2019_2020學年高中數(shù)學第2章概率2.4二項分布講義蘇教版

1、2.4二項分布學習目標1.理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布(重點)2能利用二項分布解決一些簡單的實際問題(難點)核心素養(yǎng)1.通過對n次獨立重復試驗及二項分布的學習，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)2借助兩個模型解決實際問題，提升數(shù)學建模素養(yǎng).1n次獨立重復試驗(1)定義：一般地，由n次試驗構成，且每次試驗相互獨立完成，每次試驗的結果僅有兩種對立的狀態(tài)，即A與A，每次試驗中P(A)p0.我們將這樣的試驗稱為n次獨立重復試驗，也稱為伯努利試驗(2)概率計算：在n次獨立重復試驗中，如果每次試驗事件A發(fā)生的概率均為p(0p1)，那么在這n次試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率nPn(k)Ckpkqnk，k0,1,2，

2、n.2二項分布n若隨機變量X的分布列為P(Xk)Ckpkqnk，其中0p1，pq1，k0,1,2，n，則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記作XB(n，p)思考1：有放回地抽樣試驗是獨立重復試驗嗎？提示是有放回地抽樣試驗是相同條件下重復做的n次試驗，是獨立重復試驗思考2：二項分布中隨機變量X的取值是小于等于n的所有正整數(shù)嗎？提示不是二項分布中隨機變量X的取值是小于等于n的所有自然數(shù)1若XB(10,0.8)，則P(X8)等于()8AC100.880.22C0.880.228BC100.820.28D0.820.28k8A因為XB(10,0.8)，所以P(Xk)C100.8k(10.8)10k，所以

3、P(X8)C100.880.22.2獨立重復試驗滿足的條件是_(填序號)每次試驗之間是相互獨立的；每次試驗只有發(fā)生和不發(fā)生兩種情況；拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為，由于每次試驗的結果不受影響，故由獨立重復試驗可知，所求概率為PC132.每次試驗中發(fā)生的機會是相同；每次試驗發(fā)生的事件是互斥的由n次獨立重復試驗的定義知正確3一枚硬幣連擲三次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為_3182113228獨立重復試驗中的概率問題【例1】(1)某射手射擊一次，擊中目標的概率是0.9，他連續(xù)射擊三次，且他每次射擊是否擊中目標之間沒有影響，有下列結論：他三次都擊中目標的概率是0.93；他第三次擊中目標的概率是0.9；他恰好

4、2次擊中目標的概率是20.920.1；他恰好2次未擊中目標的概率是30.90.12.其中正確結論的序號是_(把正確結論的序號都填上)(2)某氣象站天氣預報的準確率為80%，計算(結果保留到小數(shù)點后面第2位)：5次預報中恰有2次準確的概率；5次預報中至少有2次準確的概率；5次預報中恰有2次準確，且其中第3次預報準確的概率思路探究先判斷“射擊手連續(xù)射擊3次”能否看成，“一次射擊”試驗重復做了三次，同樣，氣象站5次預報準確與否也可看成是5次獨立重復的試驗，結合二項分布求概率(1)三次射擊是三次獨立重復試驗，故正確結論的序號是.(2)解記預報一次準確為事件A，則P(A)0.8.5次預報相當于5次獨立重

5、復試驗，52次準確的概率為PC20.820.230.05120.05，因此5次預報中恰有2次準確的概率約為0.05.“5次預報中至少有2次準確”的對立事件為“5次預報全部不準確或只有1次準確”，其概率為5PC05(0.2)5C10.80.240.006720.01.所以所求概率為1P10.010.99.所以5次預報中至少有2次準確的概率約為0.99.說明第1,2,4,5次中恰有1次準確3(2)在4次獨立重復試驗中，事件A至少發(fā)生1次的概率為，則事件A在1次試驗中出3解(1)B5，的分布列為P(k)kk5kC5，k0,1,2,3,4,5.27321一局即PC2.3314所以概率為PC10.80.

6、230.80.020480.02，所以恰有2次準確，且其中第3次預報準確的概率約為0.02.獨立重復試驗概率求法的三個步驟(1)判斷：依據n次獨立重復試驗的特征，判斷所給試驗是否為獨立重復試驗(2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆(3)計算：就每個事件依據n次獨立重復試驗的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算21(1)甲、乙兩隊進行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊勝的概率為，沒有平局若進行三局兩勝制比賽，先勝兩局者為勝，甲獲勝的概率為_6581現(xiàn)的概率為_201(1)(2)(1)“甲獲勝”分兩類：甲連勝兩局；前兩局中甲勝一局，并勝最后22122033276514(2)由題意知，C0p0(

7、1p)4181，p3.二項分布【例2】一名學生每天騎自行車上學，從家到學校的途中有5個交通崗，假設他在各交1通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是.(1)求這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)的分布列；(2)求這名學生在首次遇到紅燈或到達目的地停車前經過的路口數(shù)的分布列思路探究(1)首先判斷是否服從二項分布，再求分布列(2)注意“首次遇到”“或到達”的含義，并明確的取值再求取各值的概率31233所以的分布列為：012345P3224380243802434024310243124321(2)的分布列為P(k)P(前k個是綠燈，第k1個是紅燈)k，k2P(5)P(5個均為綠燈)5.330,1,2,

8、3,4；3故的分布列為012345P132942788116243322431本例屬于二項分布，當X服從二項分布時，應弄清XB(n，p)中的試驗次數(shù)n與成功概率p.2解決二項分布問題的兩個關注點n(1)對于公式P(Xk)Ckpk(1p)nk(k0,1,2，n)必須在滿足“獨立重復試驗”時才能運用，否則不能應用該公式(2)判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了n次2考生選做同一道題的事件為“ABAB”，且事件A，B相互獨立P(ABAB)P(A)P(B)P(A)P(B)1111111.1(2)隨機變量的

9、可能取值為0,1,2,3,4，且B4，.2在一次數(shù)學考試中，第14題和第15題為選做題規(guī)定每位考生必須且只需在其中選1做一題設4名考生選做每道題的可能性均為，且各人的選擇相互之間沒有影響(1)求其中甲、乙2名考生選做同一道題的概率；(2)設這4名考生中選做第15題的人數(shù)為名，求的分布列解(1)設事件A表示“甲選做14題”，事件B表示“乙選做14題”，則甲、乙2名222222P(k)Ck4k14kCk44(k0,1,2,3,4)112212隨機變量的分布列為01234P116143814116得一分，答錯得零分假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，獨立重復試驗與二項分布綜合應

10、用探究問題1王明在做一道單選題時，從A，B，C，D四個選項中隨機選一個答案，他做對的結果數(shù)服從二項分布嗎？兩點分布與二項分布有何關系？提示做一道題就是做一次試驗，做對的次數(shù)可以為0次、1次，它服從二項分布兩點分布就是一種特殊的二項分布，即是n1的二項分布2王明做5道單選題，每道題都隨機選一個答案，那么他做對的道數(shù)服從二項分布嗎？為什么？提示服從二項分布因為每道題都是隨機選一個答案，結果只有兩個：對與錯，并且每道題做對的概率均相等，故做5道題可以看成“一道題”重復做了5次，做對的道數(shù)就是5次試驗中“做對”這一事件發(fā)生的次數(shù)，故他做對的“道數(shù)”服從二項分布3王明做5道單選題，其中2道會做，其余3道

11、均隨機選一個答案，他做對的道數(shù)服從二項分布嗎？如何判斷一隨機變量是否服從二項分布？提示不服從二項分布因為會做的兩道題做對的概率與隨機選取一個答案做對的概率不同，不符合二項分布的特點，判斷一個隨機變量是否服從二項分布關鍵是看它是否是n次獨立重復試驗，隨機變量是否為在這n次獨立重復試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)，滿足這兩點的隨機變量才服從二項分布，否則就不服從二項分布【例3】甲乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏22233312，且各人回答正確與否相互之間沒有影響用表示甲隊的總得分(1)求隨機變量的分布列；(2)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊

12、總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P(AB)思路探究(1)由于甲隊中每人答對的概率相同，且正確與否沒有影響，所以服從二項分布，其中n3，p；p(0)C0313，P(1)C1312，32P(2)C2321，P(3)C333.23(2)AB表示事件A、B同時發(fā)生，即甲、乙兩隊總得分之和為3且甲隊總得分大于乙隊總得分解(1)由題意知，的可能取值為0,1,2,3，且21327223922433928327所以的分布列為0123P1272949827又P(C)C2321(2)用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以ABCD，且C，D互斥，2221112333323

13、3111110233234，P(D)C3335，2111433323由互斥事件的概率公式得P(AB)P(C)P(D)2431043434353534.對于概率問題的綜合題，首先，要準確地確定事件的性質，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復試驗四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是AB還是AB，確定事件至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件公式，最后，選用相應的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨立事件、n次獨立重復試驗的概率公式求解建設工程三類，這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的，.現(xiàn)有3名工人獨立地從中1(2)法一：設3名工人中選擇的項目屬于民生工程的人數(shù)為，由已

14、知，B3，P(0)P(3)C333，P(1)P(2)C232，P(2)P(1)C132，P(3)P(0)C033.3為拉動經濟增長，某市決定新建一批重點工程，分為基礎設施工程、民生工程和產業(yè)111236任選一個項目參與建設(1)求他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；求(2)記為3人中選擇的項目屬于基礎設施工程或產業(yè)建設工程的人數(shù)，的分布列解記第i名工人選擇的項目屬于基礎設施工程、民生工程和產業(yè)建設工程分別為事件Ai，Bi，Ci，i1,2,3.由題意知A1，A2，A3相互獨立，B1，B2，B3相互獨立，C1，C2，C3相互11，P(Bj)獨立，Ai，Bj，Ck(i，j，k1,2,3且i，j，k

15、互不相同)相互獨立，用P(Ai)23，1P(Ck)6.(1)他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率2366P3!P(A1B2C3)6P(A1)P(B2)P(C3)61111.3且3，所以1112232733912428339327故的分布列是0123p1272949827B3，即P(k)Ck3k3k，k0,1,2,3.法二：記第i名工人選擇的項目屬于基礎設施工程或產業(yè)建設工程分別為事件Di，i1121,2,3.由已知，D1，D2，D3相互獨立，且P(Di)P(AiCi)P(Ai)P(Ci)263，所以221333故的分布列是0123p127294982711已知XB6，則P(X2)等于()1本節(jié)

16、課的重點是n次獨立重復試驗及二項分布，難點是二項分布的應用2要注意區(qū)分二項分布、兩點分布、超幾何分布(1)當n1時，二項分布就是兩點分布；(2)二項分布是有放回抽樣，每次抽取時的總體沒有改變，因此每次抽到某事物的概率都是相同的，可以看成是獨立重復試驗；超幾何分布是不放回抽樣，取出一個則總體中就少一個，因此每次取到某物的概率是不同的即二項分布與超幾何分布的最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣.3A.316B.4243243C.13243D.80DP(X2)C2624.243331是隨機變量，且XBn，.3設XB(4，p)，且P(X2)，那么一次試驗成功的概率p等于_12802下列說法正確的

17、是_(填序號)某同學投籃的命中率為0.6，他10次投籃中命中的次數(shù)X是一個隨機變量，且XB(10,0.6)；某福彩的中獎概率為p，某人一次買了8張，中獎張數(shù)X是一個隨機變量，且XB(8，p)；從裝有5個紅球、5個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球為止，則摸球次數(shù)X2顯然滿足獨立重復試驗的條件，而雖然是有放回地摸球，但隨機變量X的定義是直到摸出白球為止，也就是說前面摸出的一定是紅球，最后一次是白球，不符合二項分布的定義827128或3P(X2)C24p2(1p)2273，122222即p(1p)，解得p或p.4甲、乙兩人各射擊一次擊中目標的概率分別是和，假設兩人射擊是否擊中目標，相解設“甲、乙兩人各射擊一次擊中目標分別記為A，B”，則P(A)