電磁場(chǎng)理論基礎(chǔ)電子教案：第五章 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題

1、第五章 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題邊值問題研究方法解析法數(shù)值法分離變量法鏡像法復(fù)變函數(shù)法有限差分法有限元法邊界元法矩量法模擬電荷法5.1 唯一性定理和解的疊加原理 一. 唯一性定理 在給定的區(qū)域內(nèi)，泊松方程（或拉普拉斯方程）滿足所給定的全部邊界條件的解是唯一的。 2、邊界條件的形式給定全部邊界上的函數(shù)值給出全部邊界上函數(shù)的法向?qū)?shù)值給定部分邊界上的函數(shù)值，而其余邊界上給出函數(shù)的法向?qū)?shù)值“狄利赫利”邊界條件“聶曼”邊界條件混合邊界條件1、表述3、唯一性定理的證明證明：考慮泊松方程，用反證法 在區(qū)域內(nèi)存在兩個(gè)不同的函數(shù) 和 都滿足相同的泊松方程 ，并且在區(qū)域邊界S上滿足同樣的邊界條件。 令則有利用取則對(duì)上

2、式兩邊在區(qū)域內(nèi)作體積分，然后運(yùn)用散度定理，得將 代入上式得 對(duì)于第一類邊界條件對(duì)于第二類邊界條件對(duì)于第三類邊界條件不論對(duì)哪類邊界條件，面積分 都等于零 因此有 由于 恒為正值，故上式成立的條件是解之可得討論：對(duì)于第一類邊界條件，因?yàn)樗訡 = 0第二類和第三類邊界條件的情況 對(duì)于求解場(chǎng)函數(shù)來說，解是唯一的。4、應(yīng)當(dāng)明確只有在區(qū)域的所有邊界上給出唯一的邊界條件時(shí)，邊值問題的解才是唯一確定的。 唯一性定理 給出了求解電磁場(chǎng)問題的理論依據(jù)不論采用什么方法，只要得到的解能夠在區(qū)域內(nèi)滿足方程而在邊界上滿足邊界條件，這個(gè)解就是該邊值問題的唯一正確解。 二. 解的疊加原理解的可疊加性是方程線性的必然結(jié)果。

3、1、表述對(duì)拉普拉斯方程，若 、 、 都是滿足方程 的解 則其中ai為任意常數(shù)。 也是方程 的解 并且 、 、 都是滿足方程 的解 則其中ai為任意常數(shù)。 也是方程 的解 對(duì)泊松方程，若 是滿足方程 的一個(gè)任意解 2、證明討論泊松方程的情況對(duì)疊加得到的結(jié)果兩邊作 運(yùn)算，得 因此 是方程 的解 令 f = 0，即可得到拉普拉斯方程情況的證明3、應(yīng)用求解邊界問題時(shí)，可以先將復(fù)雜邊界條件分解成便于求解的幾個(gè)邊界條件，則總的邊界問題解就是這些解的疊加。例：分解為三個(gè)邊界問題分解后每個(gè)邊值問題都只有一個(gè)非齊次邊界值，求解變得容易。 原問題的解應(yīng)該是三個(gè)問題解的疊加5.2 拉普拉斯方程的分離變量法一. 直角

4、坐標(biāo)系中的分離變量法 直角坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的表達(dá)式為 令 ，并代入上式并兩邊同除以 得 1、方法介紹變量的分離則上式分解成三個(gè)獨(dú)立的全微分方程，即 稱為分離常數(shù)，分離常數(shù)之間滿足約束關(guān)系 全微分方程解的選?。ㄒ?為例）對(duì) 和 也都有與上述相同形式的解。在 、 、 三組可取解中各取其一并相乘，即可得到一個(gè)解的表達(dá)式。 解的選取并不是任意的，因?yàn)榇嬖诩s束條件如果取 ， ，則必須取 a. 對(duì)于有兩個(gè)零值邊界的方向，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)取三角函數(shù)；b. 對(duì)于單零值邊界方向，對(duì)應(yīng)的函數(shù)一般取雙曲函數(shù)形式；c. 而有無限遠(yuǎn)邊界的方向，一般取指數(shù)函數(shù)形式。d. 若位函數(shù)與某一坐標(biāo)變量無關(guān)，則該變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)取成

5、常數(shù)， 并取作1。根據(jù)邊界條件來選擇函數(shù)： 拉普拉斯方程的通解本征值：滿足齊次邊界條件的分離常數(shù)可以取一系列特殊值 本征值對(duì)應(yīng)的函數(shù)稱為本征函數(shù)或本征解。 所有本征解的線性疊加構(gòu)成滿足拉普拉斯方程的通解在許多問題中，單一本征函數(shù)不能滿足所給的邊界條件，而級(jí)數(shù)形式的通解則可以滿足單個(gè)解函數(shù)所無法滿足的邊界條件。 2、例題例5.1 邊界條件如圖，求電位分布 o y 0=U b a 0UU=圖51 長(zhǎng)方形截面的導(dǎo)體長(zhǎng)槽 0=U 0=U x 解：內(nèi)部電位與z無關(guān)，是二維問題 根據(jù)邊界條件寫出通解x方向電位有兩個(gè)零值邊界， 應(yīng)取三角函數(shù)形式；y方向電位為單零值邊界， 應(yīng)取雙曲函數(shù)形式。 令分離常數(shù) 則電

6、位通解為求待定系數(shù)將邊界條件(a)代入得 若對(duì)任意y成立，則 再利用邊界條件(b)得 通解變?yōu)槿魧?duì)任意y成立，則再利用邊界條件(c)得 若對(duì)任意x成立，則 其中 ，若用整數(shù)n代替i，則上式表示為 把邊界條件(d)代入上式，得 將U0 在（0，a）區(qū)間內(nèi)展開為 的傅立葉級(jí)數(shù)于是其中對(duì)比兩邊各項(xiàng)系數(shù)可得因此，在槽內(nèi)的電位分布是 0UU= 0=U 0=U 0=U 例5.2 有兩塊一端彎成直角的導(dǎo)體板相對(duì)放置，中間留有一小縫，如圖所示。設(shè)導(dǎo)體板在x軸和z軸方向的長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于兩導(dǎo)體板間的距離b，上導(dǎo)體的電位為U0，下導(dǎo)體接地。求兩板間的電位分布。 解：電位分布與z無關(guān)，這是一個(gè)二維拉普拉斯問題 邊界條件

7、邊界條件的分解 0UUbya= ybUUxa00= ybUUUxb000-= ybUUxb00-= 0=xbU ( A ) ( B ) 圖54 圖53的場(chǎng)分解 y y x x 00=yaU 0=bybU 00=ybU 對(duì)于(A)問題，情況與平行板電容器相同，兩極間為勻強(qiáng)電場(chǎng)對(duì)于(B)問題沿y軸方向存在兩個(gè)零電位邊界，取 沿x軸正方向邊界無界且電位趨于零，取 因此(B)問題的電位通解應(yīng)為 將邊界條件(c)代入，得利用傅立葉展開并比較系數(shù)，可求得(B)問題的解利用疊加原理所以原問題的電位表達(dá)式為 原問題的解應(yīng)該是A 問題和B 問題解的線性疊加二. 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法1、方法介紹變量的分離圓柱

8、坐標(biāo)中拉普拉斯方程為令 ，代入上式，并在兩邊同乘以得得上式第二項(xiàng)只與 有關(guān)，可以先分離出來，令其等于常數(shù) 將上式代回到式(A)，各項(xiàng)同除以 r2，得 (A)令上式左邊最后一項(xiàng)等于常數(shù) ，則上式分離成為兩個(gè)方程解的選取 時(shí) ， 對(duì)于對(duì)于 時(shí) ， 時(shí) ， 時(shí) ， 時(shí) ， 對(duì)于 ，是一個(gè)n階貝塞爾方程 時(shí) 時(shí) 時(shí) 時(shí) 稱為n階第一類貝塞爾函數(shù) 稱為n階第二類貝塞爾函數(shù)，也叫聶曼函數(shù) 第一類和第二類變形貝塞爾函數(shù) 其中本征解的疊加構(gòu)成通解例5.3 電場(chǎng)強(qiáng)度為 的均勻靜電場(chǎng)中放入一半徑為a的電介質(zhì)長(zhǎng)圓棒，棒的軸線與電場(chǎng)相垂直，棒的電容率為 ，外部電容率為 ，求任意點(diǎn)的電位。 解：在柱坐標(biāo)系中求解 根據(jù)邊

9、界條件，寫出通解與z無關(guān)，取 ，則故對(duì)于 ，根據(jù)問題的形式，可知所以取 n2 0，并且 n為正整數(shù)只取 項(xiàng)對(duì)于 ，因?yàn)樗?取于是通解可以表示為求分區(qū)通解r a 時(shí)，總電位包括外電場(chǎng)和介質(zhì)棒兩部分的貢獻(xiàn) 外電場(chǎng)電位介質(zhì)棒電位規(guī)定了考慮到當(dāng) 時(shí)，介質(zhì)棒產(chǎn)生的電位是有限值，故利用靜電場(chǎng)的邊界條件求系數(shù)將U1和U2的通解表達(dá)式代入上面兩個(gè)邊界條件，得 比較上面兩式兩邊 的系數(shù)，得 n = 1時(shí)以上兩式聯(lián)立求解，得 n 1時(shí)聯(lián)立解上面兩式求解，得求出圓柱內(nèi)外電位求出圓柱內(nèi)外電場(chǎng)強(qiáng)度三. 球坐標(biāo)系中的分離變量法 球面坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的表達(dá)式為 令 代入上式，并兩邊同乘以變量的分離得引入 - m2分離

10、引入 n(n+1)分離r分離解的選取 時(shí) 對(duì)于 時(shí) 對(duì)于 解只有一種形式 時(shí) 時(shí) 時(shí) 對(duì)于分別稱為第一類和第二類連帶勒讓德函數(shù) 分別稱為第一類和第二類勒讓德函數(shù) 本征解的疊加構(gòu)成通解例5.6 在均勻電場(chǎng)中放入一半徑為a的接地導(dǎo)體球。求任意點(diǎn)的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度 解：取球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)， 電場(chǎng)方向?yàn)闃O軸方向，建立球坐標(biāo)系根據(jù)邊界條件，求出通解與 無關(guān)，取m = 0，所求場(chǎng)域包括 ，故只含有第一類勒讓德多項(xiàng)式 r 0Ev x a 0e P z y o q 電位通解可以寫成 根據(jù)邊界條件確定電位因?yàn)閷?dǎo)體球接地，所以球內(nèi)在球外，電位包括均勻電場(chǎng)和導(dǎo)體球兩部分的貢獻(xiàn)均勻電場(chǎng)的電位因?yàn)楦袘?yīng)電荷的電位因?yàn)?時(shí)，

11、 故總電位利用導(dǎo)體球的邊界條件 ，得 不含 rn 項(xiàng)由勒讓德多項(xiàng)式的正交公式可得根據(jù)電位求電場(chǎng)因此球外電位是可見，感應(yīng)電荷對(duì)場(chǎng)的貢獻(xiàn)相當(dāng)于一個(gè)沿z軸放置的電偶極子，這是由于球面感應(yīng)電荷的分布恰好是上正下負(fù)之故。 5.3 鏡像法鏡像法理論依據(jù)：唯一性定理。鏡像法基本思路：分界面上的感應(yīng)源 區(qū)域外的鏡像源無限區(qū)域的同種媒質(zhì)問題 分區(qū)媒質(zhì)問題鏡像電荷位置選擇原則：1、鏡像電荷必須位于求解區(qū)域以外的空間。 2、鏡像電荷的引入不能改變?cè)瓎栴}的邊界條件。 一. 平面鏡像 例5.8 真空中一點(diǎn)電荷q位于一無限大接地導(dǎo)體平面的上方，與平面的距離為h。求z 0區(qū)域的電位分布。 1、導(dǎo)體介質(zhì)（電場(chǎng)）用鏡像電荷 代

12、替導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷將 區(qū)域換成真空 解：給出等效問題z 0區(qū)域所滿足的邊界條件保持不變，即所以，原問題就化作求解電荷 在無界真空區(qū)域中的問題。區(qū)別僅在于我們只取z 0區(qū)域的解。求解等效問題空間任意點(diǎn)的電位由q和 共同產(chǎn)生 根據(jù) ，可知R時(shí)，U = 0根據(jù) ，可得 于是原問題的解感應(yīng)電荷密度為 總感應(yīng)電荷為 導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷總感應(yīng)電荷恰好等于鏡像電荷電量。這一結(jié)果是合理的，因?yàn)辄c(diǎn)電荷q所發(fā)出的電力線將全部終止于無限大的接地導(dǎo)體平面上。點(diǎn)電荷對(duì)相交接地平面導(dǎo)體邊界的鏡像a. 兩半無限大接地導(dǎo)體平面垂直相交。 要滿足在導(dǎo)體平面上電位為零，則必須引入3個(gè)鏡像電荷。如圖所示。b.對(duì)于非垂直相交的

13、兩導(dǎo)體平面構(gòu)成的邊界，若夾角為 ，則所有鏡像電荷數(shù)目為 2n - 1個(gè)。2、介質(zhì)介質(zhì)（電場(chǎng)） q h R ),(zyxP 2e o (c) 2e y x q q h R R ),(zyxP 1e 1e y x o (b) -h 例題5.9 在1區(qū)距離界面h處有個(gè)點(diǎn)電荷q 求空間的電位分布q h 1e 2e y x o 解：給出等效問題x 0區(qū)域，可化作是 在充滿 介質(zhì)的無界空間中的場(chǎng)問題(b)x 0區(qū)域，可化作是 在充滿 介質(zhì)的無界空間中的場(chǎng)問題(c)求解等效問題 兩個(gè)區(qū)域的電位表達(dá)式為 電位的邊界條件是 將電位表達(dá)式代入得聯(lián)立求解，得 化簡(jiǎn)得 將這兩個(gè)鏡像電荷的表達(dá)式代入分區(qū)域的電位表達(dá)式中

14、即可得到整個(gè)空間的電位。給出原問題的解3、介質(zhì)介質(zhì)（磁場(chǎng)）例5.10 求與分界面平行的無限長(zhǎng)線電流I，在空間各點(diǎn)的磁場(chǎng)。 解：原問題的等效1區(qū)2區(qū)求解等效問題設(shè)分界面法線方向 ，切線方向 則界面兩側(cè)的磁場(chǎng)為利用邊界條件將磁場(chǎng)表達(dá)式代入，可解得給出原問題的解如果區(qū)域1是 的非磁性材料，區(qū)域2是 的理想磁導(dǎo)體 則在x = 0的分界面上表明：理想磁導(dǎo)體的外側(cè)磁場(chǎng)只有法線分量。這與理想電導(dǎo)體表面只有法線電場(chǎng)分量的情況類似。 二. 球面鏡像 對(duì)于分界面是球面，并且源為點(diǎn)源的靜態(tài)場(chǎng)問題，可用球面鏡像。例5.11 在半徑為a的接地導(dǎo)體球外M點(diǎn)有一個(gè)點(diǎn)電荷q，球心O與M點(diǎn)的距離為d，如圖所示。求導(dǎo)體球外的電位

15、分布和球面上的感應(yīng)電荷。 qqOqrRRddABM解：設(shè)置鏡像電荷鏡像電荷 應(yīng)在OM連線的球內(nèi)部分上，設(shè) 的位置點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為 空間任意點(diǎn)的電位邊界條件 對(duì)于球面上的任意點(diǎn)都成立考察 兩點(diǎn)，則有由上面兩式解得 求原問題的解 將 代入電位表達(dá)式即得求感應(yīng)電荷面密度 利用電位可求出導(dǎo)體球面上的感應(yīng)電荷密度與總感應(yīng)電荷 a. 總感應(yīng)電荷恰等于鏡像電荷 b. 感應(yīng)電荷的絕對(duì)值小于施感電荷q 表明q發(fā)出的電力線一部分終止于導(dǎo)體球面而另一部分則終止于無窮遠(yuǎn)處。 討論：a. 導(dǎo)體球不接地且表面上不帶過剩電荷 b. 導(dǎo)體球不接地，并且給出它的電位為U0 c. 導(dǎo)體內(nèi)挖一個(gè)球形空腔，空腔內(nèi) 點(diǎn)有一點(diǎn)電荷 距球

16、心 此時(shí)需要在球心處增加一個(gè)鏡像電荷 ，并且 ，新電荷系統(tǒng)由 共同組成。 此時(shí)需要在球心處增加一個(gè)鏡像電荷 ，并且 ，新電荷系統(tǒng)由 共同組成。 此時(shí)它的鏡像應(yīng)該放在腔外的M點(diǎn)上，也就是本例問題的反演，鏡像電荷 和 。 腔內(nèi)的場(chǎng)分布由 共同確定。例5.12 假設(shè)一個(gè)無限大接地導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球形導(dǎo)體凸塊，在凸塊附近有一個(gè)點(diǎn)電荷q。求此電荷的鏡像。 解：建立坐標(biāo)系設(shè)電荷q和導(dǎo)體平面法線所在的平面為xz平面。o z a z q- d q q(x,0,z) -q(x,0,-z) x a. 電荷q對(duì)導(dǎo)體平面xy面的鏡像電荷- q， 坐標(biāo)為 ( x, 0, -z) b. 電荷 q 對(duì)球面的鏡像為

17、 求鏡像電荷導(dǎo)體外任意點(diǎn)的場(chǎng)由 四個(gè)點(diǎn)電荷共同確定。 c. 鏡像電荷 對(duì)xy平面的鏡像為 ， 處在 與O的連線上。三. 圓柱面鏡像 例5.13 在半徑為a的無限長(zhǎng)接地導(dǎo)體園柱外有一根與圓柱軸線平行的無限長(zhǎng)線電荷，線電荷與圓柱軸線的距離為d，如圖所示。求：柱外任意點(diǎn)的電位和柱面上的感應(yīng)電荷。 解：設(shè)置鏡像電荷根據(jù)場(chǎng)的對(duì)稱性，可設(shè)鏡像電荷是一條與圓柱軸平行的線電荷，線密度為 ，與軸線的距離為 。 求解等效問題空間任意點(diǎn)的電位為 r P o a lr R R lr j x d o d M y b b B 其中 代入邊界條件 ，得 上式應(yīng)對(duì)任意都成立，即圓柱面上的電位處處為零。因此應(yīng)有 由此可以得到上

18、式成立的充分條件是兩個(gè)方括號(hào)部分都等于零 所以可得到不合理正確解給出原問題的解利用求得的鏡像電荷參數(shù)可以得到柱外任意點(diǎn)電位 柱面上的感應(yīng)電荷面密度和單位長(zhǎng)度上的感應(yīng)電荷分別為 等量異號(hào)平行線電荷的等電位面 lr lr b b y x 圖516 平行線電荷的等電位線 假定兩線電荷相距為2b，電量分別為 ，則空間任意點(diǎn)電位為分別表示場(chǎng)點(diǎn)與 的距離，可見當(dāng) 取不同值時(shí)，就得到不同電位的等位圓。 若取兩線電荷連線為x軸，連線的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則整理可得 這是一個(gè)以常數(shù)k為參量的圓族方程，它表示兩條平行異號(hào)線電荷在二維平面內(nèi)的等電位線族。 等位圓的圓心在半徑為k 1時(shí)，等位圓在y軸的右側(cè)，電

19、位為正值；k = 1時(shí)，對(duì)應(yīng)著y軸所在的位置；k =、 0 時(shí)，對(duì)應(yīng)著 所在的位置。例5.14 兩無限長(zhǎng)平行圓柱導(dǎo)體的半徑都等于a，軸線之間的距離為2d，如圖所示。求：導(dǎo)體柱單位長(zhǎng)度的電容。 解：用兩條平行異號(hào)線電荷和作為平行帶電圓柱的鏡像。首先來確定線電荷的位置b。在右邊圓柱邊界上選取兩個(gè)特殊點(diǎn) ，設(shè)y軸上的任意點(diǎn)為零電位參考點(diǎn)，則空間任意點(diǎn)處的電位為則即解之得所以空間任意點(diǎn)處的電位為可得帶負(fù)電圓柱的電位由此將帶負(fù)電圓柱面的方程 代入上式， 同理，可證明帶正電圓柱的電位為 兩圓柱間的電位差 兩圓柱單位長(zhǎng)度的電容為 當(dāng) 時(shí)，令 ，則得5.4 復(fù)變函數(shù)法1、復(fù)位函數(shù)法 2、保角變換法 5.5 有限差分法 1、數(shù)值方法當(dāng)邊界形狀比較復(fù)雜，以至邊界條件無法寫成解析式而只能用一些離散數(shù)值表示時(shí)，前面所介紹的各種解法均無法使用，此時(shí)可以采用數(shù)值方法求解。 有限差分法、矩量法、有限元法、邊界元法2、有限差分法 基本思想： 將滿足拉普拉斯方程或泊松方程的邊值問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限差分方程組來求解。 差分方程的推導(dǎo)討論最簡(jiǎn)單的二維問題a. 將待求區(qū)域劃分成許多邊長(zhǎng)為