金融工程8-二叉樹(shù)定價(jià)ppt課件

1、第九章 二叉樹(shù)模型范 閩金融工程研討中心.教學(xué)目的與要求二叉樹(shù)圖方法是為期權(quán)和其他衍生證券進(jìn)展估值的一個(gè)非常有用的方法。本章對(duì)這一方法在股票期權(quán)估值上的運(yùn)用進(jìn)展了引見(jiàn)。經(jīng)過(guò)本章的學(xué)習(xí)，要求可以掌握運(yùn)用單步和兩步二叉樹(shù)圖方法對(duì)歐式期權(quán)和美式期權(quán)進(jìn)展估值的方法，了解并掌握衍生證券估值中的風(fēng)險(xiǎn)中性原理。.教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)一、用二叉樹(shù)圖方法對(duì)期權(quán)進(jìn)展估值的根本思緒二、風(fēng)險(xiǎn)中性估值原理 三、Delta的含義和計(jì)算.9.1 單步二叉樹(shù)圖9.2 風(fēng)險(xiǎn)中性估值9.3 兩步二叉樹(shù)圖9.4 美式期權(quán)估值9.5 Delta9.6 二叉樹(shù)模型在實(shí)踐中的運(yùn)用.9.1 單期二叉樹(shù)模型證券價(jià)錢(qián)的延續(xù)動(dòng)搖證券價(jià)錢(qián)的動(dòng)搖是一個(gè)延

2、續(xù)不斷的過(guò)程。PtPt-1+t , tN(0,2)假設(shè)假設(shè)新的沖擊出現(xiàn)，證券價(jià)錢(qián)是隨機(jī)游走的。證券價(jià)錢(qián)變動(dòng)簡(jiǎn)單化在非常短的時(shí)間內(nèi)，可以假定證券價(jià)錢(qián)動(dòng)搖只需兩種能夠：上升或下降。PtPt(1+u), 0.5; Pt(1+d), 0.5.收益率與方差概率密度價(jià)錢(qián)Pt=Pt-1+tPt=Pt-1+tPt=Pt-1+x+t.1.10.91.01.20.80.90.71.11.31.0簡(jiǎn)單二叉樹(shù)模型0123time. 9.1.1 二叉樹(shù)圖的構(gòu)造問(wèn)題 假設(shè)一種股票當(dāng)前價(jià)錢(qián)為$20，三個(gè)月后的價(jià)錢(qián)將能夠?yàn)?22或$18。假設(shè)股票三個(gè)月內(nèi)不付紅利。有效期為3個(gè)月的歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)錢(qián)為$21。如何對(duì)該期權(quán)進(jìn)展

3、估值？.股票價(jià)錢(qián)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)例子股票價(jià)錢(qián)=20股票價(jià)錢(qián)=22期權(quán)價(jià)錢(qián)=1股票價(jià)錢(qián)=18期權(quán)價(jià)錢(qián)=0圖9-1 單步二叉樹(shù)模型時(shí)間3個(gè)月，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率12%. 思緒 根據(jù)期權(quán)的特性，顯然可以用如圖9-1所示的二叉樹(shù)圖來(lái)描畫(huà)股票和期權(quán)的價(jià)錢(qián)運(yùn)動(dòng)。假設(shè)可以用這種股票和期權(quán)構(gòu)造一個(gè)組合，使得在三個(gè)月末該組合的價(jià)值是確定的，那么，根據(jù)該組合的收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率無(wú)套利假設(shè)，可以得到構(gòu)造該組合所需本錢(qián)現(xiàn)值，而組合中股票的價(jià)錢(qián)是知的，于是可以得出期權(quán)的價(jià)錢(qián)。 構(gòu)造一個(gè)證券組合，該組合包含一個(gè)股股票多頭頭寸和一個(gè)看漲期權(quán)的空頭頭寸。. 由圖9-1可知，當(dāng)股票價(jià)錢(qián)從$20上升到$22時(shí)，該證券組合的總價(jià)值為22-1

4、；當(dāng)股票價(jià)錢(qián)從$20下降到$18時(shí)，該證券組合的總價(jià)值為18。 完全可以選取某個(gè)值，使得該組合的終值對(duì)在上述兩種情況下是相等的。這樣，該組合就是一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合。 由 221=18 得 =0.25 因此，一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的組合由0.25股股票和一個(gè)期權(quán)空頭構(gòu)成。經(jīng)過(guò)計(jì)算可知，無(wú)論股票價(jià)錢(qián)是上升還是下降，在期權(quán)有效期的末尾，該組合的價(jià)值總是$4.5。 . 在無(wú)套利假設(shè)下，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合的盈利必定為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。 假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率12。那么該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： 4.5e-0.120.25=4.3674 股票如今的價(jià)錢(qián)知為$20。用f表示期權(quán)的價(jià)錢(qián)。因此，由 200.25f=4.3674 得 f=0.633

5、 假設(shè)期權(quán)價(jià)錢(qián)偏離0.633，那么將存在套利時(shí)機(jī)。.另一種求解的思緒我們也可以構(gòu)造如下投資組合：組合A：股的股票和B元的現(xiàn)金或負(fù)債，假設(shè)B0組合B：一單位期權(quán)我們希望：在期末，組合A與B的價(jià)值都相等 ST=22或ST=18 那么，期權(quán)的價(jià)錢(qián)c就可以由組合A的價(jià)錢(qián)求得首先需求確定與B，可以求解如下方程組：22+Be0.120.25=118+Be0.120.25=0求解得到=0.25，以及B=-4.367因此，f=20+B=0.633. 9.1.2 普通結(jié)論 思索一個(gè)無(wú)紅利支付的股票，股票價(jià)錢(qián)為S。基于該股票的某個(gè)衍生證券的當(dāng)前價(jià)錢(qián)為f。假設(shè)當(dāng)前時(shí)間為零時(shí)辰，衍生證券給出了在T時(shí)辰的盈虧情況 。

6、一個(gè)證券組合由股的股票多頭和一個(gè)衍生證券空頭構(gòu)成。 假設(shè)股票價(jià)錢(qián)上升,在有效期末該組合的價(jià)值為： Sufu 假設(shè)股票價(jià)錢(qián)下降，在有效期末該組合的價(jià)值為： Sdfd .SfSufuSdfd圖9-2 單步二叉樹(shù)圖中的股票價(jià)錢(qián)與衍生證券價(jià)錢(qián). 當(dāng)兩個(gè)價(jià)值相等時(shí) Su-fu =Sd- fd 即 9.1 該組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，收益必得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。在T時(shí)辰的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，是衍生證券價(jià)錢(qián)變化與股票價(jià)錢(qián)變化之比。. 用r表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： 而構(gòu)造該組合的本錢(qián)是： 因此 . 將式9.1代入上式，得到 9.2其中 9.3 運(yùn)用單步二叉樹(shù)圖方法，式9.2和9.3就可為衍生證券估值。. 9.1.3

7、股票預(yù)期收益的無(wú)關(guān)性 衍生證券定價(jià)公式9.2并沒(méi)有用到股票上升和下降的概率。這似乎不符合人們的直覺(jué)，由于人們很自然地假設(shè)假設(shè)假設(shè)股票價(jià)錢(qián)上升的概率添加，基于該股票的看漲期權(quán)價(jià)值也添加，看跌期權(quán)的價(jià)值那么減少。 之所以如此，緣由在于，我們并不是在完全的條件下為期權(quán)估值，而只是根據(jù)標(biāo)的股票的價(jià)錢(qián)估計(jì)期權(quán)的價(jià)值。未來(lái)上升和下降的概率曾經(jīng)包含在股票的價(jià)錢(qián)中。它闡明，當(dāng)根據(jù)股票價(jià)錢(qián)為期權(quán)估值時(shí)，我們不需求股票價(jià)錢(qián)上漲下降的概率。 . 9.2 風(fēng)險(xiǎn)中性估值9.2.1 風(fēng)險(xiǎn)中性估值原理 式9.2中的變量p可以解釋為股票價(jià)錢(qián)上升的概率，于是變量1p就是股票價(jià)錢(qián)下降的概率。這樣， pfu+(1-p)fd 就是衍

8、生證券的預(yù)期收益。于是，式9.2可以表述為：衍生證券的價(jià)值是其未來(lái)預(yù)期值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值 。. 同樣，按照上式對(duì)p的解釋?zhuān)赥時(shí)辰預(yù)期的股票價(jià)錢(qián) E(ST)=pSu+(1-p)Sd 即 E(ST)=pS(u-d)+Sd 。 將式9.2中的p代入上式，得 E(ST)=SerT 9.4 這闡明，平均來(lái)說(shuō)，股票價(jià)錢(qián)以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率增長(zhǎng)。因此，設(shè)定上升運(yùn)動(dòng)的概率等于p就是等價(jià)于假設(shè)股票收益等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。 . 我們把每一個(gè)人是風(fēng)險(xiǎn)中性的世界稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)中性世界 risk-neutral world 。在這樣的世界中，投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)不要求補(bǔ)償，一切證券的預(yù)期收高效益是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。式9.4闡明，當(dāng)設(shè)定上升運(yùn)動(dòng)的

9、概率為p時(shí)，我們就在假設(shè)一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界 。式9.2闡明，衍生證券的價(jià)值是其預(yù)期收益在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值。 以上過(guò)程闡明，當(dāng)為期權(quán)和其它衍生證券估值時(shí)，完全可以假設(shè)，世界是風(fēng)險(xiǎn)中性的。這就是所謂風(fēng)險(xiǎn)中性risk-neutral valuation原理。在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中得到的價(jià)錢(qián)，在現(xiàn)實(shí)世界中也是正確的。 . 9.2.2 風(fēng)險(xiǎn)中性估值舉例 我們將風(fēng)險(xiǎn)中性估值原理運(yùn)用于圖8-1的例子。 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界，股票的預(yù)期收益率一定等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率12。那么有： 22p+18(1-p)=20e0.120.25 即 4p=20e0.120.25-18 得 p=0.6523 在三個(gè)月末尾:看漲期權(quán)

10、價(jià)值為$1的概率為0.6523，價(jià)值為零的概率為0.3477。因此，看漲期權(quán)的期望值為： 0.65231+0.34770=$0.6523 按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)得期權(quán)如今的價(jià)值： f=0.6523e-0.120.25 =0.633. 9.3 兩步二叉樹(shù)圖9.3.1 兩步二叉樹(shù)圖的構(gòu)造 假設(shè)一種股票開(kāi)場(chǎng)的價(jià)錢(qián)為$20，并在圖8-3所示的兩步二叉樹(shù)圖的每個(gè)單步二叉樹(shù)圖中，股票價(jià)錢(qián)可以上升10或者下降10。 假設(shè)在每個(gè)單步二叉樹(shù)的步長(zhǎng)是三個(gè)月，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是年率12。思索一個(gè)執(zhí)行價(jià)錢(qián)為$21的期權(quán)。 在圖8-3中，很容易得到，在節(jié)點(diǎn)D，期權(quán)價(jià)錢(qián)為$3.2；在節(jié)點(diǎn)E和F，期權(quán)價(jià)錢(qián)為零。 在節(jié)點(diǎn)B的期權(quán)價(jià)錢(qián)計(jì)算

11、如下：. . u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523. 在節(jié)點(diǎn)B的期權(quán)價(jià)錢(qián)為： e-0.120.25(0.65233.2十0.34770)=2.0257 在節(jié)點(diǎn)C，期權(quán)價(jià)錢(qián)為0。 在節(jié)點(diǎn)A的期權(quán)價(jià)錢(qián)為：e-0.120.25(0.65232.0257十0.34770)=1.2823 在構(gòu)造這個(gè)例子時(shí)，u和d(股票價(jià)錢(qián)上升和下降的比率)在樹(shù)圖的每個(gè)節(jié)點(diǎn)上是一樣的，每個(gè)單步二叉樹(shù)的時(shí)間長(zhǎng)度是相等的。由式9.3可得風(fēng)險(xiǎn)中性的概率p，它在每個(gè)節(jié)點(diǎn)都是一樣的。. 9.3.2 普通結(jié)論 如圖8-4所示，初始股票價(jià)錢(qián)為S。在每個(gè)單步二叉樹(shù)中，股票價(jià)錢(qián)或者上升到初始值的u倍，或下降

12、到初始值的d倍。假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是r。每個(gè)單步二又樹(shù)的時(shí)間長(zhǎng)度是t年。 反復(fù)式9.2的計(jì)算，給出： 9.5 9.6 9.7. . 將式9.5和9.6代入式9.7，得到： 9.8 式中，p2，2p(1-p)和(1-p)2是到達(dá)最后上、中、下三個(gè)節(jié)點(diǎn)的概率。衍生證券的價(jià)錢(qián)等于它在它在風(fēng)險(xiǎn)中性世界的預(yù)期收益按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值。 假設(shè)在樹(shù)圖中參與更多的步(step)以推行運(yùn)用二叉樹(shù)圖方法，風(fēng)險(xiǎn)中性估值的原理不斷是成立的。衍生證券的價(jià)錢(qián)總是等于它在風(fēng)險(xiǎn)中性世界的預(yù)期收益按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值。 . 9.3.3 看跌期權(quán)的例子 思索一個(gè)兩年期歐式看跌期權(quán)，股票的執(zhí)行價(jià)錢(qián)為$52，當(dāng)前價(jià)錢(qián)為$50。 假設(shè)價(jià)錢(qián)

13、為兩步二叉樹(shù)，每個(gè)步長(zhǎng)為一年。在每個(gè)單步二叉樹(shù)中股票價(jià)錢(qián)或者按比率上升20，或者按比率下降20。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為5。 .圖9-5 兩步二叉樹(shù)法為歐式看跌期權(quán)估值504.1923601.4147409.46367203220484構(gòu)造如圖9-5所示的兩步二叉樹(shù)圖。風(fēng)險(xiǎn)中性概率P的值為： . 最后股票的能夠價(jià)錢(qián)為$72、$48和$32。在這種情況下，fuu=0,fud=4,fdd=20,t=1，利用公式9.8，得到看跌期權(quán)的價(jià)錢(qián)f=e-20.051(0.628220+20.62820.37184+0.3718220)=4.1923 利用每個(gè)單步二步二叉樹(shù)向回倒推算，也可以得到這個(gè)結(jié)果。 實(shí)踐上，假設(shè)股

14、票價(jià)錢(qián)的變化是二值的，那么任何基于該股票的衍生證券都可以運(yùn)用二叉樹(shù)模型進(jìn)展估值。. 9.4 美式期權(quán)估值9.4.1 方法 二叉樹(shù)模型可以用于為美式期權(quán)估值。方法是：從樹(shù)圖的最后末端向開(kāi)場(chǎng)的起點(diǎn)倒推計(jì)算。在每個(gè)節(jié)點(diǎn)檢驗(yàn)提早執(zhí)行能否最正確。在最后節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值與歐式期權(quán)在最后節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值一樣。在較早的一些節(jié)點(diǎn)，期杈的價(jià)值是取如下兩者之中較大者： 1由式9.2求出的值。 2提早執(zhí)行所得的收益。 . 9.4.2 舉例 思索一個(gè)兩年期美式看跌期權(quán)，股票的執(zhí)行價(jià)錢(qián)為$52，當(dāng)前價(jià)錢(qián)為$50。假設(shè)價(jià)錢(qián)為兩步二叉樹(shù)，每個(gè)步長(zhǎng)為一年，在每個(gè)單步二叉樹(shù)中股票價(jià)錢(qián)或者按比率上升20，或者按比率下降20。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率

15、為5。 如圖9-6所示，在節(jié)點(diǎn)B，期權(quán)的價(jià)值為$1.4147，而提早執(zhí)行期權(quán)的損益為負(fù)值(-$8)。在節(jié)點(diǎn)B提早執(zhí)行不是明智的，此時(shí)期權(quán)價(jià)值為1.4147。在節(jié)點(diǎn)C，期權(quán)的價(jià)值為$9.4636，而提早執(zhí)行期權(quán)的損益為$12.0。在這種情況下，提早執(zhí)行是最正確的，因此期權(quán)的價(jià)值為$12.0。. . 在初始節(jié)點(diǎn)A，求出的期權(quán)價(jià)值為:f= e-0.051(0.62821.4147+0.371812.0)=5.0894 而提早執(zhí)行的價(jià)值為$2.0。在這種情況下，提早執(zhí)行是不明智的。因此期權(quán)的價(jià)值為$5.0894。 . 9.5 Delta9.5.1 Delta的含義 股票期權(quán)的Delta是股票期權(quán)價(jià)錢(qián)的

16、變化與標(biāo)的股票價(jià)錢(qián)的變化之比，是為了構(gòu)造一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖，對(duì)每一個(gè)賣(mài)空的期權(quán)頭寸我們應(yīng)該持有的股票數(shù)目。 構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖有時(shí)就稱(chēng)之為Delta對(duì)沖(delta hedging)。 看漲期權(quán)的Delta是正值，而看跌期權(quán)的Delta是負(fù)值。. 9.5.2 Delta的計(jì)算 以圖8-3所示的看漲期權(quán)估值為例，該看漲期權(quán)的Delta計(jì)算如下： 這是由于當(dāng)股票價(jià)錢(qián)從18變化到22時(shí)，期權(quán)價(jià)錢(qián)從0變化到1。 在圖8-3中，對(duì)于第一個(gè)時(shí)間步，股票價(jià)錢(qián)變動(dòng)的Delta為：. 假設(shè)在第一個(gè)時(shí)間步之后，還有一個(gè)向上的運(yùn)動(dòng)，那么在第二個(gè)時(shí)間步股票價(jià)錢(qián)變動(dòng)的Delta為： 假設(shè)在第一個(gè)時(shí)間步之后，還有一個(gè)向下的運(yùn)動(dòng)，那么在第二個(gè)時(shí)間步股票價(jià)錢(qián)變動(dòng)的Delta為：. 在圖8-5中，第一個(gè)時(shí)間步的Delta為： 在第二個(gè)時(shí)間步，有兩個(gè)Delta： 或者. 上面的兩個(gè)例子闡明，Delta值隨時(shí)間而變化。這意味著利用期