八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第一章勾股定理教學(xué)分析與建議北師大版

1、北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)（上）第一章 勾股定理教學(xué)分析與建議主要內(nèi)容 勾股定理在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史上起過重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的應(yīng)用。它的發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用都蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)的、文化的內(nèi)涵。它是幾何學(xué)中的重要的定理之一。教材為學(xué)生設(shè)計(jì)了自主探索勾股定理內(nèi)容以及驗(yàn)證它的素材和空間，教學(xué)中要使學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗(yàn)證的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程教材的設(shè)計(jì)過程中，希望學(xué)生能夠利用方格紙?zhí)剿鞴垂啥ɡ韮?nèi)容，并且能利用拼圖驗(yàn)證勾股定理，再次就是通過測量獲得勾股定理的逆定理教材提供了較為豐富的歷史的或現(xiàn)實(shí)的例子，以展示勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，體現(xiàn)其文化價(jià)值。當(dāng)然限于學(xué)生的已有知識(shí)，問題解決中所涉及的數(shù)據(jù)均為完全平

2、方數(shù)，本章更多的關(guān)注學(xué)生對勾股定理及其逆定理的理解和應(yīng)用，不追求復(fù)雜計(jì)算。二，評(píng)價(jià)建議關(guān)注對探索勾股定理等活動(dòng)的評(píng)價(jià)。一方面要關(guān)注學(xué)生是否積極參與，是否能與同伴進(jìn)行有效合作交流；另一方面也要關(guān)注學(xué)生在活動(dòng)中能否進(jìn)行積極的思考，能否探索出解決問題的方法，是否能夠進(jìn)行積極的思考，在活動(dòng)中學(xué)生所表現(xiàn)出的歸納，概括能力，學(xué)生是否能夠有條理地表達(dá)活動(dòng)過程和所獲得的結(jié)論等。關(guān)注考查對勾股定理及其逆定理的理解和應(yīng)用。注意評(píng)價(jià)時(shí)，不應(yīng)以復(fù)雜運(yùn)算為主，我們應(yīng)更另關(guān)注學(xué)生對有關(guān)結(jié)論的正確使用。三、教學(xué)目標(biāo)l經(jīng)歷探索勾股定理及一個(gè)三角形是直角三角形的條件的過程，發(fā)展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想2掌握勾股定理，了

3、解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法，并能運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題。3掌握判斷一個(gè)三角形是直角三角形的條件，并能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問題。4通過實(shí)例了解勾股定理的歷史和應(yīng)用，體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值。四、教材特點(diǎn)勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起過重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的應(yīng)用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和應(yīng)用蘊(yùn)涵著豐富的文化價(jià)值。勾股定理從邊的角度進(jìn)一步刻畫了直角三角形的特征，通過對勾股定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生將在原有的基礎(chǔ)上對直角三角形有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和理解。為了使學(xué)生能更好地認(rèn)識(shí)勾股定理、發(fā)展推理能力，教科書設(shè)計(jì)了在方格紙上通過計(jì)算面積的方法探索勾股定理的活動(dòng)

4、，同時(shí)又安排了用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的內(nèi)容，試圖讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗(yàn)證的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，同時(shí)也滲透了代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形之間的關(guān)系（如將a2,b2,c2與正方形的面積聯(lián)系起來，再由比較同一正方形面積的幾種不同的代數(shù)表示得到勾股定理）。勾股定理的逆定理也有著重要的地位，但在本章中不要求學(xué)生從邏輯上對定理與逆定理進(jìn)行一般的認(rèn)識(shí)，因此，教科書中沒有給出勾股定理逆定理的名稱，而是稱之為直角三角形的判別條件。教科書以歷史上古埃及人作直角的方法引人“三角形的三邊長如果滿足a2+b2=c2是否能得到一個(gè)直角三角形”的問題，然后通過讓學(xué)生按已知數(shù)據(jù)作出三角形，并測量三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)來獲得一個(gè)三角

5、形是直角三角形的有關(guān)邊的條件。為了讓學(xué)生更好地體會(huì)勾股定理及逆定理在解決實(shí)際問題中的作用，教科書提供了較為豐富的歷史的或現(xiàn)實(shí)的例子來展示它們的應(yīng)用，體現(xiàn)了它們的文化價(jià)值。限于學(xué)生已有的知識(shí)，有關(guān)應(yīng)用中涉及的數(shù)均為完全平方數(shù)，本章更多關(guān)注的是對勾股定理的理解和實(shí)際應(yīng)用，而不追求計(jì)算上的復(fù)雜。在學(xué)生學(xué)習(xí)了無理數(shù)之后，可以再利用勾股定理解決一些涉及無理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際問題。五、課時(shí)安排建議1探索勾股定理 2課時(shí)2能得到直角三角形嗎 1課時(shí)3螞蟻怎樣走最近 1課時(shí)六、具體內(nèi)容分析探索勾股定理（第一課時(shí)）本節(jié)核心內(nèi)容：勾股定理及它的探索過程在教學(xué)中，我們可以通過介紹我國數(shù)學(xué)家華羅庚的建議向宇宙發(fā)射勾股定理的

6、圖形與外星人聯(lián)系，并說明勾股定理是我國古代數(shù)學(xué)家于2000年前就發(fā)現(xiàn)了的，激發(fā)學(xué)生對勾股定理的興趣和自豪感，引入課題其中課本中的，做一做”采用的是數(shù)方格的方法； “議一議”對歸納基礎(chǔ)的加強(qiáng)；“想一想”是一個(gè)有趣的實(shí)際問題；教科書設(shè)計(jì)了在方格紙上通過計(jì)算面積的方法探索勾股定理的活動(dòng)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生充分經(jīng)歷這一觀察、歸納、猜想的過程！鼓勵(lì)學(xué)生嘗試求出方格中三個(gè)正方形的面積，比較這三個(gè)正方形的面積，由此得到直角三角形三邊的關(guān)系，通過對幾個(gè)特殊例子的考察歸納出直角三角形三邊之間的一般規(guī)律，運(yùn)用自己的語言表達(dá)探索過程和所得結(jié)論當(dāng)然教學(xué)時(shí)，教師也可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)其他的探索情景。勾股定理揭示了直

7、角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)如有條件，還可以利用計(jì)算機(jī)（幾何畫板軟件動(dòng)態(tài)顯示）的優(yōu)越條件，提供足夠充分的典型材料形狀大小、位置發(fā)生變化的各種直角三角形，讓學(xué)生觀察分析，歸納概括，探索出直角三角形三邊之間的關(guān)系式，并通過與銳角、鈍角三角形的對比，強(qiáng)調(diào)直角三角形的這個(gè)特有性質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立分析問題、發(fā)現(xiàn)問題、總結(jié)規(guī)律的教學(xué)方法教學(xué)中要注意：a，多采取小組合作討論的方式b, 給學(xué)生留下充分的探索實(shí)踐的時(shí)間和空間c,介紹相關(guān)的背景材料2，探索勾股定理（第二課時(shí)）本節(jié)核心內(nèi)容：用拼圖來驗(yàn)證勾股定理及其一個(gè)簡單運(yùn)用。在勾股定理的探索和驗(yàn)證過程中，數(shù)形結(jié)合的思想有較多的體現(xiàn)教師在教

8、學(xué)中應(yīng)注意滲透這種思想，鼓勵(lì)學(xué)生從代數(shù)表示聯(lián)想到有關(guān)的幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)的代數(shù)表示，這有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系。例如，在探索勾股定理的過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由正方形的面積想到a2,b2,c2，而在勾股定理的驗(yàn)證過程中，教師又應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)“a2+b2=c2想到正方形的面積?！?在教學(xué)中，“議一議”使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)直角三角形三邊的關(guān)系，要給學(xué)生充分的討論空間。勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證及應(yīng)用的過程蘊(yùn)涵了豐富的文化價(jià)值，古代很多國家和民族都對勾股定理有不同程度的認(rèn)識(shí)和了解，我國是最早了解勾股定理的國家之一當(dāng)考慮等腰直角三角形的斜邊時(shí)，這一定理又導(dǎo)致了無理數(shù)的產(chǎn)生一數(shù)學(xué)歷史上的第一次數(shù)學(xué)危

9、機(jī)。教師應(yīng)鼓勵(lì)每一個(gè)學(xué)生閱讀教科書提供的勾股定理的歷史，并可以向?qū)W生再展示一些歷史資料。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生自己從書籍、網(wǎng)絡(luò)上查閱資料，了解更多的有關(guān)勾股定理的內(nèi)容，體會(huì)它的文化價(jià)值3，能得到直角三角形嗎本節(jié)的核心內(nèi)容是：掌握直角三角形的判別條件。課本創(chuàng)設(shè)了古埃及人利用結(jié)繩的方法作出直角，教師還可以創(chuàng)設(shè)其他現(xiàn)實(shí)情境或鼓勵(lì)學(xué)生自己尋找有關(guān)問題，進(jìn)一步展現(xiàn)勾股定理和逆定理在解決問題中的作用，認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)信息。在教學(xué)中，“做一做”是用計(jì)算、畫圖再測量的方法歸納出勾股定理的逆定理。歸納的基礎(chǔ)應(yīng)盡可能的厚實(shí)一些，但此處有一定的作圖困難。教師可對其正確性予以說明。還要讓學(xué)生熟悉一些常用的勾

10、股數(shù)。螞蟻怎樣走最近本節(jié)的核心內(nèi)容是：勾股定理及其判別條件的簡單運(yùn)用。這一節(jié)內(nèi)容，可以讓學(xué)生先自主探索，再引導(dǎo)其考慮側(cè)面展開圖來解決問題，培養(yǎng)空間觀念。本節(jié)課要以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，以知識(shí)為載體，以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，動(dòng)手能力，探究能力為重點(diǎn)的教學(xué)思想。在課堂教學(xué)中，盡量為學(xué)生提供“做中學(xué)”的空間，小組合作，探究交流得到了真正體現(xiàn)。數(shù)學(xué)源于生活，并運(yùn)用于生活是整節(jié)課的一條暗線貫穿其中。這節(jié)課的目標(biāo)具體的可以分為：1、初步運(yùn)用勾股定理及直角三角形的判別條件（即勾股定理的逆定理）解決簡單的實(shí)際問題。2、能在實(shí)際問題中構(gòu)造直角三角形，提高建模能力，進(jìn)一步深化對構(gòu)造法和代數(shù)計(jì)算法和理解。3、在解

11、決實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)空間圖形展開成平面圖形時(shí)，對應(yīng)的點(diǎn)，線的位置關(guān)系，從中培養(yǎng)空間觀念。4、在解決實(shí)際問題的過程中，進(jìn)一步培養(yǎng)從“形”到“數(shù)”和從“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化、推理能力。5、通過研究勾股定理的歷史，了解中華民族文化的發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。總之，我們要培養(yǎng)學(xué)生從空間到平面的想象能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的創(chuàng)新能力及探究意識(shí)。課題學(xué)習(xí)拼圖與勾股定理一，教學(xué)建議l本課題具有一定的挑戰(zhàn)性，學(xué)生可以采用小組合作的方式進(jìn)行研究。在小組活動(dòng)中，教師應(yīng)提供給學(xué)生充分實(shí)踐、探索和交流的時(shí)間，鼓勵(lì)他們積極思考解決問題的方法，并與他人進(jìn)行合作與交流

12、。教師應(yīng)深入到各小組中傾聽學(xué)生們的討論，了解他們的思考過程并給予一定的指導(dǎo)在小組活動(dòng)的基礎(chǔ)上，教師要組織各小組在全班充分交流自己的成果。2教科書只是提供了該課題研究的基本線索，教師可以根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)自己設(shè)置若干小課題，以保證所有的人都能參與本課題的討論但由于課題學(xué)習(xí)的主要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決挑戰(zhàn)性問題的能力，不宜將課題分解成一個(gè)一個(gè)的小問題，限制學(xué)生的思維二，評(píng)價(jià)建議1由于課題學(xué)習(xí)更關(guān)注解決問題的過程，所以教師在評(píng)價(jià)時(shí)應(yīng)首先關(guān)注學(xué)生在小組活動(dòng)中的表現(xiàn)。對此的評(píng)價(jià)主要包括兩個(gè)方面一是學(xué)生參與活動(dòng)的積極程度，包括是否積極思考，探索解決問題的方法；是否樂于與小組其他成員進(jìn)行合作，

13、愿意與同伴交流各自的想法；是否有解決問題的自信心，能夠不回避遇到的困難等。二是學(xué)生在活動(dòng)中所表現(xiàn)出來的思考水平，包括是否能夠通過動(dòng)手操作和獨(dú)立思考獲得解決問題的思路；能否找到有效解決問題的方法，嘗試從不同的角度去思考問題；是否理解他人的思路，并在與同伴交流中獲益；是否有反思自己思考過程的意識(shí)等，即要對學(xué)生的動(dòng)手操作能力、推理能力、空間觀念、口頭表達(dá)能力等作出綜合的評(píng)價(jià)2教師要注意觀察學(xué)生的活動(dòng)過程，特別是及時(shí)記錄學(xué)生獨(dú)特的解決問題的想法。教師要注意了解學(xué)生的差異（思維特征與活動(dòng)水平），學(xué)生只要能積極投人到活動(dòng)中都要給予鼓勵(lì)，同時(shí)促進(jìn)每一個(gè)學(xué)生得到不同的發(fā)展。三，教學(xué)目標(biāo)：1，經(jīng)歷綜合運(yùn)用已有知

14、識(shí)解決問題的過程，在此過程中，加深對勾股定理、整式運(yùn)算、面積等的認(rèn)識(shí)。2經(jīng)歷用不同的拼圖方法驗(yàn)證勾股定理的過程！體驗(yàn)解決同一問題方法的多樣性，進(jìn)一步體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值。3，通過驗(yàn)證過程中數(shù)與形的結(jié)合，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想以及數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。4通過豐富有趣的拼圖活動(dòng)，經(jīng)歷觀察、比較、拼圖、計(jì)算，推理、交流等過程，發(fā)展空間觀念和有條理地思考與表達(dá)的能力，獲得一些研究問題與合作交流的方法與經(jīng)驗(yàn)。5通過獲得成功的體驗(yàn)和克服困難的經(jīng)歷，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。四，教材特點(diǎn)勾股定理是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的定理。長期以來，人們對它進(jìn)行了大量的研究，找到了許多不同的驗(yàn)證方法。這些方法不僅驗(yàn)證了勾股定理，而

15、且豐富了研究問題的手段，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。本課學(xué)習(xí)給出了中國古代歷史上利用拼圖的方法對勾股定理進(jìn)行驗(yàn)證的幾種思路，也介紹了國外一些驗(yàn)證勾股定理的方法。在本課題中，設(shè)計(jì)了豐富的拼圖活動(dòng)！學(xué)生經(jīng)過自己的操作與思考，一方面經(jīng)歷了驗(yàn)證勾股定理的過程，感受了解決同一問題的不同方法，激發(fā)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；另一方面通過對中外多種方法的了解，開闊了視野，感受到了古代人民的聰明才智。課題學(xué)習(xí)中給出的驗(yàn)證方法，雖然都與圖形的拼擺、分割有關(guān)，但又各有特點(diǎn)第一部分的拼圖方法與第一章第一節(jié)中驗(yàn)證方法有共同之處，都是將數(shù)與形聯(lián)系起來，由所拼圖形的面積表達(dá)式之間的關(guān)系，通過代數(shù)恒等變形驗(yàn)證勾股定理。第二

16、部分介紹的是“青朱出人圖”，它是我國古代數(shù)學(xué)家利用拼圖來驗(yàn)證勾股定理的一種著名方法，這種方法是利用拼圖來說明以勾、股為邊長的正方形（分別稱為朱和青），經(jīng)過割補(bǔ)可以拼成以弦為邊長的正方形在這部分的學(xué)習(xí)中，主要以學(xué)生的實(shí)踐活動(dòng)為主。第三部分介紹了意大利著名畫家達(dá)芬奇對勾股定理的一種研究結(jié)果，他的方法新穎，具有一定的操作性，可以開闊學(xué)生的視野、豐富學(xué)生的想像。五，課時(shí)安排建議2課時(shí)六，教學(xué)建議本節(jié)課的核心內(nèi)容是：用多種拼圖方法來驗(yàn)證勾股定理的過程。第一課時(shí)可以完成議一議。在教學(xué)中，教師可以首先回顧第一章中進(jìn)行過的驗(yàn)證勾股定理的過程，指明本課題學(xué)習(xí)的目的，激發(fā)學(xué)生的探索欲望。課題提出后，教師可以不馬上

17、進(jìn)入到下一環(huán)節(jié)，而是讓學(xué)生先獨(dú)立思考和討論一段時(shí)間在學(xué)生思維遇到困難而又迫切希望行到幫助的時(shí)候，自然引入下一環(huán)節(jié)。在做議一議的時(shí)候，教師應(yīng)該先讓學(xué)生觀察圖1，讓學(xué)生感知由數(shù)到形的過程。然后鼓勵(lì)學(xué)生用同樣的思路擺出不同的圖形，并讓學(xué)生得到充分的實(shí)踐。最后讓成功者上來演示，強(qiáng)化他的成功的感覺，激發(fā)其他同學(xué)渴求成功的欲望。完成做一做，在做一做中，必須要讓學(xué)生先回家準(zhǔn)備好兩副五巧板，在做五巧板的時(shí)候本節(jié)課的核心內(nèi)容：利用五巧板來驗(yàn)證勾股定理。第二課時(shí)，完成青朱出入圖的討論與想一想。經(jīng)過上一節(jié)課五巧板的拼圖，學(xué)生已有一點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)。教師現(xiàn)在展示“青朱出入圖”學(xué)生會(huì)感覺到親切。并讓學(xué)生根據(jù)拼圖幫助理解“青朱出

18、入圖”意思。學(xué)生理解后拼出展示過的“青朱出入圖”，學(xué)生通過拼圖，從而抓住拼圖的要點(diǎn)，即用已有的兩副“五巧板”拼成分別“長”在直角三角形三邊上的三個(gè)正方形。注意，教學(xué)中，要給學(xué)生留有充分的時(shí)間和空間來拼擺圖形，引導(dǎo)要適度，不要限制學(xué)生的思維。同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生在拼圖的過程中進(jìn)行交流合作。整個(gè)教學(xué)過程中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)反思自己的活動(dòng)過程以及在小組活動(dòng)中的表現(xiàn)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)與合作交流的經(jīng)驗(yàn)。素材精選：如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長寬和高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是_.2.印度數(shù)學(xué)家什迦邏（1141年-1225年）曾提出過“荷花問題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊，漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”請用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)回答這個(gè)問題。3如圖，A、B是筆直公路l同側(cè)的兩個(gè)村莊，且兩個(gè)村莊到直路的距離分別是300m和500m，兩村莊之間的距離為d(已知d2=400000m2)，現(xiàn)要在公路上建一汽車?？空荆箖纱宓酵？空镜木嚯x之和最小。問最小是多少？圖，OAB=OBC=OCD=90， AB=BC=CD=1，OA=2，則OD2=_.5寒冷的冬天，你需要一杯熱熱的