函數(shù)微分概念

1、關(guān)于函數(shù)微分的概念第一張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月若給定函數(shù)在點處可導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義有.由定理1.2知，其中是當(dāng) 時的無窮小量，上式可寫作. (2.4.1)2.4.1 函數(shù)微分的概念返回1/16上一頁上一頁下一頁下一頁第二張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月(2.4.1)式表明函數(shù)的增量可以表示為兩項之和第一項 是的線性函數(shù)，第二項， 當(dāng) 時是比 高階的無窮小量因此，當(dāng) 很小時，我們稱第一項 為 的線性主部， 并叫做函數(shù)的微分2.4.1 函數(shù)微分的概念返回2/16上一頁上一頁下一頁下一頁第三張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定義2.3設(shè)函數(shù)在點 處有導(dǎo)數(shù)，則稱為在點處的微

2、分，記作，即，(2.4.2)此時，稱 在點 處是可微的.例如，函數(shù) 在點處的微分為2.4.1 函數(shù)微分的概念返回3/16上一頁上一頁下一頁下一頁第四張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月函數(shù)在任意點的微分，叫做函數(shù)的微分，記作(2.4.3)如果將自變量當(dāng)作自己的函數(shù)，則有，說明自變量的微分就等于它的改變量，于是函數(shù)的微分可以寫成2.4.1 函數(shù)微分的概念返回4/16上一頁上一頁下一頁下一頁第五張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月，(2.4.4)即， (2.4.5)也就是說，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，導(dǎo)數(shù)又叫微商2.4.1 函數(shù)微分的概念返回5/16上一頁上一頁下

3、一頁下一頁第六張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解；.可見.2.4.1 函數(shù)微分的概念返回6/16上一頁上一頁下一頁下一頁例1求函數(shù)在，時的改變總量及微分第七張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2.4.1 函數(shù)微分的概念返回7/16上一頁上一頁下一頁下一頁曲線坐標(biāo)的改變量微分的幾何意義示意圖動畫演示第八張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月函數(shù)微分的幾何意義就是：在曲線上某一點處當(dāng)自變量取得改變量時，曲線在該點處切線縱坐標(biāo)的改變量2.4.1 函數(shù)微分的概念返回8/16上一頁上一頁下一頁下一頁第九張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 求下列函數(shù)的微分：(1) ；(2)解(1)

4、所以 (2)，2.4.2 微分的計算返回9/16上一頁上一頁下一頁下一頁第十張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月，無論是自變量還是中間變量，的微分總可以用與的乘積來表示函數(shù)微分的這個性質(zhì)叫做微分形式的不變性2.4.3 微分的形式的不變性返回10/16上一頁上一頁下一頁下一頁以為中間變量的復(fù)合函數(shù) 的微分第十一張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月利用微分可以進行近似計算.這個公式可以直接用來計算函數(shù)增量的近似值由微分的定義知，當(dāng)很小時，有近似公式，2.4.4 微分的應(yīng)用返回11/16上一頁上一頁下一頁下一頁第十二張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月即這個公式則可以用來計算函數(shù)在某一點

5、附近的函數(shù)值的近似值2.4.4 微分的應(yīng)用返回12/16上一頁上一頁下一頁下一頁第十三張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解令，因為相對于較小，可用上面的近似公式來求值2.4.4 微分的應(yīng)用返回13/16上一頁上一頁下一頁下一頁例3設(shè)某國的國民經(jīng)濟消費模型為其中：為總消費(單位：十億元)；為可支配收入單位：十億元).當(dāng)時，問總消費是多少？第十四張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月(十億元)2.4.4 微分的應(yīng)用返回14/16上一頁上一頁下一頁下一頁第十五張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2.4.4 微分的應(yīng)用 例41830年代后期，法國生理學(xué)家普瓦澤伊（Jean Poiseuille）發(fā)現(xiàn)了今天我們?nèi)栽谟脕眍A(yù)測必須擴張部分受阻塞的動脈半徑多少才能恢復(fù)正常的血液流動他的公式為 即流體以固定的壓力在單位時間內(nèi)流過的細管的體積V等于一個常數(shù)乘以管半徑的四次冪問：半徑r增加10%對V的影響有多大？返回15/16上一頁上一頁下一頁下一頁第十六張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解 因為 所以，r 的微分和V的微分之間的關(guān)系為V 的相對變化為即V的相對變化為4倍的r 的相對變化，故10%的r 增加將產(chǎn)生40%的流量增長返