2017年高考通關講練高考數(shù)學理科-課標通用-第3輯：導數(shù)的綜合應用含解析

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精四、導數(shù)的綜合應用用一方考啥考綱要求會利用導數(shù)解決某些實際問題.導數(shù)的綜合應用是高考的重點 考查內容，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值以及解決生活 中的優(yōu)化問題，已成為近幾年高考的命題熱點.匚命題規(guī)律導數(shù)的綜合應用涉及的知識點多，綜合性強，要么直接求極值或 最值，要么利用極值或最值求參數(shù)的取值范圍，常與函數(shù)的單調性 ， 函數(shù)的零點，不等式及實際問題形成知識的交匯問題.選擇題、填 空題往往側重于利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性和極值，一般屬于低檔 題目；解答題側重于導數(shù)與函數(shù)、解析幾何、不等式、數(shù)列等知識 的綜合應用，一般難度較大，屬于中、高檔題.預測 2017年的高考，

2、不但會出現(xiàn)考查求導法則、導數(shù)的幾何意義等問題的小題，還會考 查導數(shù)的綜合應用大題.超耕一消的】3 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a2i 2a2 % 1,且a2 a4 2a3 4,其 中n N .(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令Cn 10記數(shù)列a的前n項積為Tn,其中n N*,試比較Tn與9 an的大小，并加以證明學必求其心得，業(yè)必貴于專精【答案】(1) an 2n,n N*.(2) Tn 9,證明見解析。1 2an, BP【解析】 由 a21 2a2 anan 1 得(an 1 an)(an 1 2an) 0, v an 0, a數(shù)列an是以2為公比的等比數(shù)列。由a2a42a34得a12

3、,故數(shù)列an的通項公式為an2n, nN*。(2) Tn 9,證明如下：構造函數(shù) f (x) ln(x 1) X,則 f (x)在(0,)上遞減，所以f (X) f (0),11 x1 x 1故 ln(x 1)當 x 0時，f (x)0,故 f(x)所以 Incnln(1 ) ln(1an)2n 2n，*TnGC2 CnlnTn設3 2rIn q lnc2 Incnn2n，則；Sn122222n23相減得2 s12n2n112(1 H1 12n2n , 旦 2n 1 ?故s 2 k 2,.lnTn 2,.Tne1 2 3 9.【考點定位】數(shù)列、與數(shù)的綜合運用【技巧點撥】通過構造函數(shù)，利用與數(shù)證

4、明不等關系是 解決本題的巧妙之處、關鍵所在。學必求其心得，業(yè)必貴于專精【答案】(1)2x y 0； (2)證明見解析；(3)2. TOC o 1-5 h z 1-rr _Ll1 x2_【解析】(1)f(x) Inc,x r，f(0)2f(0)0,在點0,f 0處的切線方程為2x y 0對 x (0,1)330,1 時,f x 2(x 土)即不等式 f(x) 2(x + ) 0 33恒成立,設 F(x)=1 + xIn 1 x3x2(x + -) = ln(133x+ x) ln(1 x) 2(x + )3則 F (x)0,1時,F (x)0,故F(x)在(0,1)為增函數(shù),所以 F(x) F(

5、0),因此對 x (0,1) , f(x) 32(x + ?恒成立.33(3)使f x k(x2對0,1恒成立,等價于F(x) = In3xk(x + )3對x(0,1)恒成立，則當 k 0,2時，F(xiàn) (x)符合題意；0,函數(shù)在(0, 1)上為增函數(shù),F(x) F(0)0,當k 2時，令F(%)0,得x。F (x) = 2k(1 + x2)2一1 x1 x(0,1),kx(0, %)x0(x0,1)F(x)-0+F(x)X極小 值/F(x)F(0),顯然不成立,綜上所述可知：k的最大值為2學必求其心得，業(yè)必貴于專精 TOC o 1-5 h z 【名師點睛】 本題考查導數(shù)的幾何意義和利用導數(shù)研究

6、函考數(shù)性質問題，本題第一步為基礎，第二、三步屬于中等略偏點難問題，首先利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率和切點坐定位】導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、證明不等式，含 參問題討論。3某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y （單位:千克）與銷售價格x （單位：元/千克）滿足關系式y(tǒng)吃i0 x 62,x 3其中3 x 6, a為常數(shù)，已知銷售價格為 5元/千克時，每日可售 出該商品11千克.（1球a的值;（2）若該商品的成品為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使 商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.【答案】（1） a 2; （2） x 4.【解析】 : x 5時，y 11 5- 1

7、0 11,.a 2; TOC o 1-5 h z 222由（1）知該商品每日的銷售量y咦10 x 62,x 3商場每日銷售該商品所獲得的利潤為：222f x x 3 10 x 6 2 10 x 3 x 6 ,3 x 6：x 3一_2_f x 10 x 62x3x6 30 x 4 x 6 .令 f x 0得 x= 4（.v x ex + 5 (其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為A. 0,B.,0J 3,C.,0J 1,D . 3,0,則a的取值范圍是- 木)入33、C ,2e,4 )3 32e , 4D.怖，1)2.設函數(shù)f(x)= ex(2x 1) ax a,其中a1,若存在唯一的整數(shù)x。,使得

8、f(x。)3,若函數(shù)f (x)=x3+ax2+bx+c有極值點x1，x2 ,且fd)=% ,則關于x的方程 3f(x1)2+2af(x)+b=0的不同實根個數(shù)是 TOC o 1-5 h z A. 3B. 4C. 5D. 64.放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變。假設在放射性同位素艷137衰變過程中，其含量M(太貝克/年)與時間t (單位：年)滿足函數(shù)關學必求其心得，業(yè)必貴于專精t系:m t M02其中Mo為t=0時艷137的含量，已知t=30時，艷137含量的變化率為-101n2(太貝克/年)，則M (60)=A. 5太貝克75ln 2太貝克D

9、. 150太貝克150ln 2太貝克5.如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點a的水平距 離10千米處下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖象的一部 分，則函數(shù)的解析式為C. y1 x 1253 3x1256.設函數(shù)f x地面跑道B. yD.2 x 1253y 125百sin.若存在f x的極值點Xo滿足2 f Xo 21- x5m2,則 m的取值范圍是B., 4 U 4,+C., 2 U 2,+7.已知函數(shù)f(x)a In x b, 1 U 1,+b,曲線y= f (x)在點(1, f (1)處的切線方程為x+ 2y- 3= 0。(1)求a, b的值;如果當x0,且xwl時，f(x)皿

10、k,求k的取值范圍.x 1 x8.已知函數(shù) f(x) 2(x a)ln x x2 2ax 2a2 a, 其中1 a 0.(1股g(x)是f(x)的導函數(shù),討論g(x)的單調性;學必求其心得，業(yè)必貴于專精(2)證明:存在a (0,1),使得f(x) 0在區(qū)間(1,+ )上恒成立，且f(x) 0在 (1,+ )上有唯一解。參考答案A【解析】由題意可知不等式為exf(x)-ex-50, 設 g(x) = exf (x) -ex -5,貝1Jg (x) = exf (x)+exf (x)ex=ex f (x) + f r(x)-1 0 .所以函數(shù)g x在定義域上單調遞增，又因為g 0 0,所以gx 0

11、的 解集為x 0.D【解析】設g(x) = ex(2x 1) ,y ax a,由題知存在唯一的整數(shù)x0 ,使得 g(%)在直線y ax a的下方。因為g(x) ex(2x 1),所以當x g時,g (x) 0,所以當 x :時，g(x)min= 2e2 ,當 x 0時， g(0)=-1 , g(1) e 0,直線 y ax a 恒過點(1,0阻斜率為 a ,故 a g(0)1,且 g( 1) 3e 1 a a 解得;3 W a 所以為 k j,k Z 所以x. k 1,k Z 即產(chǎn)11k 1 1 所以 K11?1 m 2m 2m 222即222x02 f(x0)2 = 3,而已知 2 f %

12、2 m2 ,所以 m2 ： 3,故千 3,解得學必求其心得，業(yè)必貴于專精m 2或m7 .【答案】2,故選 (1)a=1,Cob=1;【解析】(1) f (x)x 1a(xlnx) b2 -2 O (x 1)2x2由于直線x+ 2y- 3=0的斜率為-df (1) 11,且過點(1,1)故12f (l)2，即1，解得2由(1)f(x)In x1x 1x x x所以f(x)(= x 12ln x x(k 1)(x2考慮函數(shù)h(x)2ln x(k 1)(x2 1)x(x0),則 h(x)x1) 2x(i )設 kw 0,由(x)2k(x 1) (x2x2“知，當 xwl 時，h (x) 0,可得1

13、xh (x)h(x) 0；當 xW (1, +oo)時 h (x) 0,且xwi時,f(x)(曲 K) 0 x 1 x即f(x)皿ko x 1 x學必求其心得，業(yè)必貴于專精(ii)設 0Vk0,故 h (x) 0, h(x)單調遞增。而 h (1)= 0,故當 xW (1,二)時，h (x)0,可得h(x) 0,與題設矛盾. 1 k1 x(iii)設k 1,止匕時!(x)0,h (x)單調遞增，而h (1) =0,故當x (1,+ oo)時 h (x) 0,可彳4 h(x) 0.與題設矛盾.1 x綜上可得,k的取值范圍為(-,劣.8.【答案】(1)當0 a ；時，g(x)在區(qū)間(0，Y3a),

14、(L，)上單調 遞增，在區(qū)間(萼9,曹圣)上單調遞減；當a 1時，g(x)在區(qū)間 (0,)上單調遞增；(2)詳見解析?！窘馕觥?1)由已知，函數(shù)f(x)的定義域為(0,),g(x) f (x)a2x 2a 21nx 2(1 J x 0所以g (x)2 2a1 212(x 萬)2 2(a -)令 g (x)。，得令 g (x)0,得1 、1 4a 1+ . 1 4ax 當0 a J時，令 g(x) 0,得 x .1 4a11 4ax ，或 0 x ； 4a 42所以在區(qū)間(0,粵聲),(曹至，)上單調遞增,在區(qū)間(嗔石,TP1)上單調遞減;學必求其心得，業(yè)必貴于專精g(x)在區(qū)間(0.)上單調遞

15、增。由f (x)2x 2a 2ln x 2(1a) 0,解得a戶？。x1 x令(x)2(xx 1 In xxi21)ln x x1 xx 1 lnx、 2( 1 x1 )xx 1 lnx、2 x 1 In x2( 1 x1 )1 x1則(1) 1 0.e(e 2) e 2 2 n(e) k 2(E 0，故存在x。(1,e),使得(x0)0.xo1 In xo1x0,u(x) x 1 In x(x 1),由u(x)1 x函數(shù)u(x)在區(qū)間(1,)上單調遞增。即 A (0,1)。u(x0)1 x。1u(e) e 2a011 1.1 e 11 e 1當a a0時，有f (%)0.f (xo)(xo)

16、 0 ,由(1)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,)上單調遞增。故當 x (1,x)時，有 f(x0) 0,從而 f(x)f(x0) 0;當 x (%,)時，有 f(%) 0,從而 f(x) f(%) 0； 所以,當 x (1,)時,f(x) 0.綜上所述,存在a (0,1),使得f(x) 0在區(qū)間(1,+ )上恒成立，且f(x) 0在 (1,+ )上有唯一解。學必求其心得，業(yè)必貴于專精.利用導數(shù)研究函數(shù)綜合問題的一般步驟(1)確定函數(shù)的定義域，審清題意，確定解題方向，明確出發(fā) 點.(2)進行合理轉化，構造函數(shù)關系，進行求導.(3)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，確定極值或最值，有參數(shù)時進 行分類討論.(

17、4)利用極值或最值，判斷函數(shù)的零點，得出正確結論.(5)反思回顧，查看關鍵點、易錯點及解題過程的規(guī)范性.用導數(shù)證明不等式的方法(1)利用單調性：若f (x)在a, b上是增函數(shù)，則 x a,b, 貝f (a)f(x) f (b)，對 Xi, X2a, b,且 Xix2,貝U f (Xi) f (x2).對于減函數(shù)有類似結論.(2)利用最值:若f (x)在某個范圍D內有最大值M(或最小值m), 則對 xG D,則 f (x) M (或 f (x) m).學必求其心得，業(yè)必貴于專精(3)證明 f (x)g (x),可構造函數(shù) F(x) =f (x) g (x),證明 F (x)0.利用導數(shù)解決生活

18、中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)建模：分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系式 y=f (x).(2)求與：求函數(shù)的與數(shù)f (x),解方程f (x)=0.(3域最值:比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f (x)=0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.(4)作答：回歸實際問題作答.- M 忒力褂一易緇等價轉化錯誤設函數(shù)f(x) x ln(x m),其中常數(shù)m為整數(shù)。(1)當m為何值時，f(x) 0；學必求其心得，業(yè)必貴于專精(2)定理:若g(x)在a,b上連續(xù),且g(a)與g(b)異號,則至少存在一點xo (a,b),使g(%) 0試用上述定理證明：當

19、整數(shù) m 1時，方程f(x)=0在em m,e2m m內有兩個實根.【錯解】令f(x) 0,即x ln(x m) , /. m ex x ,，m取小于或等于ex x 的整數(shù).【錯因分析】對題意理解錯誤，原題“當 m為何值時，f(x)?！辈⒉皇菍的一定范圍成立。因此m e* x這個結果顯然是錯誤的.【正解】(1)函數(shù) f (x) x ln(x m), x ( m,)連續(xù),且 f (x) 1 令 x mf (x) 0,得 x 1 m,當 m x 1 m 時,f(x) 0, f(x)為減函數(shù)；當 x 1 m時, f(x) 0,f(x)為增函數(shù)。根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1 m) 1 m為極小 值，而且對 x ( m,)都有 f (x) f (1 m) 1 m,故當 1 m=f (x)min 0,即 m 1 時, f (x) 0,即 m 1且 m Z 時,f (x) 0.(2)證