第12章自相關

1、第12章自相關檢驗結果表明：回歸系數(shù)的標準誤差非常小，t 統(tǒng)計量較大，說明居民收入 對居民儲蓄存款 的影響非常顯著。同時可決系數(shù)也非常高，F(xiàn)統(tǒng)計量為，也表明模型異常的顯著。但此估計結果可能是虛假的，t統(tǒng)計量和F統(tǒng)計量都被虛假地夸大，因此所得結果是不可信的。為什么?2 本章討論四個問題： 什么是自相關 自相關的后果 自相關的檢驗 自相關性的補救第12章 自相關3第一節(jié) 什么是自相關 本節(jié)基本內容: 什么是自相關 自相關產(chǎn)生的原因 自相關的表現(xiàn)形式 4第一節(jié) 什么是自相關一、自相關的概念自相關（auto correlation），又稱序列相關（serial correlation）是指總體回歸模型

2、的隨機誤差項之間存在相關關系。即不同觀測點上的誤差項彼此相關。5自相關的性質自相關的含義：按時間（時間序列數(shù)據(jù)）或空間（橫截面數(shù)據(jù)）排列的觀測值序列的成員之間的相關。經(jīng)典線性回歸模型假定在干擾項之間不存在自相關：本教材將自相關和序列相關看成同義語 6 上式中 是 滯后一期的隨機誤差項。因此，將上式計算的自相關系數(shù) 稱為一階自相關系數(shù)。一階自相關系數(shù)自相關系數(shù) 的定義與普通相關系的公式形式相同的取值范圍為7二、自相關產(chǎn)生的原因自相關產(chǎn)生的原因經(jīng)濟系統(tǒng)的慣性經(jīng)濟活動的滯后效應 數(shù)據(jù)處理造成的相關蛛網(wǎng)現(xiàn)象 模型設定偏誤 8自相關的來源詳解慣性：GNP、價格指數(shù)、生產(chǎn)、就業(yè)和失業(yè)等時間序列變量都呈現(xiàn)出

3、商業(yè)循環(huán)。設定偏誤：應含而未含變量（excluded variables）比如：在豬肉價格影響牛肉消費的情形下，殘差v將表現(xiàn)出某種系統(tǒng)的模式9設定偏誤：不正確的函數(shù)形式 假如在成本產(chǎn)出研究中，“真實”模型為：由于函數(shù)形式的錯誤使用，殘差將反映出自相關性質蛛網(wǎng)現(xiàn)象（Cobweb phenomenon） 供給對價格的反應要滯后一個時期10滯后效應 在消費支出對收入的時間序列回歸中，當期消費還會受到前期消費水平的影響： 這種帶有因變量的滯后值的回歸也叫自回歸（auto-regression）數(shù)據(jù)的“編造” 從月度數(shù)據(jù)計算得出季度數(shù)據(jù)，會減小波動，引進勻滑作用，使擾動項出現(xiàn)系統(tǒng)性模式數(shù)據(jù)的內插（int

4、erpolation）數(shù)據(jù)的外推（extrapolation） 11三、自相關的表現(xiàn)形式自相關的性質可以用自相關系數(shù)的符號判斷 即 為負相關， 為正相 關。 當 接近1時，表示相關的程度很高。自相關是 序列自身的相關，因隨機誤差項的關聯(lián)形式不同而具有不同的自相關形式。自相關多出現(xiàn)在時間序列數(shù)據(jù)中。12對于樣本觀測期為 的時間序列數(shù)據(jù)，可得到總體回歸模型(PRF)的隨機項為 ，如果自相關形式為其中 為自相關系數(shù)， 為經(jīng)典誤差項，即則此式稱為一階自回歸模式，記為 。因為模型中 是 滯后一期的值，因此稱為一階。此式中的 也稱為一階自相關系數(shù)。自相關的形式13如果式中的隨機誤差項 不是經(jīng)典誤差項，即其

5、中包含有 的成份，如包含有 則需將 顯含在回歸模型中，其為其中， 為一階自相關系數(shù)， 為二階自相關系數(shù)， 是經(jīng)典誤差項。此式稱為二階自回歸模式，記為 。14一般地，如果 之間的關系為其中， 為經(jīng)典誤差項。則稱此式為 階自回歸模式，記為 。在經(jīng)濟計量分析中，通常采用一階自回歸形式，即假定自回歸形式為一階自回歸 。 15第二節(jié) 自相關的后果 本節(jié)基本內容: 一階自回歸形式的性質 自相關對參數(shù)估計的影響 自相關對模型檢驗的影響 自相關對模型預測的影響16對于一元線性回歸模型:假定隨機誤差項 存在一階自相關:其中， 為現(xiàn)期隨機誤差， 為前期隨機誤差。 是經(jīng)典誤差項，滿足零均值 ，同方差 ，無自相關 的

6、假定。一、一階自回歸形式的性質17將隨機誤差項 的各期滯后值:逐次代入可得:這表明隨機誤差項 可表示為獨立同分布的隨機誤差序列 的加權和，權數(shù)分別為 。當 時，這些權數(shù)是隨時間推移而呈幾何衰減的；而當 時，這些權數(shù)是隨時間推移而交錯振蕩衰減的。18可以推得:表明，在 為一階自回歸的相關形式時，隨機誤差 依然是零均值、同方差的誤差項。19由于現(xiàn)期的隨機誤差項 并不影響回歸模型中隨機誤差項 的以前各期值 ，所以 與 不相關，即有 。因此，可得隨機誤差項 與其以前各期 的協(xié)方差分別為:20以此類推，可得 :這些協(xié)方差分別稱為隨機誤差項 的一階自協(xié)方差、二階自協(xié)方差和 階自協(xié)方差 21二、對參數(shù)估計的

7、影響在有自相關的條件下，仍然使用普通最小二乘法將低估估計量 的方差 并且 將低估真實的22對于一元線性回歸模型，當 為經(jīng)典誤差項時，普通最小二乘估計量 的方差為:隨機誤差項 有自相關時， 依然是無偏的，即 ，這一點在普通最小二乘法無偏性證明中可以看到。因為，無偏性證明并不需要 滿足無自相關的假定。那么，最小二乘估計量 是否是有效呢？下面我們將說明。23例如，一元回歸中24當存在自相關時，普通最小二乘估計量不再是最佳線性無估計量，即它在線性無偏估計量中不是方差最小的。在實際經(jīng)濟系統(tǒng)中，通常存在正的自相關，即 ，同時 序列自身也呈正相關，因此式(12.18)右邊括號內的值通常大于0。因此，在有自相

8、關的條件下，仍然使用普通最小二乘法將低估估計量 的方差 。 將低估真實的 。25三、對模型檢驗的影響對模型檢驗的影響考慮自相關時的檢驗 忽視自相關時的檢驗26由于 并不是所有線性無偏估計量中最小的，使用t檢驗判斷回歸系數(shù)的顯著性時就可能得到錯誤的結論。 t檢驗統(tǒng)計量為： 由于 的錯誤夸大，得到的 統(tǒng)計量就可能小于臨界值 ，從而得到參數(shù) 不顯著的結論。而這一結論可能是不正確的?？紤]自相關時的檢驗27 如果我們忽視自相關問題依然假設經(jīng)典假定成立，使用 ，將會導致錯誤結果。當 ，即有正相關時，對所有 的有 。另外回歸模型中的解釋變量在不同時期通常是正相關的，對于 和 來說 是大于0的。忽視自相關時的

9、檢驗28因此，普通最小二乘法的方差 通常會低估 的真實方差。當 較大和 有較強的正自相關時，普通最小二乘估計量的方差會有很大偏差，這會夸大估計量的估計精度，即得到較小的標準誤。因此在有自相關時，普通最小二乘估計 的標準誤就不可靠了。29一個被低估了的標準誤意味著一個較大的t統(tǒng)計量。因此，當 時，通常t統(tǒng)計量都很大。這種有偏的t統(tǒng)計量不能用來判斷回歸系數(shù)的顯著性。綜上所述，在自相關情形下，無論考慮自相關，還是忽視自相關，通常的回歸系統(tǒng)顯著性的t檢驗都將是無效的。類似地,由于自相關的存在,參數(shù)的最小二乘估計量是無效的，使得F檢驗和t檢驗不再可靠。30四、對模型預測的影響模型預測的精度決定于抽樣誤差

10、和總體誤差項的方差 。抽樣誤差來自于對 的估計，在自相關情形下， 的方差的最小二乘估計變得不可靠，由此必定加大抽樣誤差。同時，在自相關情形下，對 的估計 也會不可靠。由此可看出，影響預測精度的兩大因素都會因自相關的存在而加大不確定性，使預測的置信區(qū)間不可靠，從而降低預測的精度。31第三節(jié) 自相關的檢驗本節(jié)基本內容: 圖示檢驗法 DW檢驗法32一、圖示檢驗法圖示法是一種直觀的診斷方法，它是把給定的回歸模直接用普通最小二乘法估計參數(shù)，求出殘差項 ， 作為 隨機項的真實估計值，再描繪 的散點圖，根據(jù)散點圖來判斷 的相關性。殘差 的散點圖通常有兩種繪制方式 。33圖 12.1 與 的關系繪制 的散點圖

11、。用 作為散布點繪圖，如果大部分點落在第、象限，表明隨機誤差項 存在著正自相關。 34如果大部分點落在第、象限，那么隨機誤差項 存在著負自相關。 et-1et圖 12.2 et與et-1的關系35二、對模型檢驗的影響按照時間順序繪制回歸殘差項 的圖形。如果 隨著 的變化逐次有規(guī)律地變化， 呈現(xiàn)鋸齒形或循環(huán)形狀的變化，就可斷言 存在相關，表明存在著自相關；如果 隨著 的變化逐次變化并不斷地改變符號，那么隨機誤差項 存在負自相關 36圖 12.4 的分布如果 隨著 的變化逐次變化并不頻繁地改變符號，而是幾個正的 后面跟著幾個負的，則表明隨機誤差項 存 在正自相關。 37二、DW檢驗法DW 檢驗是(

12、杜賓)和(沃特森)于1951年提出的一種適用于小樣本的檢驗方法。DW檢驗只能用于檢驗隨機誤差項具有一階自回歸形式的自相關問題。這種檢驗方法是建立經(jīng)濟計量模型中最常用的方法，一般的計算機軟件都可以計算出DW 值。38隨機誤差項的一階自回歸形式為：為了檢驗序列的相關性，構造的原假設是：為了檢驗上述假設，構造DW統(tǒng)計量首先要求出回歸估計式的殘差 定義DW統(tǒng)計量為 ：3940由 可得DW 值與 的對應關系如表所示。 4(2,4)2(0,2)0-1(-1,0)0(0,1)1DW41由上述討論可知DW的取值范圍為： 0DW根據(jù)樣本容量 和解釋變量的數(shù)目 (不包括常數(shù)項)查DW分布表，得臨界值 和 ，然后依

13、下列準則考察計算得到的DW值，以決定模型的自相關狀態(tài)。42DW檢驗決策規(guī)則誤差項 間存在負相關不能判定是否有自相關誤差項 間無自相關不能判定是否有自相關誤差項 間存在正相關 43用坐標圖更直觀表示DW檢驗規(guī)則：不能確定正自相關無自相關不能確定負自相關4244 DW檢驗有兩個不能確定的區(qū)域，一旦DW值落在這兩個區(qū)域，就無法判斷。這時，只有增大樣本容量或選取其他方法 DW統(tǒng)計量的上、下界表要求 ，這是因為樣本如果再小，利用殘差就很難對自相關的存在性做出比較正確的診斷 DW檢驗不適應隨機誤差項具有高階序列相關的檢驗只適用于有常數(shù)項的回歸模型并且解釋變量中不能含滯后的被解釋變量 DW檢驗的缺點和局限性

14、45第四節(jié) 自相關的補救 本節(jié)基本內容: 廣義差分法 科克倫奧克特迭代法 其他方法簡介46一、廣義差分法對于自相關的結構已知的情形可采用廣義差分法解決。由于隨機誤差項 是不可觀測的，通常我們假定 為一階自回歸形式，即 （12.25） 其中， ， 為經(jīng)典誤差項。當自相關系數(shù)為已知時，使用廣義差分法，自相關問題就可徹底解決。我們以一元線性回歸模型為例說明廣義差分法的應用。 47對于一元線性回歸模型將模型（12.26）滯后一期可得 用 乘式（12.27）兩邊，得48兩式相減,可得式中， 是經(jīng)典誤差項。因此，模型已經(jīng)是經(jīng)典線性回歸。令：則上式可以表示為：49對模型（）使用普通最小二乘估計就會得到參數(shù)估

15、計的最佳線性無偏估計量。這稱為廣義差分方程，因為被解釋變量與解釋變量均為現(xiàn)期值減去前期值的一部分，由此而得名。50二、Cochrane Orcutt迭代法在實際應用中,自相關系數(shù) 往往是未知的， 必須通過一定的方法估計。最簡單的方法是據(jù)DW統(tǒng)計量估計 。由DW 與 的關系可知 :但是,式(12.31)得到的是一個粗略的結果， 是對 精度不高的估計。其根本原因在于我們對有自相關的回歸模型使用了普通最小二乘法。為了得到 的精確的估計值 ，人們通常采用科克倫奧克特（CochraneOrcutt）迭代法。51該方法利用殘差 去估計未知的 。對于一元線性回歸模型假定 為一階自回歸形式，即 :52科克倫奧

16、克特迭代法估計 的步驟如下：1.使用普遍最小二乘法估計模型并獲得殘差：2.利用殘差 做如下的回歸533. 利用 ，對模型進行廣義差分，即 令使用普通最小二乘法，可得樣本回歸函數(shù)為：544. 因為 并不是對 的最佳估計，進一步迭代，尋求最佳估計。由前一步估計的結果有：將 代入原回歸方程,求得新的殘差如下：和55我們并不能確認 是否是 的最佳估計值，還要繼續(xù)估計 的第三輪估計值 。當估計的 與 相差很小時，就找到了 的最佳估計值。5. 利用殘差 做如下的回歸這里得到的 就是 的第二輪估計值56三、其它方法簡介（一）一階差分法式中， 為一階自回歸AR(1)。將模型變換為 ：如果原模型存在完全一階正自

17、相關，即 則 其中， 為經(jīng)典誤差項。則隨機誤差項為經(jīng)典誤差項，無自相關問題。使用普通最小二乘法估計參數(shù)，可得到最佳線性無偏估計量。57（二）德賓兩步法當自相關系數(shù)未知時，也可采用德賓提出的兩步法，消除自相關。將廣義差分方程表示為：58第一步，把上式作為一個多元回歸模型，使用普通最小二乘法估計參數(shù)。把 的回歸系數(shù) 看作 的一個估計值 。第二步，求得 后，使用 進行廣義差分，求得序列： 和然后使用普通最小二乘法對廣義差分方程估計參數(shù)，求得最佳線性無偏估計量。59 研究范圍：中國農村居民收入消費模型 （19852003）研究目的：消費模型是研究居民消費行為的工具和手段。通過消費模型的分析可判斷居民消

18、費邊際消費傾向，而邊際消費傾向是宏觀經(jīng)濟系統(tǒng)中的重要參數(shù)。建立模型 居民消費， 居民收入，隨機誤差項。數(shù)據(jù)收集：19852003年農村居民人均收入和消費 (見表12.3)第五節(jié) 案例分析60表12.3 1985-2003年農村居民人均收入和消費 （單位：元）年份全年人均純收入 (現(xiàn)價) 全年人均消費性支出 (現(xiàn)價) 消費價格指數(shù)(1985=100)人均實際純收入(1985可比價) 人均實際消費性支出(1985可比價) 1985397.60317.42100.0397.60317.401986423.80357.00106.1399.43336.481987462.60398.30112.741

19、0.47353.421988544.90476.70132.4411.56360.051989601.50535.40157.9380.94339.081990686.30584.63165.1415.69354.111991708.60619.80168.9419.54366.961992784.00659.80176.8443.44373.191993921.60769.70201.0458.51382.9461 年份全年人均純收入(現(xiàn)價) 全年人均消費性支出(現(xiàn)價) 消費價格指數(shù)(1985=100) 人均實際純收入(1985可比價) 人均實際消費性支出(1985可比價) 19941221

20、.001016.81248.0492.34410.0019951577.701310.36291.4541.42449.6919961923.101572.10314.4611.67500.0319972090.101617.15322.3648.50501.7719982162.001590.33319.1677.53498.2819992214.301577.42314.3704.52501.7520002253.401670.00314.0717.64531.8520012366.401741.00316.5747.68550.0820022475.601834.00315.2785.4

21、1581.8520032622.24 1943.30 320.2 818.86 606.81 續(xù) 表62據(jù)表12.3的數(shù)據(jù)使用普通最小二乘法估計消費模型得：該回歸方程可決系數(shù)較高，回歸系數(shù)均顯著。對樣本量為19、一個解釋變量的模型、5%顯著水平，查DW統(tǒng)計表可知， ，模型中 ，顯然消費模型中有自相關。這也可從殘差圖中看出，點擊EViews方程輸出窗口的按鈕Resids可得到殘差圖，如圖12.6所示。模型的建立、估計與檢驗63圖12.6殘差圖64自相關問題的處理使用科克倫奧克特的兩步法解決自相關問題:由模型可得殘差序列 ，在EViews中，每次回歸的殘差存放在resid序列中，為了對殘差進行回歸

22、分析，需生成命名為 的殘差序列。在主菜單選擇Quick/Generate Series 或點擊工作文件窗口工具欄中的Procs/Generate Series，在彈出的對話框中輸入 ，點擊OK得到殘差序列 。使用 進行滯后一期的自回歸，在EViews 命今欄中輸入ls e e(-1)可得回歸方程：65可知 ，對原模型進行廣義差分，得到廣義差分方程：對廣義差分方程進行回歸，在EViews命令欄中輸入 回車后可得方程輸出結果如表12.4。 66 表12.4 廣義差分方程輸出結果Dependent Variable: Y-0.496014*Y(-1)Method: Least SquaresDate

23、: 03/26/05 Time: 12:32Sample(adjusted): 1986 2003Included observations: 18 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C60.444318.9649576.7422870.0000X-0.496014*X(-1)0.5832870.02941019.833250.0000R-squared0.960914 Mean dependent var231.9218Adjusted R-squared0.958472 S.D. dependent var49.34525S.E. of regression10.05584 Akaike info criterion7.558623Sum squared resid1617.919 Schwarz criterion7.657554Log likelihood-66.02761 F-statistic393.3577Durbin-Watson stat1.397928 Prob(F-statistic)0.00000067由表12.4可得回歸方程為：由于使用了廣義差分數(shù)據(jù)，樣本容量減少了