2021年高考文數(shù)真題試卷(全國乙卷)含答案

1、第 PAGE 22 頁 共 11 頁2021 年高考文數(shù)真題試卷（全國乙卷）一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，總共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（共 12 題；共 51 分）A. 5B. 1,2C. 3,4D. 1,2,3,4u1.已知全集 U=1,2,3,4,5,集合 M=1,2,N=3,4,則 C （MUN）=（ ）【答案】 A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算，補(bǔ)集及其運(yùn)算u【解析】【解答】因?yàn)?U=1,2,3,4,5,集合 M=1,2,N=3,4 則 MUN 1，2，3，4， 于 是 C （MUN）= 5 。故答案為：Au【分析】先求 MUN，再求 C

2、 （MUN） 。設(shè) iz=4+3i，則 z 等于（ ）A. -3-4iB. -3+4iC. 3-4iD. 3+4i【答案】 C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算【解析】【解答】因?yàn)?iz=4+3i ，所以Z43= 431= 34。故答案為：C【分析】直接解方程，由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，得到結(jié)果。已知命題 p： xR，sinx1；命題 q： xR， e|x|1，則下列命題中為真命題的是（ ）A. p qB. p qC. p qD. (pVq)【答案】 A【考點(diǎn)】全稱量詞命題，存在量詞命題，命題的否定，命題的真假判斷與應(yīng)用【解析】【解答】因?yàn)槊}P 是真命題，命題 q 也是真命題， 故答案為：A【分析】

3、先判斷命題p，q 的真假，然后判斷選項(xiàng)的真假。函數(shù) f（x）=sin A. 3 和 2B. 3 和 2C. 6 和 2D. 6 和 23+cos 3的最小正周期和最大值分別是（ ）【答案】 C【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象，y=Asin（x+）中參數(shù)的物理意義，正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的零點(diǎn)與最 值3【解析】【解答】因?yàn)?f（x）=sin +cos2 sin() ,所以周期 2 6 ，值域2，2。即最大值是2， 故答案為：C。332341【分析】先將 f（x） 解析式化成sin()的形式，再由正弦函數(shù)的周期公式計(jì)算周期，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)，得到它的最大與最小值。 + 4若 x，y 滿足約束條件 2

4、,則 z=3x+y 的最小值為（ ）A. 18B. 10C. 6D. 4 3【答案】 C【解析】【解答】作出線性約束的可行域（如圖陰影部分所示區(qū)域），當(dāng)直線 z=3x+y 經(jīng)過點(diǎn)（1，3）時(shí)，z 取得最小值。此時(shí) zmi=n3x1+3=6.故答案為：C【分析】先作出可行域，再通過目標(biāo)函數(shù)以及可行域，確定最優(yōu)解，進(jìn)一步得到答案。【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃cos2 A. 12B. 33C. 22D. 3212 cos2 5 =（ ）12【答案】 D【考點(diǎn)】二倍角的余弦公式【解析】【解答】因?yàn)閏os2 cos2 5 =1+cos(2 ) 1+cos(2 5) = 1 (cos cos 5) = 3故選D。

5、12121212222662【分析】由降冪公式，可以化成特殊角的三角函數(shù)求值。7.在區(qū)間(0, 1A. 34B. 23C. 13D. 162)隨機(jī)取 1 個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于 13的概率為（ ）【答案】 B【考點(diǎn)】幾何概型102【解析】【解答】由幾何概型得：P3 .1032故答案為：B【分析】由幾何概型概率公式即可得到結(jié)果。8.下列函數(shù)中最小值為 4 的是（ ）A. y = 2 + 2 + 4B. y = |sin| +【答案】 C4|sin|C. y = 2 + 22D. y = ln +4ln【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義，指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)， 基本

6、不等式【解析】【解答】對于A：因?yàn)?y=(x+1)2+3,則 ymin=3; 故A 不符合題意；對于B：因?yàn)閥 = |sin| +4|sin|， 設(shè) t=|sinx|( (01 ),則 y=g(t)= + 4 (0 1)由雙溝函數(shù)知，函數(shù)yg(t)= + 4 (0 1)是減函數(shù)，所以 ymin=g(1)=5，所以 B 選項(xiàng)不符合；對于C：因?yàn)?y = 2 + 22 2 +即 ymin=4，故 C 選項(xiàng)正確；42 22 42= 4,當(dāng)且僅當(dāng)2 42 = 1時(shí)“”成立，對于D：當(dāng) (0,1)時(shí)，y = ln +故答案為：C.4ln0 時(shí)，若a 為極大值點(diǎn)，則(如圖 1)，必有 ab,aba2.故

7、B,C 項(xiàng)錯(cuò)；當(dāng) aba2,故 A 錯(cuò)。故答案為：D.【分析】對a 的正負(fù)進(jìn)行討論，根據(jù)極值點(diǎn)的意義，作圖分析，得到正確選項(xiàng)。二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分（共 4 題；共 17 分）13.已知向量 a=(2,5),b=(,4)，若 / ，則= .【答案】 85【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示8【解析】【解答】因?yàn)?(2,5),=(,4)，且 /【分析】根據(jù)向量平行的條件即可得到結(jié)果。， 則2 450， 則。514.雙曲線 2 2 = 1 的右焦點(diǎn)到直線 x+2y-8=0 的距離為.45【答案】 5【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系【解析】【解答

8、】由題意得，a2=4,b2=5,所以 c2=a2+b2=9,所以 c=3(c0),所以橢圓的右焦點(diǎn)是(3,0)，則右焦點(diǎn)(3,0)到直線 x+2y-8 的距離為 = |3208|12 2 2= 5.【分析】先求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后用點(diǎn)到直線的距離公式求焦點(diǎn)到直線的距離即可。記 ABC 的內(nèi)角A，B，C 的對邊分別為a，b，c，面積為 3 ，B=60，a2+c2=3ac，則 b=.【答案】 22【考點(diǎn)】余弦定理，三角形中的幾何計(jì)算【解析】【解答】 = 1 sin = 1 sin600 = 3 = 3 = 4,224于是 = 22 2cos = 22 = 2 = 22【分析】根據(jù)面積的值，計(jì)算

9、出ac，再由余弦定理求解。以圖為正視圖，在圖中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則 所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.【答案】 或【考點(diǎn)】由三視圖還原實(shí)物圖【解析】【解答】當(dāng)俯視圖為 時(shí)，右側(cè)棱在左側(cè)，不可觀測到，所以為虛線，故選擇為側(cè)視圖； 當(dāng)俯視圖為時(shí)，左側(cè)棱在左側(cè)可觀測到，所以為實(shí)線，故選擇為側(cè)視圖，故答案為： 或【分析】分情況討論各種視圖的位置關(guān)系。三、解答題：共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721 題為必考題， 每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（共 5 題；共 50 分）

10、舊設(shè)備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.810.0 10.1 10.2 9.7新設(shè)備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一 臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了 10 件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：12舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為 和 ，樣本方差分別記為s 2 和 s 212（1）求 ， ， s 2， s 2；12（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果 - 22 22，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)

11、產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.【答案】 （1）解：各項(xiàng)所求值如下所示 =110=1102 =1(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3110 x(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2=0.36，2 =1x(10.0-10.3)2+3x(10.

12、1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2=0.4.210（2）由(1)中數(shù)據(jù)得 - =0.3，2 2 212100.3412顯然 - 2 2 210，所以不認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高?！究键c(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差12【解析】【分析】（1）先計(jì)算新舊樣本平均數(shù), ， 再直接用公式計(jì)算 s 2， s 2；(2)由 (1)中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得： - =0.3，2 2 2 0.34 ， 顯 然 - 2 2 2 ，可得到答案。11221010如圖，四棱錐 P-ABCD 的底面

13、是矩形，PD 底面 ABCD，M 為 BC 的中點(diǎn)，且 PB AM.證明：平面 PAM 平面 PBD；若 PD=DC=1，求四棱錐 P-ADCD 的體積.【答案】 （1）因?yàn)?底面 ， 平面 ， 所 以 ，又 ， = ， 所以 平面 ，而 平 面 ，所以平面 平面 （2）由（1）可知， 平面 ，所以 ， 從而 ，設(shè) = ， = 2 ， 則即 22 = 1 ，= ，解 得 = 22，所以 = 2 因?yàn)?底面 ，故四棱錐 的體積為 = 1 (1 2) 1 = 2 33323【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，直線與平面垂直的判定【解析】【分析】（1）由PD 垂直平面 ABCD，及 PB 垂直 AM，可

14、以證明 平面 ， 從而可能證明平面 平面 ；（2）由連接 BD（1）可得 ， 證明 通過計(jì)算，求出高 = 2 ，再用棱錐體積公式直接得到答案。19. 設(shè) 是首項(xiàng)為 1 的等比數(shù)列，數(shù)列 滿 足 = ，已知 1，3 2，9 3成等差數(shù)列.（1）求 和 的通項(xiàng)公式；（2）記 和 分別為 和 的前n 項(xiàng)和.證明： .【答案】 （1）因?yàn)?是首項(xiàng)為 1 的等比數(shù)列且 1 ， 32 ， 93 成等差數(shù)列，所以 62 = 1 + 93 ，所以 61 = 1 + 912 ，即 92 6 + 1 = 0 ，解得 = 13，所以 = (1)1 ，3所 以 = = .3（2）證明：由（1）可得 = 1(11 )

15、= 3 (11 ) ，3= 1 + 2323+ +1 311 123+ ，3331 = 1 + 23233+ + 13+，3+1得2 = 1 + 1 + 1+ +1= 1(11 )= 1 (11 )，3334所以 = 3 (131 )33233，2333+11 13+12333+1所 以 =3 (11 )3 (11 ) = 0 ，242所以 .3234323【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和【解析】【分析】由 1 ， 32 ， 93 成等差數(shù)列，列關(guān)系式等比數(shù)列 的公比 q，進(jìn)而得到 ， 再由 bn 與 an 的關(guān)系求得bn；（2）先根據(jù)條件求得 ，再由錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求

16、得的表達(dá)式，最后用求差比較法，證明 0)的焦點(diǎn) F 到準(zhǔn)線的距離為 2.求C 的方程.已知O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P 在C 上，點(diǎn)Q 滿足 = 9 ，求直線 OQ 斜率的最大值. .2【答案】 （1）拋物線 : 2 = 2( 0) 的焦點(diǎn) ( , 0) ，準(zhǔn)線方程為 =2 ，2由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 2所以該拋物線的方程為 2 = 4 ；() = = 2 ，2（2）設(shè) (0, 0) ，則 = 9 = (990, 90) ，所以 (1009,100) ，由 在拋物線上可得 (100)2 = 4(1009) ， 即 025 2+9 ，=010所以直線 的斜率= 0 =00=025 2+910

17、100，25 2+90當(dāng) 0 = 0 時(shí) ， = 0 ；當(dāng) 0 0 時(shí) ， =10025 + 9， 0當(dāng) 0 0 時(shí)，因?yàn)?250 +930 2250 90= 30 ，此 時(shí) 0 1，當(dāng)且僅當(dāng) 250 =90，即 = 305時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng) 0 0 時(shí)， 0, 0, () 單調(diào)遞增；6當(dāng) (2412 , 2+412) 時(shí)， () 0, () 單調(diào)遞增；6綜上可得：當(dāng) 13時(shí)， () 在R 上單調(diào)遞增，當(dāng) 13時(shí)， () 在 (, 2412) 上單調(diào)遞增，在 (2412 , 2+412) 上單調(diào)遞減，在666(2+412 , +) 上單調(diào)遞增.6（2）由題意可得： (0) = 3 2 + 0 +

18、 1 ， ( ) = 32 2+ ，00000則切線方程為： (3 2 + 0 + 1) = (32 20 + )( 0) ，000切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，則： 0 (3 2 + 0 + 1) = (32 20 + )(0 0) ,000整理可得： 23 2 1 = 0 ，即： (0 1)(22 + 0 + 1) = 0 ，000解得： 0 = 1 ，則 (0) = (1) = 1 1 + + 1 = + 1 ，即曲線 = () 過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線 = () 的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為 (1, + 1) .【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【解析】【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，通過分類討論a 的

19、取值，確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)橫坐標(biāo) x0,通過求導(dǎo)求出切線的斜率，寫出切線的方程，再利用切線過原點(diǎn)的條件，就可以得到x0 的值，進(jìn)一步得到公共點(diǎn)坐標(biāo)。四、選修 44 ：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（共 1 題；共 2 分）22.在直角坐標(biāo)系 xOy 中， C 的圓心為C（2，1），半徑為 1.寫出 C 的一個(gè)參數(shù)方程；過點(diǎn)F（4，1）作 C 的兩條切線， 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條直線的極坐標(biāo)方程. = 2 + 【答案】（1）因?yàn)?C 的圓心為(2，1)，半徑為 1.故 C 的參數(shù)方程為 = 1 + （2）設(shè)切線 y=k（x-4)+1，即 kx-y-4k+1=0.（ 為參數(shù)).=1故 |214+1|1+2即 |2k|= 1