和定理、正、余弦定理、面積公式、向量夾角公式、向量平行與垂直的充要條件，向量的數(shù)量積等(4)考綜合，體現(xiàn)三角的工具作用：由于近幾年高考試題突出能力立意，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)性和應(yīng)用性的考查， 故常常在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題，而三角知識(shí)是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，故考查與立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等綜合性問(wèn)題時(shí)突出三角與向量的工具性作用高考動(dòng)向透視考查三角函數(shù)的概念及同角三角函數(shù)的 基本關(guān)系高考對(duì)本部分內(nèi)容的考查主要以小題的形式出現(xiàn)，即利用三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求值、變形， 或是利用三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)進(jìn)行求值、求參數(shù)的值、求值域、 求單調(diào)區(qū)間及圖象判斷等，而大題常常在綜合性問(wèn)題中

4、涉及三角函數(shù)的定義、圖象、 誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用等，在這類問(wèn)題的求解中，常常使用的方法技巧是“ 平方法” ，“ 齊次化切” 等0，【示例 1】?(2011福建 )若 0，2，且 sin2cos 21 4，則 tan 的值等于 ()A.2B.3C.2 D.3 23解析由二倍角公式可得sin212sin21 4，即 sin2 3 4，sin23 4，又因?yàn)?2，所以 sin 3 2，即 3，所以 tan tan 33，故選 D. 答案D 本題考查了三角恒等變換中二倍角公式的靈活運(yùn)用考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)主要包括：正弦 (型)函數(shù)、余弦 (型 )函數(shù)、正切 (

5、型)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、圖象的變換等五大塊內(nèi)容，在近年全國(guó)各地的高考試卷中都有考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的試題，而且對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查不但有客觀題，還有主觀題， 客觀題常以選擇題的形式出現(xiàn)，往往結(jié)合集合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考查圖象的相關(guān)性質(zhì)；解答題主要在與三角恒等變換、不等式等知識(shí)點(diǎn)的交匯處命題，難度中等偏下【示例 2】?(2011浙江 ) 已知函數(shù) f(x)Asin 3x ，xR，A 0,0 2，yf(x)的部分圖象如圖所示，P，Q分別為該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (1， A)(1)求 f(x)的最小正周期及 的值；2 (2)若點(diǎn) R 的坐標(biāo)為 (1,0)， P

6、RQ3，求 A 的值解 (1)由題意得， T2 6. 3 因?yàn)?P(1，A)在 yAsin 3x 的圖象上，所以 sin 3 1. 又因?yàn)?0 2，所以 6. (2)設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 (x0， A)，由題意可知 3x063 2，得 x04，所以 Q(4， A)，如圖，連接 PQ，在 PRQ 中，PRQ2 3，由余弦定理得 cosPRQRP 2RQ2PQ22RPRQA 29A2 94A22A9 A 21 2，解得A 2 3.又 A 0，所以 A3. 本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)求單調(diào)區(qū)間高考對(duì)三角函數(shù)的單調(diào)性考查，常以小題形式呈現(xiàn)， 有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在大題的某一小問(wèn)中，屬中

7、檔題對(duì)于形如 y Asin( x)(或 yAcos( x)，A 0 的單調(diào)區(qū)間的求法是：先考慮 A， 的符號(hào)，再將 x 視為一個(gè)整體，利用 ysin x 的單調(diào)區(qū)間，整體運(yùn)算，解出x 的范圍即可【示例 3】?(2011安徽 )已知函數(shù) f(x)sin(2x)，其中 為實(shí)數(shù)，若 f(x) f 6 對(duì) xR 恒成立，且 f 2 f( )，則 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( )A. k 3，k 6 (k Z) B. k，k2 (kZ) C. k6，k2 3 (kZ) D. k2，k (kZ) 解析 因?yàn)楫?dāng) x R 時(shí)， f(x) f 6 恒成立，所以 f 6sin 3 1，可得 2k 5 6或 2k6

8、 .因?yàn)?f 2sin() sin f( )sin(2)sin ，故 sin 0，所以 2k56，所以 f(x)sin 2x56，所以由22k 2x5 6 22k 得，函數(shù)的單調(diào) 2遞增區(qū)間為 k6， k3 (kZ)答案 C 本題的亮點(diǎn)是引入?yún)?shù) 與不等式恒成立問(wèn)題，求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是：利用隱蔽條件 “ 正弦函數(shù)的有界性”，把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參數(shù) 的方程，求出參數(shù) 的值，注意利用已知條件剔除增根；求出函數(shù)的解析式即可求其單調(diào)遞增區(qū)間，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性可加快求解此類問(wèn)題的速度【訓(xùn)練】 (2011新課標(biāo)全國(guó) )設(shè)函數(shù) f(x)sin( x)cos( x) 0，| 2的最小正周期為 ，

9、且 f(x)f(x)，則 ( )Af(x)在 0，2單調(diào)遞減Bf(x)在 4， 3 4單調(diào)遞減Cf(x)在 0，2單調(diào)遞增Df(x)在 4， 3 4單調(diào)遞增解析 f(x)sin( x)cos( x)2sin x 4，由最小正周期為 得 2，又由 f(x)f(x)可知 f(x)為偶函數(shù)，| 2可得 4，所以 f(x)2cos 2x 在 0，2單調(diào)遞減答案 A 求最值高考對(duì)三角函數(shù)最值的考查，常以小題形式呈現(xiàn)，屬中檔題 有時(shí)也在大題中的某一步呈現(xiàn)，屬中檔偏難題，高考常考查以下兩種類型：化成y Asin( x)的形式后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求其最值；化成二次函數(shù)形式后利用配方法求其最值【示例 4】?(

10、2011重慶 )設(shè) aR，f(x)cos x(asin x cos x)cos2 2 x 滿足 f 3f(0)，求函數(shù) f(x)在 4，11 24上的最大值和最小值解 f(x) asin xcos xcos2xsin 2 xa 2sin 2xcos 2x. 由 f 3f(0)得2a12 1，解得 a 2 3. 因此 f(x)3sin 2xcos 2x2sin 2x6 . 當(dāng) x 4， 3時(shí)， 2x 6 3， 2，f(x)為增函數(shù)，當(dāng) x 3，11 24時(shí)， 2x 6 2，3 4，f(x)為減函數(shù)，所以 f(x)在 4，11 上的最大值為 f 3 2. 又因?yàn)?f 43，f 11 242，故 f

11、(x)在 4，11 24上的最小值為f 11 242. 本小題主要考查基本三角函數(shù)公式，析式進(jìn)行化簡(jiǎn)的能力，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)用三角函數(shù)公式對(duì)相關(guān)函數(shù)的解【訓(xùn)練】(2011上海 )函數(shù) y2sin xcos x 的最大值為 _解析 注意到 y5 25 sin x15 cos x 5sin(x)其中 cos 25，sin 15，因此函數(shù) y2sin x cos x 的最大值是 5. 答案 5 利用三角恒等變換求三角函數(shù)值三角恒等變換是研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解三角形的基礎(chǔ)， 在前幾年的高考中單獨(dú)命題的情況很少， 但在今年的高考中加強(qiáng)了對(duì)三角恒等變換的考查，大多是結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

12、，解三角形進(jìn)行命題，但有的省份對(duì)三角恒等變換進(jìn)行了單獨(dú)命題，由此可見(jiàn)，高考加大了對(duì)三角恒等變換的考查力度，高考命題考查的重點(diǎn)性質(zhì)是公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式【示例 5】?(2011天津 )已知函數(shù) f(x)tan 2x4 . (1)求 f(x)的定義域與最小正周期；(2)設(shè) 0，4，若 f 22cos 2，求 的大小解 (1) 由 2x 4 2 k， k Z ， 得 x 8 k 2， k Z ， 所 以 f(x)的 定 義 域 為xR|x8k 2，kZ ，f(x)的最小正周期為 2. (2)由 f 22cos 2，得 tan 42cos 2，si

13、n 4 2(cos2sin2)，cos 4整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin )cos sin 因?yàn)?0，4，所以 sin cos 0. 因此 (cos sin )21 2，即 sin 21 2. 由 0， 4，得 2 0， 2 .所以 2 6，即 12. 本小題主要考查兩角和的正弦、余弦、正切公式， 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力【訓(xùn)練】(2011浙江 )若 0 2， 2 0，cos 4 1 3，cos 4 23 3，則4 cos 2()A.3B35 3 C. 9D6339解 析對(duì) 于cos 2 cos 4

14、 4 cos 4 cos 4 2 sin2sin4 2，而 4 4，3，4 24， 2 . 因此 sin4 22 3，sin4 26 3，則 cos 21 3322 335 3 9 .故選 C. 答案C 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用三角函數(shù)的綜合應(yīng)用是歷年來(lái)高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)問(wèn)題， 新課標(biāo)高考更加注重對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用意識(shí)的考查，而且新課標(biāo)高考在考查的內(nèi)容以及形式上不斷推陳出新，三角函數(shù)不僅可以與集合、函數(shù)與方程、不等式等結(jié)合命題，而且還可以結(jié)合線性規(guī)劃知識(shí)命題，給今后的命題提出了新的挑戰(zhàn)【示例 6】?設(shè)函數(shù) f()3sin cos ，其中，角 的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與 x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)

15、點(diǎn) P(x，y)，且 0 .(1)若點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 12，2 3，求 f()的值；xy1，(2)若點(diǎn) P(x，y)為平面區(qū)域x1，上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定角 的取值范圍，并y1求函數(shù) f()的最小值和最大值3sin 2，解 (1)由點(diǎn) P 的坐標(biāo)和三角函數(shù)的定義可得cos 1 2.于是 f()3sin cos 321 22. (2)作出平面區(qū)域 (即三角區(qū)域 ABC)如圖所示，其中 A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)于是 0 2. 又 f()3sin cos 2sin 6，且 6 62 3，1. 故當(dāng) ，即 時(shí)，6 2 3f()取得最大值，且最大值等于2；當(dāng) 6 6，即 0 時(shí)， f()取

16、得最小值，且最小值等于本小題主要考查三角函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力有關(guān)解三角形的考查 新課標(biāo)高考對(duì)解三角形的考查，以正弦定理、 余弦定理的綜合運(yùn)用為主，在解題時(shí)，要分析清楚題目條件，利用正弦定理、 余弦定理轉(zhuǎn)化為三角形中各邊之間的關(guān)系或各角之間的關(guān)系，并結(jié)合三角形的內(nèi)角和為180，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，兩角和與差的正弦、余弦、 正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值在近幾年的高考中，對(duì)解三角形的考查力度有所加強(qiáng)，而且更加注重知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，的問(wèn)題沒(méi)有怪題、 偏題 下面我們就高考試題研究一下解三角形【示例 7】?(2011江蘇 )在 ABC 中，角 A， B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c

17、. (1)若 sin A62cos A，求 A 的值；1(2)若 cos A3，b3c，求 sin C 的值解 (1)由題設(shè)知 sin Acos 6cos Asin 62cos A從而 sin A3cos A，所以 cos A 0，tan A3.因?yàn)?0A，所以 A 3. 1(2)由 cos A3，b3c 及 a2b2c2 2bccos A，得 a2b2c2. 故 ABC 是直角三角形，且 B 2. 所以 sin Ccos A1 3. 本小題主要考查三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和的正弦公式、解三角形，考查運(yùn)算求解能力【訓(xùn)練】(2011天津 )在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為a， b

18、，c.已知 BC,2b3a. (1)求 cos A 的值；(2)求 cos 2A4的值解(1)由 B C,2b3a，可得 cb3 2 a. 7 9. 所以 cos Ab 2c2a22bc4a23 4a2a21 3. 23 2 a3 2 a(2)因?yàn)?cos A1 3，A (0， )，所以 sin A1cos2A22 3，cos 2A 2cos2A1故 sin 2A2sin Acos A42 9 . 所以 cos 2A4cos 2Acos 4sin 2Asin 4 7 9242 92 872 . 平面向量共線與垂直高考對(duì)平面向量共線與垂直的考查，常以小題形式出現(xiàn)，屬中檔題， 有時(shí)也在大題的條件中

19、出現(xiàn)， 屬中檔偏難題 平面向量的坐標(biāo)表示可使平面向量運(yùn)算完全代數(shù)化，從而使得我們可以利用“ 方程的思想” 破解向量共線與垂直的問(wèn)題【示例 8】?(2011江蘇 )已知 e1，e2 是夾角為2 3的兩個(gè)單位向量，ae12e2，bke1e2，若 a b0，則實(shí)數(shù) k 的值為 _解析 由題意知： a b(e12e2) (ke1e2)0，即 ke21e1e22ke1e22e220，即 kcos 2 2 53 2kcos 3 20，化簡(jiǎn)可求得 k4. 答案 54本題從向量數(shù)量積為 0 入手，轉(zhuǎn)化為關(guān)于兩單位向量數(shù)量積的關(guān)系式，再利用兩向量數(shù)量積定義，轉(zhuǎn)化為含 k 的方程，即可求出 k 的值【訓(xùn)練】(20

20、11廣東 )若向量 a，b， c 滿足 a b 且 ac，則 c (a2b)( )A4 B3 C2 D0 解析 由 a b 及 ac，得 bc，則 c(a2b)ca2cb0.故選 D. 答案 D 平面向量的夾角高考對(duì)平面向量夾角的考查，常以小題形式出現(xiàn)，屬中檔題 有時(shí)也在大題中出現(xiàn)，屬中檔題 兩向量夾角公式其實(shí)是平面向量數(shù)量積公式的變形和應(yīng)用、有關(guān)兩向量夾角問(wèn)題的考查，常見(jiàn)類型：依條件等式，運(yùn)算求夾角，此類問(wèn)題求解過(guò)程中應(yīng)關(guān)注夾角取值范圍；依已知圖形求兩向量夾角，此類題求解過(guò)程應(yīng)抓住“ 兩向量共起點(diǎn)” ，便可避開(kāi)陷阱， 順利求解【示例 9】?(2011新課標(biāo)全國(guó) )已知 a 與 b 均為單位向

21、量， 其夾角為 ，有下列四個(gè)命題：2p1：|a b| 1? 0，3；2p2：|a b| 1? 3， ；p3：|a b| 1? 0，3；p4：|a b| 1? 3， . 其中的真命題是 ( )Ap1， p4 Bp1，p3 Cp2，p3 Dp2，p4解析 由|ab|a22ab b 222cos 1，1 2得 22cos 1，cos 2，03 . 由|ab|a22abb222cos 1，得 22cos 1，cos 答案 A 1 2，3 .p1， p4 正確此題考查向量的運(yùn)算、向量的模及向量的夾角平面向量的模 高考對(duì)平面向量的模的考查，常以小題形式出現(xiàn)，屬中檔題， ?？疾轭愋停?把向量放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，給有關(guān)向量賦予具體坐標(biāo)求向量的模，如向量 a(x，y)，求向量 a 的模只需利用公式 |a|x2 y2即可求解不把向量放在坐標(biāo)系中研究，求解此類問(wèn)題的通常做法是利用向量運(yùn)算法則及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式，關(guān)鍵是會(huì)把向量 a 的模進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：|a|a2. 【示例 10】 ?(2011遼寧 )若 a，b，c 均為單位向量，且bc|的最大值為