考研數(shù)學(xué)二-歷年考研真題1987-2018

1、2018年考研數(shù)學(xué)二賓題.iUln： IT 出HL博小越出 共3：分陽灣給出fl泗亍選中，只肖一戟苻合噩目鑒求的.誦再劭WJW的彌対莊觀測!ftl瞳0茁匕I】若lim疋千ox J Ax j廠 15MA fl - ys ft - 1.B 百 扌.& lC.-a .i* 1D*. jQ 丄 612 22下郭中，在Q坯不可導(dǎo)的罡&/(x)=iWd*RJ-ajc.i-l:加何* !總-X工5若Fk) +g(x)程R上連魁Bjct a 3,6 =2D.o =3上三2+設(shè)固數(shù)川町在MI上二盼可命號k陞心則（力小時* /I |j0B當(dāng)廠何規(guī)也/|o時，/; y JTKaKaNC Kxtd Jt y.1/*

2、f仲廣（-曲*f城（1F抄11-1、n0-1、0llB0O1、0rJo0lllTOT、cOllDIol0-O41OlL,S設(shè)Afl為n階矩陣，記r(X)為矩陣Xg訛用礦謝鶴藝，則入r七初-r.f).B. r(A JA) = r(A).C. r(.I B) . m五仁(A兒 l(B)D. rA B) r.41 B1)、” 一：41嚼婦小瑾矗分護(hù)只山分盧晴將菩案寫在lim x:arcLM)( x+1) -aretan x =.d磁* g拐點(diǎn)處的切紩方在是11, 志心在t = !晌醞處的*”4 .,ll沒函坎: a :(工由方程tn r= JO“沒A為3階昭革，名生心婦耽漢天的同量組若Ai-芯h+生

3、+ , .妊 召+2碼，心,._紅：円”則的;：溝i；誼討三、解答履：l仁乃小僵,共9.t分心樣曲丁川:學(xué)護(hù)時，訂苗L 岱寫出文字說明、l:S. (本過涓分10分不i鄆汾I古爾皿石虧士的值l7. （本過污分10分）一如I， l -cost（0 S心2）與葉由蚳城,計五二重荻分l t（x+ 2.）沁吟.oIS. t本過涓分10分kln2 -1,晌i (x-1Xx-礦 x+2klnx-l)已019 （本11滿分W分）將長為2e的1迤汾成三段，依次 城悶芷方絆正三角略三個圖形的面積之和是否存 鷲:址旬今普恃後；啟彎小m嘈20.（魯巔簡、為分：已昶讎L:,點(diǎn)（）（.O匐0）,點(diǎn).t（CJ）,設(shè)P是L上

4、的動亂，S 09與直線AP及曲經(jīng)L所酶的面積，若P運(yùn)動到點(diǎn)（3,4）時沿x軸正間的速度是4此時S關(guān)干時間t竊靴翠21（Wn分設(shè)數(shù)列打滿罡：0.=叮斗-肋吐2,”.），證明伈忱墳，并求I史環(huán).衛(wèi)（本過渦分11分）設(shè)實二次型/（伍，X；丙）=（立一F+伍+xJF+（+叩）;其中a（1）煮竝，耳”叨二薩（2,） 求（氣心為）的墳范如.（本昆涓分 lJ分）12f a 0別a婦戲，且鮑/+ l 0可經(jīng)瞬腋咖38= 0 l、2 7 -,a丿、-1 1 L（:l）（2求涓足A.B的可過廟屯P2017年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)二真題分析、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項

5、中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.1_COSs/X0(1)若函數(shù)f(x)=0在x=o處連續(xù)，則( Ib,x _0(D) ab =21 1(A) ab(B) ab(C) ab = 02 2【答案】A1二丄，f(x)在x=0處連續(xù).丄二b二ab二丄.選A.2a2a2 TOC o 1-5 h z 1COS、X2 x【解析】limlim x0axx_o ax(2)設(shè)二階可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足 f(1) = f(-1)=1,f (0) - -1 且 f(x) .0，則()(A) J(x)dx 00 1(C) 4f (x)dx 0 f (x)dx【答案】B【解析】f (x)

6、為偶函數(shù)時滿足題設(shè)條件，此時Bf(x)dx：00 1D f(x)dx ： J(x)dx01f (x)dx f (x)dx，排除 C,D.-二01 1 2 2取 f (x) =2x2 -1 滿足條件，則f(x)dx = y 2x -1 dx - - 3 ： 0，選 B.(3)設(shè)數(shù)列汶收斂，則()(A)當(dāng) nisin Xn =0 時，iXn = 0 (B)當(dāng) lim( xn += 時，匹乂“ =02(C)當(dāng) |im( Xn Xn ) = 0 時，|im Xn =0 (D)當(dāng) Hm.( Xn sin Xn) = 0時，|im x = 0【答案】D【解析】特值法：(A )取xn二二，有l(wèi)im sinx

7、n =0, lim xn二二，A錯; n-C取Xn = -1，排除B,C.所以選D.(4)微分方程的特解可設(shè)為(A) Ae2x e2x(Bcos2x Csin2x)(C) Ae2x xe2x(Bcos2x Csin2x)(B) Axe2x e2x(Bcos2x Csin 2x)(D) Axe2x e2x(Bcos2x Csin2x)【答案】A【解析】特征方程為：九2 4九+8 = On 如2 =22if(x) =e2x(1 cos2x) =e2x e2xcos2x y； = Ae2x, y； = xe2x(Bcos2x Csin2x), 故特解為：y=y； y；=Ae xe (B cos；x

8、C sin ；x),選 C.(5)設(shè)f (x,y)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且對任意的(x, y)，都有f (x, y) . O, ;f(x,y) . O，則exdy(A) f(O,O) f(1,1) ( B) f (O,O) f (1,1) ( C) f (O,1) f (1,O)( D) f(O,1b： f (1,O)【答案】C【解析】；f(x, y)O, f (x,y) ：O=. f(x, y)是關(guān)于x的單調(diào)遞增函數(shù)，是關(guān)于 y的單調(diào)遞減函數(shù),.x:y所以有 f（O,1） ： f（1,1） ： f（1,O），故答案選 D.（6）甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方1O（單位：m）處，圖中實線表示甲

9、的速度曲線 VVt）（單 位：m/s ），虛線表示乙的速度曲線 v=v；（t），三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為1O,；O,3，計時開始后乙追上甲的時刻記為tO （單位：s）,則（ ）(A) to =10(B) 15 ：to : 20(C) to =25(D) to 25【答案】B【解析】從0到t0這段時間內(nèi)甲乙的位移分別為tto w(t)dt, V2(t)dt,則乙要追上甲，則 222 3,PAP =因此B正確。(8)設(shè)矩陣A2000 -1 0 ,c = b1010 ,則()2(A) A與C相似,B與C相似(B)A與 C相似,叭C不相似(C) A與C不相似，B與C相似(D)A與 C不相似月與C不

10、相似【答案】B【解析】由 E - A =0可知A的特征值為2,2,1,*10 0、因為3-r(2E-A)=1 ,. A可相似對角化，即 A 020I。02由XEB =0可知B特征值為2,2,1.因為3-r(2E-B)=2 , . B不可相似對角化，顯然 C可相似對角化，二 A C，但B不相似于C.二、填空題：9_14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙.指定位置上.(9)曲線y = xi1 arcsin ?的斜漸近線方程為 Ix丿【答案】y = x 2【解析】lim - -lim(1 arcsin2)=1,lim y-x;=limXXx廠x n x .：2xarcs in2,xx =

11、t e(io)設(shè)函數(shù)y二y(x)由參數(shù)方程確定，則=s in td2ydx21【答案】-8【解析】dy , dx , t dy cost cost, 1 e = dtdtI1 etdxdtdx 1 et-sint(1 e) -costt 21 etd2ydx(11):：l n(1 x)2(1 x)2dx =【答案】1【解析】1n(1 x)0 (1 x)2-bedx 二- ln(1 x)d0ln (1x)IL v x2dx = 1.0 (1 x)2f (0,0) = 0，則(12)設(shè)函數(shù)f (x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且df (x,y yeydx x (1 y ejdy，f (x, y尸【答

12、案】xyey【解析】fx 二 yey, fy =x(1 y)ey, f (x, y)二 yeydx 二xyey c(y),故fy 二 xey xyey c(y)二 xey xyey,因此 c (y) = 0 ,即 c( y) = C，再由 f (0,0) = 0，可得 f (x, y) = xyel【答案】【解析】(13) f dyftanXdx=【答案】In cosl.【解析】交換積分次序:01dy.ytanxdx1二 0dx 0 x ta nx ,dyx1o tan xdx 二 In cosl.4 1(14)設(shè)矩陣A = 123 1-21a的一個特征向量為-1【答案】-11、【解析】設(shè)a

13、= 1 ，由題設(shè)知Aa = 7心，故4 1 Q11、1 、12 a1=扎13+2ak11420T指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或三、解答題：15 23小題，共94分.請將解答寫在答題紙 演算步驟.(15)(本題滿分10分)求極限limxT2【答案】-3 ：:x-tet【解析】lim -0dt，令x -t =u，則有Jx dt = fx s/Uex4udu = J0 7uexj|udu原式=lim 一x一03x2二 limx)0ex 0 /Ueudu3x2、ueudu0二 limx_03x2=lim tx 0 3 2 x22(16)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f (u,v)具有2階連續(xù)偏導(dǎo)

14、數(shù)，y= f (ex,cosx)，求 魚dxd2ydx2【答案】dy【解析】dxf；(1,1)器dx二 f11(1,1),x zQy = f (ex,cos x)二 y(0) = f (1,1)dy二dx=d2ydx2 =d2ydx2結(jié)論:dy dx d2yx=0dx2x=0Y=(f1e +f2(sinxXzQ*(1,1)1 f2(1,1) 0 二 f1(1,1) v v9 v1=f11e2f12e(-sinx)f21e(-sinx)f22sin2xf1 e-f2cosx二忖(1,1)皿占“)x -0(1,1)5(1,1)仁1,1)- f2(1,1)n k ( k(17)(本題滿分 10 分)

15、求 lim E 2 ln 1 + n V門丿1【答案】丄4【解析】nlim/n-n(1 k)=nn1oxl n(1 x)dx =1 1220ln(1 x)dx2= 1(ln(1 x) x2(18)(本題滿分10分)已知函數(shù)y(x)由方程x3 y3-3x 3y-2 = 0確定，求y(x)的極值【答案】極大值為 y(1)=1，極小值為y(-1) =0【解析】兩邊求導(dǎo)得：3x2 3y2y-3 3y =0（1）令 y =0得 x =： 1對(1)式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得6x 6y22y）+ 3 y屮亠0（ 2）x =1X 1將x= 1代入原題給的等式中，得IoH，y =1y =0將 x =1,y =1 代入(2 )得 y(1)- -1 ： 0將 x = 1,y =0代入(2)得 y”(-1)=20故x =1為極大值點(diǎn)，y(1) T ； x =-1為極小值點(diǎn)，y(-1) = 0(19)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上具有2階導(dǎo)數(shù)，且 鮒).0,佃 丄 ：o,證明:x()方程f(x) =0在區(qū)間(0,