第18章專項(xiàng).階段強(qiáng)化專訓(xùn)

1、專訓(xùn) 1.巧用勾股定理求最短路徑的長(zhǎng)名師點(diǎn)金：求最短距離的問(wèn)題，第一種是通過(guò)計(jì)算比較解最短問(wèn)題；第二種是平面圖形，將分散的條件通過(guò)幾何變換 平移或軸對(duì)稱 進(jìn)行集中，然后借助勾股定理解決；第三種是圖形，將圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路程轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程 距離 用計(jì)算法求平面中最短問(wèn)題1如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人從A 走到B，為了避免拐角C 走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了步路(假設(shè) 2 步為 1 m)，卻踩傷了花草(第 1 題)城際列車”已經(jīng)開通，便設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題：如圖，以往2聽(tīng)說(shuō)“從黃石 A 坐客車到武昌客運(yùn)站

2、 B，現(xiàn)在可以在黃石 A 坐“城際列車”到武漢青山站C，再?gòu)那嗌秸?C 坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運(yùn)站 B.設(shè) AB80 km，BC20 km，ABC120.請(qǐng)你幫助解決以下問(wèn)題：求A，C 之間的距離(參考數(shù)據(jù) 214.6)若客車的平均速度是 60 km/h，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為 40 km/h， “城際列車”的平均速度為 180 km/h，為了在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)武昌客運(yùn)站，應(yīng)選擇哪種乘車方案？請(qǐng)說(shuō)明理由(不計(jì)候車時(shí)間)(第 2 題)用平移法求平面中最短問(wèn)題3如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別是 50 cm，30 cm，10 cm，A 和B 是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A 點(diǎn)上有一

3、只壁虎，它想到B 點(diǎn)去吃可口的食物，請(qǐng)你想，這只壁虎從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到 B 點(diǎn)，至少需爬()A13 cmB40 cmC130 cmD169 cm(第 3 題)(第 4 題)4如圖，已知BCDE90，且 ABCD3，BC4，DEEF2，則 AF 的長(zhǎng)是用對(duì)稱法求平面中最短問(wèn)題5如圖，在正方形 ABCD 中，AB 邊上有一點(diǎn) E，AE3，EB1，在 AC上有一點(diǎn)P，使EPBP 最短，求EPBP 的最短長(zhǎng)度(第 5 題)6高速公路的同一側(cè)有 A、B 兩城鎮(zhèn)，如圖，它們到高速公路所在直線 MN的距離分別為 AA2 km，BB4 km，AB8 km.要在高速公A、B之間建一個(gè)出口P，使A、B

4、 兩城鎮(zhèn)到P 的距離之和最小求這個(gè)最短距離(第 6 題)用展開法求圖形中最短問(wèn)題類型 1圓柱中的最短問(wèn)題(第 7 題)27如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為 2，AB，CD 分別是兩底面的直徑若一只小蟲從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬行到 C 點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路線的長(zhǎng)度是(結(jié)果保留根號(hào))類型 2圓錐中的最短問(wèn)題8已知：如圖，觀察圖形回答下面的問(wèn)題：此圖形的名稱為請(qǐng)你與同伴一起做一個(gè)這樣的物體，并把它沿 AS 剪開，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開圖是一個(gè)如果點(diǎn) C 是 SA 的中點(diǎn)，在 A 處有一只蝸牛，在 C 處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿 AC 爬到 C 處，只能沿此側(cè)面展開圖中畫出

5、蝸牛爬行的最短路線嗎？圖形的表面爬行，你能在(4)SA 的長(zhǎng)為 10，側(cè)面展開圖的圓心角為 90，請(qǐng)你求出蝸牛爬行的最短路程(第 8 題)類型 3正方體中的最短問(wèn)題9如圖，一個(gè)正方體木柜放在墻角處(與螞蟻從柜角A 處沿著木柜表面爬到柜角 C1 處和地面均沒(méi)有縫隙)，有一只請(qǐng)你在正方體木柜的表面展開圖中畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；當(dāng)正方體木柜的棱長(zhǎng)為 4 時(shí)，求螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)(第 9 題)類型 4長(zhǎng)方體中的最短問(wèn)題10如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是 12 cm，8 cm，30 cm，在 AB 的中點(diǎn) C 處有一滴蜜糖，一只小蟲從 E 處沿盒子表面爬到 C 處去吃，求小蟲爬行

6、的最短路程(第 10 題)專訓(xùn) 2.巧用勾股定理解折疊問(wèn)題名師點(diǎn)金：折疊圖形的主要特征是折疊前后的兩個(gè)圖形繞著折線翻折能夠完全重合，解答折疊問(wèn)題就是巧用軸對(duì)稱及全等的性質(zhì)解答折疊中的變化規(guī)律利用勾股定理解答折疊問(wèn)題的一般步驟：(1)運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角；(2)在圖形中找到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)圖形中某一線段的長(zhǎng)為x，將此直角三角形的三邊長(zhǎng)用數(shù)或含有x 的代數(shù)式表示出來(lái)；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問(wèn)題巧用全等法求折疊中線段的長(zhǎng)1(中考泰安)如圖是一直角三角形紙片，A30，BC4 cm，將其折疊，使點(diǎn)C 落在斜邊上的點(diǎn) C處，折痕為 BD，如圖，再將圖沿

7、 DE 折疊，使點(diǎn)A 落在DC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn) A處，如圖，則折痕 DE 的長(zhǎng)為()(第 1 題)8A.3 cmC2B23 cm2 cmD3 cm巧用對(duì)稱法求折疊中圖形的面積，將長(zhǎng)方形 ABCD 沿直線 BD 折疊，使點(diǎn) C 落在點(diǎn) C處，BC2交 AD 于E，AD8，AB4，求BED 的面積(第 2 題)巧用方程求折疊中線段的長(zhǎng)3(中考東莞)如圖，在邊長(zhǎng)為 6 的正方形 ABCD 中，E 是邊 CD 的中點(diǎn)，將ADE 沿 AE 對(duì)折至AFE，延長(zhǎng) EF 交BC 于點(diǎn)G，連接 AG.求證：ABGAFG；求 BG 的長(zhǎng)(第 3 題)巧用折疊探究線段之間的數(shù)量關(guān)系4如圖，將長(zhǎng)方形 ABCD 沿直線

8、EF 折疊，使點(diǎn) C 與點(diǎn) A 重合，折痕交AD 于點(diǎn)E，交 BC 于點(diǎn)F，連接 CE. (1)求證：AEAFCECF；(2)設(shè) AEa，EDb，DCc，請(qǐng)寫出一個(gè) a，b，c 三者之間的數(shù)量關(guān)系式(第 4 題)專訓(xùn) 3.利用勾股定理解題的 6 種常見(jiàn)題型名師點(diǎn)金：勾股定理建立起了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合，應(yīng)用勾股定理可以解與直角三角形有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，證明含有平方關(guān)系的幾何問(wèn)題，作長(zhǎng)為 n(n 為正整數(shù) 的線段，解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題及專訓(xùn)一、專訓(xùn)二中的最短問(wèn)題、折疊問(wèn)題等，在解決過(guò)程中往往利用勾股定理列方程 組 ，有時(shí)需要通過(guò)作輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形，化斜為直來(lái)解決問(wèn)題利用勾股定理求線段長(zhǎng)1，在等

9、腰直角三角形ABC 中，ABC90，點(diǎn) D 為AC 邊的中點(diǎn)，過(guò)D 點(diǎn)作 DEDF，交 AB 于E，交 BC 于F，若 AE4，F(xiàn)C3，求 EF的長(zhǎng)(第 1 題)利用勾股定理作長(zhǎng)為 n的線段2已知線段a，作長(zhǎng)為 13a 的線段時(shí)，只要分別以長(zhǎng)為和的線段為直角邊作直角三角形，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)就為 13a.利用勾股定理證明線段相等D22AB2CD2.3如圖，在四邊形ABFC 中，ABC90，C求證：ABBC.(第 3 題)利用勾股定理直角三角形問(wèn)題4如圖，在ABC 中，C60，AB14，AC10.求 BC 的長(zhǎng)(第 4 題)利用勾股定理解實(shí)際生活中的應(yīng)用5在某段限速公路 BC 上(公路視為

10、直線)，交通管理部門規(guī)定汽車的最高行50過(guò) 60 km/h即 3 m/s，并在離該公路 100 m 處設(shè)置了一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)駛速度A.在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 位于 y 軸上，測(cè)速路段 BC 在x 軸上，點(diǎn) B在點(diǎn)A 的北偏西 60方向上，點(diǎn) C 在點(diǎn)A 的北偏東 45方向上另外一條公路在 y 軸上，AO 為其中的一段求點(diǎn)B 和點(diǎn) C 的坐標(biāo)；一輛汽車從點(diǎn)B 勻速行駛到點(diǎn) C 所用的時(shí)間是 15 s，通過(guò)計(jì)算，判斷該汽車在這段限速是否超速(參考數(shù)據(jù)： 31.7)(第 5 題)利用勾股定理探究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題6如圖，在 RtABC 中，ACB90，AB5 cm，AC3 cm，動(dòng)點(diǎn) P從點(diǎn)B 出發(fā)沿射線

11、BC 以 1 cm/s 的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t 秒求 BC 邊的長(zhǎng)；當(dāng)ABP 為直角三角形時(shí)，借助圖求t 的值；當(dāng)ABP 為等腰三角形時(shí)，借助圖求t 的值(第 6 題)專訓(xùn)114(第 2 題)2解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)C 作AB 的垂線，交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.ABC120，BCE30.在 RtCBE 中，BC20 km，BE10 km.CE103 km.由勾股定理在 RtACE 中，AC2AE2CE2(ABBE)2CE28 1003008 400，AC2021204.692(km)t18011(h)，乘(2)選擇乘“城際列車”理由如下：乘客車需時(shí)間603201城際列車”需時(shí)間t2 92

12、1(h)“18040901113190，選擇乘“城際列車”3C點(diǎn)撥：將臺(tái)階面展開，連接 AB，如圖，線段 AB 即為壁虎所爬的最短路線因?yàn)?BC303103120(cm)，AC50 cm，在 RtABC 中，根據(jù)勾股定理，得 AB2AC2BC216 900，所以 AB130 cm.所以壁虎至少爬行130 cm.(第 3 題)(第 5 題)410解：如圖，連接 BD 交AC 于O，連接ED 與 AC 交于點(diǎn)P，連接 BP.BDAC，且 BOOD，BPPD，則 BPEPED，此時(shí)最短AE3，AD134，由勾股定理得ED2AE2AD232422552，EDBPEP5.解：作點(diǎn) B 關(guān)于 MN 的對(duì)稱

13、點(diǎn) C，連接 AC 交 MN 于點(diǎn) P，則點(diǎn)P 即為所建的出口此時(shí) A、B 兩城鎮(zhèn)到出口P 的距離之和最小，最短距離為 AC 的長(zhǎng)作 ADBB于點(diǎn) D，在 RtADC 中，ADAB8 km，DC6 km.ACAD2DC210 km，這個(gè)最短距離為 10 km.(第 6 題)(第 7 題)722點(diǎn)撥：將圓柱體的側(cè)面沿 AD 剪開并鋪平得長(zhǎng)方形 AADD，連21接 AC，如圖線段 AC 就是小蟲爬行的最短路線根據(jù)題意得 AB222.在 RtABC 中，由勾股定理，得 AC2AB2BC222228，AC 822.8解：(1)圓錐(2)扇形(3)把此圖形的側(cè)面展開，AC 為蝸牛爬行的最短路線(4)在

14、RtASC 中，由勾股定理，得 AC210252125，AC 12555.故蝸牛爬行的最短路程為 55.(第 8 題)(第 9 題)9解：(1)螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的AC1 和AC1.42（44）24(2)如圖，AC15.（44）2424AC15.所以螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)是 45.10解：分為三種情況：1(1)如圖，連接 EC，在 RtEBC 中，EB12820(cm)，BC23015(cm)(第 10 題)由勾股定理，得EC 20215225(cm) (2)如圖，連接EC.根據(jù)勾股定理同理可求 CE 673 cm25 cm.(3)如圖，連接EC.根據(jù)勾股定理同理可求 CE

15、 122（30815）2 2 953(cm)25 cm.綜上可知，小蟲爬行的最短路程是 25 cm.專訓(xùn)21A2解：由題意ADBC，23.BCD 與BCD 關(guān)于直線BD 對(duì)稱，12.13.EBED.設(shè)EBx，則EDx，AEADED8x.在 RtABE 中，AB2AE2BE2，42(8x)2x2.x5.1DEAB1DE5.SBED225410.3(1)證明：在正方形ABCD 中，ADAB，DB90.將ADE 沿 AE 對(duì)折至AFE，ADAF，DEEF，DAFE90.ABAF，BAFG90.又AGAG，RtABGRtAFG(HL)(2)解：ABGAFG，BGFG.設(shè) BGFGx，則 GC6x，E

16、為 CD 的中點(diǎn)，CEDEEF3，EG3x.在 RtCEG 中，32(6x)2(3x)2，解得x2.BG2.4(1)證明：由題意知，AFCF，AECE，AFECFE，又四邊形 ABCD是長(zhǎng)方形，故 ADBC，AEFCFE.AFEAEF.AEAFECCF.(2)解：由題意知，AEECa，EDb，DCc，由D90知，ED2DC2CE2，即b2c2a2.專訓(xùn)3(第 1 題)1解：如圖，連接 BD.等腰直角三角形 ABC 中，點(diǎn) D 為AC 邊的中點(diǎn)，BDAC，BD 平分ABC(等腰三角形三線合一)，ABDCBD45，又C45，ABDCBDC.BDCD.DEDF，BDAC，F(xiàn)DCBDFEDBBDF.F

17、DCEDB.在EDB 與FDC 中，EBDC，BDCD，EDBFDC(ASA)，EDBFDC，BEFC3.AB7，則 BC7.BF4.在 RtEBF 中，EF2BE2BF2324225，EF5.22a；3a證明：CDAD，ADC90，即ADC 是直角三角形由勾股定理，得 AD2CD2AC2.又AD22AB2CD2，AD2CD22AB2.AC22AB2.ABC90，ABC 是直角三角形由勾股定理，得 AB2BC2AC2，AB2BC22AB2，故 BC2AB2，即 ABBC.方法總結(jié)：當(dāng)已知條件中有線段的平方關(guān)系時(shí)，應(yīng)選擇用勾股定理證明，應(yīng)用勾股定理證明兩條線段相等的一般步驟：找出圖中證明結(jié)論所要

18、用到的直角三角形；根據(jù)勾股定理寫出三邊長(zhǎng)的平方關(guān)系；聯(lián)系已知，等量代換，求之即可解：如圖，過(guò)點(diǎn)A 作 ADBC 于點(diǎn) D.ADC90.又C60，CAD90C30，(第 4 題)1AC5.CD2在 RtACD 中，AD AC2CD2 1025253.在 RtABD 中，BD AB2AD211.BCBDCD11516.方法總結(jié)：利用勾股定理求非直角三角形中線段的長(zhǎng)的方法：作三角形一邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合條件，采用推理或列方程的方法解決問(wèn)題5解：(1)在 RtAOB 中，BAO60，ABO30，OA12AB.OA100 m，AB200 m.由勾股定理，得 OB AB2OA2 200210021003(m)在 RtAOC 中，CAO45，OCAOAC45.OCOA100 mB(1003，0)，C(100，0)100310050(2)BCBOCO(1003100)m，18 3 ，15這輛汽車超速了6解：(1)在 RtABC 中，BC2AB2AC2523216，BC4 cm.(2)由題意知 BPt cm，如圖，當(dāng)APB 為直角時(shí)，點(diǎn) P 與點(diǎn)C 重合，BPBC4 cm，即 t4；