2022年任意角的三角函數(shù)教案

1、1.2.1 任意角的三角函數(shù)一、教學(xué)目標(biāo)：1. 知識與技能（ 1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號） ；（2）理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；（3）了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角 的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來； （4）掌握并能初步運用公式一；是以實數(shù)為自變量的函數(shù) . 2. 過程與方法（5）樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)初中學(xué)過 : 銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量 , 以比值為函數(shù)值的函數(shù) . 引導(dǎo)學(xué)生把這個定義推廣到任意角 , 通過單位圓和角的終邊 , 探討任意角的三角函數(shù)值的求法 , 最終

2、得到任意角三角函數(shù)的定義 . 根據(jù)角終邊所在位置不同 , 分別探討各三角函數(shù)的定義域以及這三種函數(shù)的值在各象限的符號 . 最后主要是借助有向線段進(jìn)一步認(rèn)識三角函數(shù) . 講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí) . 3. 情感態(tài)度與價值觀任意角的三角函數(shù)可以有不同的定義方法，而且各種定義都有自己的特點 . 過去習(xí)慣于用角的終邊上點的坐標(biāo)的“ 比值”來定義， 這種定義方法能夠表現(xiàn)出從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)的推廣，有利于引導(dǎo)學(xué)生從自己已有認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，但它對準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的本質(zhì)有一定的不利影響，“ 從角的集合到比值的集合” 的對應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的“ 數(shù)集到數(shù)集” 的對應(yīng)關(guān)系

3、有沖突，而且“ 比值”需要通過運算才能得到，這與函數(shù)值是一個確定的實數(shù)也有不同，這些都會影響學(xué)生對三角函數(shù)概念的理解. 二、教學(xué)重、難點：重點 : 任意角的正弦、 余弦、 正切的定義 （包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號） ；終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）. 難點 : 任意角的正弦、 余弦、 正切的定義 （包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號） ；三角函數(shù)線的正確理解. y r P（a，b）x 第一課時任意角的三角函數(shù)（一）一、創(chuàng)設(shè)情境提問：銳角O的正弦、余弦、正切怎樣表示？借助右圖直角三角形，復(fù)習(xí)回顧. 引入：銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)

4、值的函數(shù)。數(shù), 你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎? , O y M 如圖 , 設(shè)銳角的頂點與原點 O 重合 , 始邊與 x 軸的正半軸重合那么它的終邊在第一象限. 在的終邊上任取一點P a b , 它與原點的距離ra2b20. 過 P 作a的終邊P(x,yx 軸的垂線 , 垂足為 M , 則線段 OM 的長度為a , 線段 MP 的長度為 b . 則 sinMPb; OPrO cosOMa; tanMPb. OPrOMa思考：對于確定的角，這三個比值是否會隨點P 在的終邊上的位置的改變而改變呢？顯然，我們可以將點取在使線段OP 的長r1的特殊位置上，這樣就可以得到用直角

5、坐標(biāo)系內(nèi)的點的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)：sinMP OPb; cosOMa; tanMPb. . 那么 , 角的概念推廣以O(shè)POMa思考：上述銳角的三角函數(shù)值可以用終邊上一點的坐標(biāo)表示后，我們應(yīng)該如何對初中的三角函數(shù)的定義進(jìn)行修改，這個問題任意角的三角函數(shù) . 二、探究新知以利推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究1. 探究 : 結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求法, 我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢? 顯然 , 我們只需在角的終邊上找到一個點 , 使這個點到原點的距離為 1, 然后就可以類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了 . 所以 , 我們在此引入單位圓的定義 : 在直角坐標(biāo)系中 , 我們稱以原點 O 為圓心 ,

6、 以單位長度為半徑的圓 . 2. 思考 : 如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義 ? 如圖 , 設(shè) 是一個任意角 , 它的終邊與單位圓交于點 P x y , 那么 : (1) y 叫做 的正弦 , 記做 sin , 即 sin y ；（2） x 叫做 的余弦 , 記做 cos , 即 cos x ；（3）y 叫做 的正切 , 記做 tan , 即 tan y x 0) . x x注意 : 當(dāng) 是銳角時，此定義與初中定義相同（指出對邊，鄰邊，斜邊所在）；當(dāng) 不是銳角時，也能夠找出三角函數(shù)，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點P x y ，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值.

7、, 該如何求它的三角3. 思考 : 如果知道角終邊上一點, 而這個點不是終邊與單位圓的交點函數(shù)值呢 ? 前面我們已經(jīng)知道, 三角函數(shù)的值與點P在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān). 我們只需計算點到原點的距離rx22 y, 那么sinx2yy2,cosx2xy2, tany. 所以，三角函數(shù)是以為自變量, 以單位圓上點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函x數(shù)，又因為角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，故三角函數(shù)也可以看成實數(shù)為自變量的函數(shù) . 4. 例題講評例 1 求5 3的正弦、余弦和正切值. : 例 2 已知角的終邊過點P 0( 3, 4)，求角的正弦、余弦和正切值. 教材給出這兩個例題，

8、 主要是幫助理解任意角的三角函數(shù)定義. 我也可以嘗試其他方法如例 2: 設(shè)x3,y4,則r2 ( 3)( 4)25. 于是siny4,cosx3,tany4. 再r5r5x35. 鞏固練習(xí), 將正弦、 余弦和正切函數(shù)的定義域填入下表；P15 第 1,2,3題6. 探究 : 請根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義將這三種函數(shù)的值在各個象限的符號填入表格中：定義域三角函數(shù)角度制弧度制第一象限第二象限第三象限第四象限sincostan7例題講評例 3 求證：當(dāng)且僅當(dāng)不等式組sin0成立時，角為第三象限角 . ? tan08. 思考 : 根據(jù)三角函數(shù)的定義, 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有和關(guān)系顯然 : 終邊相同

9、的角的同一三角函數(shù)值相等. 即有公式一 : sin(2 k)sin；cos(2k)cos( 其中 kZ ) ；tan(2k)tan。9. 例題講評例 4 確定下列三角函數(shù)值的符號 , 然后用計算器驗證 : (1) cos250 ;(2) sin( ) ;(3) tan( 672 ) ;(4) tan3。4例 5 求下列三角函數(shù)值 : (1) sin1480 10;(2) cos 9 ;(3) tan( 11)。4 6利用公式一 , 可以把求任意角的三角函數(shù)值 , 轉(zhuǎn)化為求 0 到 2 ( 或 0 到 360 ) 角的三角函數(shù)值 . 另外可以直接利用計算器求三角函數(shù)值 , 但要注意角度制的問題

10、. 10. 鞏固練習(xí)P15 4-7 11. 學(xué)習(xí)小結(jié)(1) 本章的三角函數(shù)定義與初中時的定義有何異同 ? (2) 你能準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號嗎 ? (3) 請寫出各三角函數(shù)的定義域；(4) 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有什么關(guān)系?你在解題時會準(zhǔn)確熟練應(yīng)用公式一嗎? 12作業(yè)P20 1-5 第二課時 任意角的三角函數(shù)（二）一、復(fù)習(xí)回顧1. 三角函數(shù)的定義；2. 三角函數(shù)在各象限角的符號；3. 三角函數(shù)在軸上角的值；4. 誘導(dǎo)公式（一） ：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等；5. 三角函數(shù)的定義域 . 要求：記憶 . 并指出三角函數(shù)沒有定義的地方一定是在軸上角，所以，凡是碰到軸上角 .

11、 時，要結(jié)合定義進(jìn)行分析；并要求在理解的基礎(chǔ)上記憶二、探究新知1引入：角是一個圖形概念，也是一個數(shù)量概念（弧度數(shù)）. 作為角的函數(shù)三角函數(shù)是一個數(shù)量概念（比值），但它是否也是一個圖形概念呢？換句話說，能否用幾何方式來表示三角函數(shù)呢？2 邊描述邊畫 以坐標(biāo)原點為圓心，以單位長度1 為半徑畫一個圓，這個圓就叫做單位圓（注意：這個單位長度不一定就是1 厘米或 1 米）.y a 角 的 終當(dāng)角為第一象限角時，則其終邊與單位圓必有一個交點P x y ，過點 P 作 PMx 軸交 x 軸于點 M ，P T 則請你觀察 : |根 據(jù) 三 角 函 數(shù) 的 定 義 ： |MP| |y| |sin|；O M A

12、x MP 、OM 是否也跟OM| |x| | cos|隨著在第一象限內(nèi)轉(zhuǎn)動，著變化？3思考：（1）為了去掉上述等式中的絕對值符號，能否給線段 MP、OM規(guī)定一個適當(dāng)?shù)姆较颍顾鼈兊娜≈蹬c點 P 的坐標(biāo)一致？（2）你能借助單位圓，找到一條如 MP 、 OM 一樣的線段來表示角 的正切值嗎？我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān) . 當(dāng)角 的終邊不在坐標(biāo)軸時 ,以 O為始點、 M 為終點，規(guī)定：當(dāng)線段 OM 與 x 軸同向時， OM 的方向為正向，且有正值 x ；當(dāng)線段 OM 與 x 軸反向時， OM 的方向為負(fù)向，且有正值 x ；其中 x 為 P 點的橫坐標(biāo) . 這樣 , 無論那種情況

13、都有OM x cos同理 , 當(dāng)角 的終邊不在 x 軸上時 , 以 M 為始點、 P 為終點，規(guī)定：當(dāng)線段 MP 與 y 軸同向時， MP 的方向為正向，且有正值y ；當(dāng)線段 MP 與 y 軸反向時， MP 的方向為負(fù)向，且有正值 y ；其中 y 為 P 點的橫坐標(biāo) . 這樣 , 無論那種情況都有MP y sin4. 像 MP、OM這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段. , 設(shè)它與的終邊交于點5. 如何用有向線段來表示角的正切呢 ? 如上圖 , 過點A (1,0)作單位圓的切線, 這條切線必然平行于軸T , 請根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識 y tan AT x 我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線 . , 借助有向線段 OA、AT , 我們有MP、OM、AT , 分別叫做角 的正弦線、余6. 探究：（1）當(dāng)角 的終邊在第二、第三、第四象限時，你能分別作出它們的正弦線、余弦線和正切線嗎？（2）當(dāng) 的終邊與 x 軸或 y 軸重合時