江蘇省各地市高三歷次模擬數(shù)學(xué)試題分類匯編：第章數(shù)列

1、目錄（基礎(chǔ)復(fù)習(xí)部分） TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc420010272 第七章數(shù)列 PAGEREF _Toc420010272 h 2 HYPERLINK l _Toc420010273 第40課數(shù)列的概念和簡單表示 PAGEREF _Toc420010273 h 2 HYPERLINK l _Toc420010274 第41課等差數(shù)列 PAGEREF _Toc420010274 h 2 HYPERLINK l _Toc420010275 第42課等比數(shù)列 PAGEREF _Toc420010275 h 5 HYPERLINK l _Toc420010276

2、第43課數(shù)列求和 PAGEREF _Toc420010276 h 5 HYPERLINK l _Toc420010277 第44課綜合應(yīng)用（） PAGEREF _Toc420010277 h 11 HYPERLINK l _Toc420010278 第45課綜合應(yīng)用（） PAGEREF _Toc420010278 h 28數(shù)列數(shù)列的概念和簡單表示已知，設(shè)為數(shù)列的最大項(xiàng)，則8（南京鹽城模擬一）已知數(shù)列滿足，N*)若數(shù)列單調(diào)遞減，數(shù)列單調(diào)遞增，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .答案：（說明：或?qū)懗傻诙?shù)歸法可證，第二步分奇偶）設(shè)單調(diào)遞增數(shù)列an的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且a7=120,an+2=an+an+1,nN*

3、，則a8= 答案：194.a7=5a1+8a2=120,所以a1=8k,a2=5m,所以k+m=3,所以k=1,m=2.等差數(shù)列在等差數(shù)列中，則若等差數(shù)列的前5項(xiàng)和且則 .-3若一直角三角形的三邊長構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，則該直角三角形的周長為 24等差數(shù)列中，則該數(shù)列前十項(xiàng)的和 （蘇州期末）已知等差數(shù)列中，若前5項(xiàng)的和，則其公差為 . 2（蘇北四市期末）在等差數(shù)列中，已知，則的值為 22（淮安宿遷摸底）已知是等差數(shù)列，若，則的值是 （鹽城期中）在等差數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，若，則= . 12（南京鹽城二模）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且數(shù)列也為等差數(shù)列，則= 。50（南通調(diào)研二）已知等差數(shù)列的

4、首項(xiàng)為4，公差為2，前項(xiàng)和為若()，則的值為 【答案】7（南通調(diào)研三）在等差數(shù)列an中，若an+an+24n+6（nN*），則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an 【答案】2n+1（蘇北三市調(diào)研三）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為 37（南京三模）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn若Sk18，Sk0，Sk110，則正整數(shù)k 9已知數(shù)列（N*，）滿足，其中，N*（1）當(dāng)時，求關(guān)于的表達(dá)式，并求的取值范圍；（2）設(shè)集合，N*，若，求證：；是否存在實(shí)數(shù)，使，都屬于？若存在，請求出實(shí)數(shù)，；若不存在，請說明理由19解：（1）當(dāng)時， 2分因?yàn)?，或，所?4分（2）由題意，6分令，得因?yàn)椋琋*，所以令，則 8分不存在實(shí)數(shù)，使，同

5、時屬于 9分 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，同時屬于，從而， 11分因?yàn)?，同時屬于，所以存在三個不同的整數(shù)，（，），使得從而則 13分因?yàn)榕c互質(zhì)，且與為整數(shù)，所以，但，矛盾所以不存在實(shí)數(shù)，使，都屬于 16分（南師附中四校聯(lián)考）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.（1） 又是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則4分 6分8分注：由解得，但沒有證明原式成立，只給4分.（2） = 1 * GB3 = 2 * GB3 = 1 * GB3 = 2 * GB3 得10分兩式相減得12分14分 可得 是等差數(shù)列16分等比數(shù)列已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)則 3等比數(shù)列中，

6、則數(shù)列的前6項(xiàng)和為 答案：；已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，則 （揚(yáng)州期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若對任意N*，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是. （鎮(zhèn)江期末）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 . 448（鹽城期中）若等比數(shù)列滿足，則 . 27（泰州二模）在等比數(shù)列中，已知，則 (南通中學(xué)期中) 已知數(shù)列滿足（q為常數(shù)），若18，6，2，6，30，則 【知識點(diǎn)】單元綜合D5【答案】-2,126，-3【解析】由已知可得，an+1+2=q（an+2），n=1，2，當(dāng)an=-2時，顯然有a3，a4，a5，a6-18，-6，-2，6，30，此時a1=-2當(dāng)an-2時，則，（q為常數(shù)），又因?yàn)閍3，a4，a5，a6

7、-18，-6，-2，6，30，所以a3+2，a4+2，a5+2，a6+2-16，-4，0，8，32，因?yàn)閍n-2，所以an+20，從而a3+2=32，a4+2=-16，a5+2=8，a6+2=-4，或a3+2=-4，a4+2=8，a5+2=-16，a6+2=32故有q=-2或q=-代入an+1=qan+2q-2得a1=-3，或a1=126【思路點(diǎn)撥】觀察已知式子，移項(xiàng)變形為an+1+2=q（an+2），從而得到an+2與an+1+2的關(guān)系，分an=-2和an-2討論，當(dāng)an-2時構(gòu)造等比數(shù)列an+2，公比為q計(jì)算可得答案數(shù)列求和（鹽城期中）設(shè)函數(shù)的圖象在軸上截得的線段長為，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若

8、存在正整數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的最小值為 . 13（南師附中四校聯(lián)考）已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .（金海南三校聯(lián)考）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若Sn=nan3n(n1)(nN*)且a2=11，則S20= .1240已知有窮等差數(shù)列an公差為4，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過100，這樣的數(shù)列至多有 項(xiàng)答案：8已知an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為Sn， bn是等比數(shù)列，且a1b12，a4b421，S4b430（1）求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；（2）記cnanbn，nN*，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q由a1b12，得a42

9、3d，b42q3，S486d 3分由條件a4b421，S4b430，得方程組 EQ blc(aal (23d2q321，,86d2q330，)解得 EQ blc(aal (d1，,q2)所以ann1，bn2n，nN* 7分（2）由題意知，cn(n1)2n記Tnc1c2c3cn則Tnc1c2c3cn 22322423n2n1 (n1)2n，2 Tn 222323(n1)2n1n2n (n1)2n1，所以Tn22(22232n )(n1)2n1， 11分即Tnn2n1，nN* 14分已知數(shù)列、，其中，數(shù)列的前項(xiàng)和,數(shù)列滿足 （1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）是否存在自然數(shù)，使得對于任意有恒成立？若存

10、在,求出的最小值；（3）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）因?yàn)?當(dāng)時，所以所以，即 2分又，所以. 4分當(dāng)時，上式成立，因?yàn)?，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故. 6分(2) 由（1）知，則.假設(shè)存在自然數(shù)，使得對于任意有恒成立，即恒成立，由，解得9分所以存在自然數(shù)，使得對于任意有恒成立，此時，的最小值為16. 11分（3）當(dāng)為奇數(shù)時，；13分當(dāng)為偶數(shù)時，. 15分因此 16分（蘇州期末）已知數(shù)列中，（1）是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；（2）若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求滿足的所有正整數(shù)解：（1）設(shè)，因?yàn)椋?分若數(shù)列是等比數(shù)列，則必須有（常數(shù)），即，即 5分

11、此時，所以存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列 6分（注：利用前幾項(xiàng)，求出的值，并證明不扣分）（2）由（1）得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，即，8分由，得，10分所以，12分顯然當(dāng)N*時，單調(diào)遞減，又當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，；，同理，當(dāng)且僅當(dāng)時，綜上，滿足的所有正整數(shù)為1和2 16分（鹽城期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且. （1）若是等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）若. 當(dāng)時，試求； 若數(shù)列為遞增數(shù)列，且，試求滿足條件的所有正整數(shù)的值.解：（1）由等差數(shù)列求和公式， 2分，解得， ； 4分（說明：也可以設(shè)；或令，先求出首項(xiàng)與公差）（2）由， 得 ， 6分， . 8分（說明：用，利用分組方法求和，類似給分.）（

12、3）設(shè)，由，得與， 10分又， 相減得，數(shù)列為遞增數(shù)列，解得， 12分由， 14分，解得. 16分（蘇北三市調(diào)研三）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求所有正整數(shù)m的值，使得恰好為數(shù)列中的項(xiàng)(1) 因?yàn)?當(dāng)時,解得.1分 由,當(dāng) ,兩式相減，得2分又因?yàn)?所以，所以,4分由得， 所以6分(2)由題意得，所以 8分所以 10分故若為中的項(xiàng)只能為 11分()若,則,所以無解12分（）若 顯然不符合題意，符合題意當(dāng)時，即則設(shè)則，即為增函數(shù)，故，即為增函數(shù)故故當(dāng)時方程無解，即 是方程唯一解。15分（）若則,即.綜上所述，或16分綜合應(yīng)用（）

13、設(shè)等比數(shù)列的公比為（），前n項(xiàng)和為，若，且與的等差中項(xiàng)為，則 記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn若a11，Sn2(a1an)(n2，nN*)，則Sn 22n1已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且滿足，則滿足的的最大值為 .9已知是分比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，不等式的解集是則 .（鹽城三模）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若數(shù)列滿足且，則的最小值為 （蘇錫常鎮(zhèn)二模）已知等差數(shù)列滿足：若將都加上同一個數(shù)，所得的三個數(shù)依此成等比數(shù)列，則的值為 （前黃姜堰四校聯(lián)考）已知數(shù)列滿足，, ,則的值為 . 等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a12，公比q3，anan1am720(m，nN*，mn)，則mn 【答案】9（鎮(zhèn)江期末）已知數(shù)列中，在，之間插入1

14、個數(shù)，在，之間插入2個數(shù)，在，之間插入3個數(shù)，在，之間插入個數(shù)，使得所有插入的數(shù)和原數(shù)列中的所有項(xiàng)按原有位置順序構(gòu)成一個正項(xiàng)等差數(shù)列（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足(，為常數(shù))，求的通項(xiàng)公式解：（1）設(shè)的公差為，由題意，數(shù)列的前幾項(xiàng)為：，2分為的第10項(xiàng)，則， 4分，而， 5分故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 6分（2）由（，為常數(shù)），得， 7分當(dāng)?shù)茫?當(dāng)時， 得， 8分則， 9分若，則，代入上式，得，不成立； 10分（法一）當(dāng)，常數(shù) 恒成立，又為正項(xiàng)等差數(shù)列，當(dāng)時，不為常數(shù)，則得， 11分代入式，得 12分（法二），即，則對恒成立，令，3得解得 11分代入式，得 12分（法三）由，

15、得， ，得，代入上式得， 11分代入式，得 12分所以等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則 13分設(shè)中的第項(xiàng)為數(shù)列中的第項(xiàng)，則前面共有的項(xiàng)，又插入了項(xiàng)，則， 15分故 16分【說明】本題是原創(chuàng)題，考查等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)、求和、簡單遞推；考查一般與特殊思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想；考查運(yùn)算能力；考查分析探究能力.設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為公比為為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項(xiàng)；數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；當(dāng)為等差數(shù)列時，對每個正整數(shù)在與之間插入個2，得到一個新 數(shù)列.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù)【解析】（）因?yàn)?所以，解得（舍），則 3分又，所以5分（）由 ，得，所以,則由，得

16、 8分而當(dāng)時，由（常數(shù)）知此時數(shù)列為等差數(shù)列 10分18在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)；（2）問是否存在正整數(shù)，使得成立？如果存在，請求出的關(guān)系式；如果不存在，請說明理由18解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則 2分解得 4分所以 6分（2）因?yàn)椋?7分所以有（*）若，則，（*）不成立，所以，9分若為奇數(shù)，當(dāng)時，不成立， 10分當(dāng)時，設(shè)，則 12分若為偶數(shù)，設(shè)，則，因?yàn)椋?4分綜上所述，只有當(dāng)為大于1的奇數(shù)時，當(dāng)為偶數(shù)時，不存在 16分?jǐn)?shù)列、滿足：，；（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列、都是等差數(shù)列，求證：數(shù)列從第二項(xiàng)

17、起為等差數(shù)列；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，試判斷當(dāng)時，數(shù)列是否成等差數(shù)列？證明你的結(jié)論19證明：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列 4分（2）當(dāng)時，數(shù)列，都是等差數(shù)列，為常數(shù)，數(shù)列從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列 10分（3）數(shù)列成等差數(shù)列解法1 設(shè)數(shù)列的公差為，設(shè)，兩式相減得，即， 12分令，得，數(shù)列（）是公差為的等差數(shù)列 14分，令，即，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列 16分解法2 ，令，即 12分，數(shù)列是等差數(shù)列， 14分，數(shù)列是等差數(shù)列16分（泰州二模）已知，都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿足，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和， 是公差為的等差數(shù)列（1）若數(shù)列是常數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若（是不為零的常數(shù)），求

18、證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若（為常數(shù)，），求證：對任意的，數(shù)列單調(diào)遞減解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列，所以，則由及得，當(dāng)時，兩式相減得， 當(dāng)時，也滿足，故 4分（2）因?yàn)?，?dāng)時，兩式相減得，即，即，又，所以，即，所以當(dāng)時，兩式相減得，所以數(shù)列從第二項(xiàng)起是公差為等差數(shù)列；又當(dāng)時，由得，當(dāng)時，由得，故數(shù)列是公差為等差數(shù)列 15分（3）由（2）得當(dāng)時，即，因?yàn)?，所以，即，所以，即，所以，?dāng)時，兩式相減得 ，即，故從第二項(xiàng)起數(shù)列是等比數(shù)列，所以當(dāng)時，另外由已知條件得，又，所以，因而，令，則，因?yàn)椋?，所以對任意的，?shù)列單調(diào)遞減 16分已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，設(shè)數(shù)列滿足（1）若數(shù)列為

19、等差數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列，都是以2為公比的等比數(shù)列，求滿足不等式的所有正整數(shù)n的集合解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以， 1分由，得，及由，又由，得對一切都成立， 3分即對一切都成立令，解之得或經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以的通項(xiàng)公式為或 5分（2）由題意得，6分 7分 8分 9分記，即， 10分記，則 ，當(dāng)，2，3時，當(dāng)時， 12分因?yàn)闀r，所以；且；所以在時也是單調(diào)遞增， 14分時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，所以滿足條件的正整數(shù)n的集合為1，2，3，4，5，616分（南京鹽城模擬一）設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對于正

20、整數(shù)，（），求證：“且”是“，這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”的充要條件；（3）設(shè)數(shù)列滿足：對任意的正整數(shù)，都有，且集合，N*中有且僅有3個元素，試求的取值范圍解：（1）數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，又，；4分（2）（）必要性：設(shè)，這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，若，則， 6分若，則，左邊為偶數(shù)，等式不成立若，同理也不成立綜合，得，所以必要性成立. 8分（）充分性：設(shè)，則，這三項(xiàng)為，即，調(diào)整順序后易知， 成等差數(shù)列，所以充分性也成立.綜合（）（），原命題成立. 10分（3）因?yàn)?，即，?）當(dāng)時，（*）則（*）式兩邊同乘以2，得，（*）（*）（*），得，即又當(dāng)時，即，適合，.14分，時，即；

21、時，此時單調(diào)遞減，又， 16分（揚(yáng)州期末）已知數(shù)列中，且對任意正整數(shù)都成立，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）若，且，求a（2）是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項(xiàng)，按某順序排列后成等差數(shù)列，若存在，求出所有值；若不存在，請說明理由（3）若，求（1）時，所以數(shù)列是等差數(shù)列， 1分 此時首項(xiàng)，公差，數(shù)列的前項(xiàng)和是， 3分故，即，得；4分（沒有過程，直接寫不給分）（2）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，則它的公比，所以， 6分 若為等差中項(xiàng)，則，即，解得，不合題意；若為等差中項(xiàng)，則，即，化簡得， 解得（舍1）；若為等差中項(xiàng)，則，即，化簡得， 解得； 9分 綜上可得，滿足要求的實(shí)數(shù)有且僅有一個， 10分（

22、3），則， 12分當(dāng)是偶數(shù)時， ；當(dāng)是奇數(shù)時， .也適合上式. 15分 綜上可得， 16分（蘇北四市期末）在數(shù)列中，已知，為常數(shù)(1)證明：，成等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)當(dāng)時，數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，成等比數(shù)列，且，也成等比數(shù)列？若存在，求出，的值；若不存在，說明理由（1）因?yàn)?，所以，同理?2分又因?yàn)椋?分所以，故，成等差數(shù)列 4分（2）由，得，5分令，則，所以是以0為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，6分即，所以，所以 8分當(dāng)， 9分當(dāng)10分（3）由（2）知，用累加法可求得，當(dāng)時也適合，所以12分假設(shè)存在三項(xiàng)成等比數(shù)列，且也成等比數(shù)列，則，即，14分因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，化簡

23、得，聯(lián)立，得這與題設(shè)矛盾故不存在三項(xiàng)成等比數(shù)列，且也成等比數(shù)列16分（南通調(diào)研二）設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為()的等比數(shù)列記（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）已知數(shù)列的前4項(xiàng)分別為4，10，19，34 求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； 是否存在元素均為正整數(shù)的集合，(，)，使得數(shù)列 ，為等差數(shù)列？證明你的結(jié)論解：（1）證明：依題意， ， 3分 從而，又， 所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列 5分 （2） 法1：由（1）得，等比數(shù)列的前3項(xiàng)為， 則， 解得，從而， 7分 且 解得， 所以， 10分 法2：依題意，得 7分 消去，得 消去，得 消去，得， 從而可解得， 所以， 10分 假設(shè)存在滿足題意的集合，

24、不妨設(shè)，且， ，成等差數(shù)列， 則， 因?yàn)?，所以?若，則， 結(jié)合得， 化簡得， 因?yàn)椋浑y知，這與矛盾， 所以只能， 同理， 所以，為數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，從而， 即， 故，只能，這與矛盾， 所以假設(shè)不成立，從而不存在滿足題意的集合 16分（注：第（2）小問中，在正確解答的基礎(chǔ)上，寫出結(jié)論“不存在”，就給1分）（蘇錫常鎮(zhèn)二模）已知為常數(shù)，且為正整數(shù)，無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，其前項(xiàng)和為，對任意正整數(shù)，數(shù)列中任意兩不同項(xiàng)的和構(gòu)成集合 （1）證明無窮數(shù)列為等比數(shù)列，并求的值； （2）如果，求的值； （3）當(dāng)時，設(shè)集合中元素的個數(shù)記為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（前黃姜堰四校聯(lián)考）已知無窮數(shù)列中，是首項(xiàng)為，公差為的

25、等差數(shù)列；是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列（其中），并對任意的，均有成立（1）當(dāng)時，求；（2）若，試求的值；（3）判斷是否存在（），使得成立？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由解（1）時，數(shù)列的周期為，而是等比數(shù)列中的項(xiàng)， 4分（2）設(shè)是第一個周期中等比數(shù)列中的第項(xiàng)，則，等比數(shù)列中至少有項(xiàng)，即，則一個周期中至少有16項(xiàng)最多是第二個周期中的項(xiàng) 7分若是第一個周期中的項(xiàng)，則；若是第二個周期中的項(xiàng)，則不為整數(shù)；綜上， 10分（3）是此數(shù)列的周期，表示64個周期及等差數(shù)列的前3項(xiàng)之和最大時，最大 12分，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，29 當(dāng)時，取得最大值，則取得最大值為 15分由此可知，不存在（），使得成立

26、 16分（金海南三校聯(lián)考）定義：從一個數(shù)列an中抽取若干項(xiàng)(不少于三項(xiàng))按其在an中的次序排列的一列數(shù)叫做an的子數(shù)列，成等差(比)的子數(shù)列叫做an的等差(比)子列.(1)求數(shù)列的等比子列；(2)設(shè)數(shù)列an是各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列，且公比q1. = 1 * GB3 試給出一個an，使其存在無窮項(xiàng)的等差子列(不必寫出過程)； = 2 * GB3 若an存在無窮項(xiàng)的等差子列，求q的所有可能值.解：（1）設(shè)所求等比子數(shù)列含原數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)的個數(shù)為k（1k3，kN*）， 當(dāng)k2時， 設(shè) eq sdo1(f(1,n)， eq sdo1(f(1,n1)， eq sdo1(f(1,m)成等比數(shù)列，則 eq

27、sdo1(f(1,(n1)2) eq sdo1(f(1,n) eq sdo1(f(1,m)，即mn eq sdo1(f(1,n)2， 當(dāng)且僅當(dāng)n1時，mN*，此時m4，所求等比子數(shù)列為1， eq sdo1(f(1,2)， eq sdo1(f(1,4)；設(shè) eq sdo1(f(1,m)， eq sdo1(f(1,n)， eq sdo1(f(1,n1)成等比數(shù)列，則 eq sdo1(f(1,n2) eq sdo1(f(1,n1) eq sdo1(f(1,m)，即mn1 eq sdo1(f(1,n1)2N*； 3分 當(dāng)k3時，數(shù)列1， eq sdo1(f(1,2)， eq sdo1(f(1,3)；

28、eq sdo1(f(1,2)， eq sdo1(f(1,3)， eq sdo1(f(1,4)； eq sdo1(f(1,3)， eq sdo1(f(1,4)， eq sdo1(f(1,5)均不成等比， 當(dāng)k1時，顯然數(shù)列1， eq sdo1(f(1,3)， eq sdo1(f(1,5)不成等比； 綜上，所求等比子數(shù)列為1， eq sdo1(f(1,2)， eq sdo1(f(1,4)5分 （2）（i）形如：a1，a1，a1，a1，a1，a1，（a10，q1）均存在無窮項(xiàng) 等差子數(shù)列： a1，a1，a1， 或a1，a1，a1，7分 （ii）設(shè)a eq o(,dfo()sdown4(nk)(kN*

29、，nkN*)為an的等差子數(shù)列，公差為d， 當(dāng)|q|1時，|q|n1，取nk1log eq o(,dfo()sdown4(|q|) eq sdo1(f(|d|,|a1|(|q|1)，從而|q| eq o(,dfo()sup6(nk1) eq sdo1(f(|d|,|a1|(|q|1)， 故|a eq o(,dfo()sdown4(nk1)a eq o(,dfo()sdown4(nk)|a1q eq o(,dfo()sup6(nk11)a1q eq o(,dfo()sup6(nk1)|a1|q| eq o(,dfo()sup6(nk1)|q eq o(,dfo()sup6(nk1nk)1|a1|

30、q| eq o(,dfo()sup6(nk1)(|q|1)|d|， 這與|a eq o(,dfo()sdown4(nk1)a eq o(,dfo()sdown4(nk)|d|矛盾，故舍去；12分 當(dāng)|q|1時，|q|n1，取nk1log eq o(,dfo()sdown4(|q|) eq sdo1(f(|d|,2|a1|)，從而|q| eq o(,dfo()sup6(nk1) eq sdo1(f(|d|,2|a1|)， 故|a eq o(,dfo()sdown4(nk1)a eq o(,dfo()sdown4(nk)|a1|q| eq o(,dfo()sup6(nk1)|q eq o(,dfo

31、()sup6(nk1nk)1|a1|q| eq o(,dfo()sup6(nk1)|q| eq o(,dfo()sup6(nk1nk)1|2|a1|q| eq o(,dfo()sup6(nk1)|d|， 這與|a eq o(,dfo()sdown4(nk1)a eq o(,dfo()sdown4(nk)|d|矛盾，故舍去； 又q1，故只可能q1，結(jié)合(i)知，q的所有可能值為116分綜合應(yīng)用（）已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.若,（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個數(shù)記為；求數(shù)列的通項(xiàng)公式；記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求所有使得等式成立 的正整數(shù)，解：（），即；1分； 2分所以，

32、； 4分（） 6分； 8分得； 9分； 10分得， 11分由，得，化簡得， 即，即 13分（*）因?yàn)椋?，所以?因?yàn)椋曰蚧虍?dāng)時，由（*）得，所以無正整數(shù)解； 當(dāng)時，由（*）得，所以無正整數(shù)解； 當(dāng)時，由（*）得，所以 綜上可知，存在符合條件的正整數(shù)16分在數(shù)列，中，已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，其中為正整數(shù).（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）問是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對；若不存在，請說明理由.（南通調(diào)研一）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為若(N*)，則稱是“緊密數(shù)列”（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和(N*)，證明：是“緊密數(shù)列”；（2）設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列若數(shù)列

33、與都是“緊密數(shù)列”，求的取值范圍（淮安宿遷摸底）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，若，（1）求；（2）若數(shù)列Mn滿足條件： ，當(dāng)時，其中數(shù)列單調(diào)遞增，且，試找出一組，使得；證明：對于數(shù)列，一定存在數(shù)列，使得數(shù)列中的各數(shù)均為一個整數(shù)的平方（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由，得， 2分解得，所以4分（2）因?yàn)?，若，因?yàn)?，所以，此方程無整數(shù)解； 6分若，因?yàn)?，所以，此方程無整數(shù)解；8分若，因?yàn)?，所以，解得，所以，滿足題意10分 由知，則，一般的取， 13分此時，則，所以為一整數(shù)平方因此存在數(shù)列，使得數(shù)列中的各數(shù)均為一個整數(shù)的平方16分（南京鹽城二模）給定一個數(shù)列an，在這個數(shù)列里，任取m(m3，mN*

34、)項(xiàng)，并且不改變它們在數(shù)列an中的先后次序，得到的數(shù)列稱為數(shù)列an的一個m階子數(shù)列已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為aneq F(1,na) (nN*，a為常數(shù))，等差數(shù)列a2，a3，a6是數(shù)列an的一個3階子數(shù)列 （1）求a的值；（2）等差數(shù)列b1，b2，bm是an的一個m (m3，mN*) 階子數(shù)列，且b1 eq f(1,k) (k為常數(shù)，kN*，k2)，求證：mk1； （3）等比數(shù)列c1，c2，cm是an的一個m (m3，mN*) 階子數(shù)列，求證：c1c2cm2 eq f(1,2m1) 解：（1）因?yàn)閍2，a3，a6成等差數(shù)列，所以a2a3a3a6又因?yàn)閍2 eq f(1,2a)，a3 eq f(

35、1,3a)， a6 eq f(1,6a)，代入得 eq f(1,2a) eq f(1,3a) eq f(1,3a) eq f(1,6a)，解得a0 3分（2）設(shè)等差數(shù)列b1，b2，bm的公差為d因?yàn)閎1 eq f(1,k)，所以b2 eq f(1,k1)，從而db2b1 eq f(1,k1) eq f(1,k) eq f(1,k(k1) 6分所以bmb1(m1)d eq f(1,k) eq f(m1,k(k1)又因?yàn)閎m0，所以 eq f(1,k) eq f(m1,k(k1)0即m1k1所以mk2又因?yàn)閙，kN*，所以mk1 9分（3）設(shè)c1 eq f(1,t) (tN*)，等比數(shù)列c1，c2

36、，cm的公比為q因?yàn)閏2 eq f(1,t1)，所以q eq f(c2,c1) eq f(t,t1) 從而cnc1qn1 eq f(1,t) eq bbc( eq f(t,t1) eq sup10(n1)（1nm，nN*） 所以c1c2cm eq f(1,t) eq f(1,t) eq bbc( eq f(t,t1) eq sup10(1) eq f(1,t) eq bbc( eq f(t,t1) eq sup10(2) eq f(1,t) eq bbc( eq f(t,t1) eq sup10(m1) eq f(t1,t)1 eq bbc( eq f(t,t1) eq sup10(m) eq

37、 f(t1,t) eq bbc( eq f(t,t1) eq sup10(m1) 13分設(shè)函數(shù)f(x)x eq f(1,xm1)，（m3，mN*）當(dāng)x(0，)時，函數(shù)f(x)x eq f(1,xm1)為單調(diào)增函數(shù)因?yàn)楫?dāng)tN*，所以1 eq f(t1,t)2 所以f( eq f(t1,t)2 eq f(1,2m1)即 c1c2cm2 eq f(1,2m1) 16分（南京三模）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的和為Sn，且對任意的m，nN*，都有(SmnS1)24a2ma2n （1）求eq F(a2,a1)的值；（2）求證：an為等比數(shù)列；（3）已知數(shù)列cn，dn滿足|cn|dn|an，p(p3)是給定的正整數(shù)，數(shù)列cn，dn的前p項(xiàng)的和分別為Tp，Rp，且TpRp，求證：對任意正整數(shù)k(1kp)，ckdk解：（1）由(SmnS1)24a2na2m，得(S2S1)24a eq o(sup 5(2),2)，即(a22a1)24a eq o(sup 5(2),2)因?yàn)閍10，a20，所以a22a1a2，即eq F(a2,a1)2 3分證明：（2）（方法一）令m1，n2，得(S3S1)24a2a4，即(2a1a2a3)24a2a4，令mn2，得S4S12a4，即2a1