函數(shù)連續(xù)性定義與間斷點

1、關(guān)于函數(shù)連續(xù)性定義和間斷點第一張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第二張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第三張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月一、 函數(shù)在一點的連續(xù)性可見 , 函數(shù)在點(1) 在點即(2) 極限(3)連續(xù)必須具備下列條件:存在 ;有定義 ,存在 ;1.定義:在的某鄰域內(nèi)有定義 , 則稱函數(shù)設(shè)函數(shù)且第四張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月注意:在點連續(xù), 則極限運算和函數(shù)運算 可以交換順序。即：(1)若(2)函數(shù)存在例1:討論函數(shù) 在點處的連續(xù)性 第五張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2.函數(shù) 在 點連續(xù)的等價定義定義：設(shè)函數(shù) 自變量由 變到

2、,則叫做自變量的增量；相應(yīng)的函數(shù)值由 變到 ,則 叫做函數(shù)值 的增量（改變量）第六張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月當時, 有函數(shù)在點連續(xù)有下列等價命題:右連續(xù)左連續(xù)第七張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例2. 證明函數(shù)在點連續(xù) .定義1：若在某區(qū)間上每一點都連續(xù) , 則稱它在該區(qū)間上連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).同理可證：函數(shù)在點連續(xù) .3. 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) .第八張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.由例2知函數(shù)及 在其定義域區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的第九張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月二、 函數(shù)的間斷點若函數(shù)在點不連續(xù)，

3、則稱 在點 間斷，稱為間斷點 . 在在(1) 函數(shù)(2) 函數(shù)不存在;(3) 函數(shù)存在 ,但 不連續(xù) :則下列情形之一函數(shù) 在點雖有定義 , 但雖有定義 , 且在無定義 ;第十張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月1.可去間斷點，則稱 為 的可去間斷點但如果 ，而 在 點無定義，或者有定義例2：設(shè),討論在x=1的連續(xù)性第十一張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月注意：可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的 定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.例3：設(shè),討論在x=0處的連續(xù)性解:第十二張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2.跳躍間斷點例4：解則稱 為函數(shù) 的跳躍間斷點如果 在 點存在左、右

4、極限，但第十三張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點：3.第二類間斷點則稱 為 的第二類間斷點函數(shù) 在 點的左、右極限至少有一個不存在，例5：處的連續(xù)性在討論函數(shù)第十四張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例6解第十五張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例7解第十六張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月三、小結(jié)1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點第二類間斷點間斷點(見下圖)可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在 無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在第十七張，PPT共四

5、十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyx可去型oyx第十八張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月四、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與運算性性質(zhì)1:（局部有界性）若函數(shù) 在 點連續(xù)則存在 的一個鄰域 及定值 ，當時，有 。當 時，性質(zhì)2:（局部保號性）若函數(shù) 在 點連續(xù)，則存在 的一個鄰域 ，有 第十九張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)3：（連續(xù)函數(shù)的四則運算法則）例如：例1：證明函數(shù) 在 內(nèi)是連續(xù)的。第二十張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)4：（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）例2：討論函數(shù) 的連續(xù)性。在 上連續(xù)，在 上各自連續(xù)連續(xù)，解：函數(shù) 可以

6、看做是由 ，復(fù)合而成的，在 上各自連續(xù)。所以第二十一張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)5：（反函數(shù)的連續(xù)性） 連續(xù)且嚴格單調(diào)遞增（遞減）的反函數(shù)必是連續(xù)且嚴格單調(diào)遞增（遞減）的函數(shù).五、初等函數(shù)的連續(xù)性定理2：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.例如,定理1：基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.第二十二張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月備用題 確定函數(shù)間斷點的類型.解: 間斷點為無窮間斷點;故為跳躍間斷點. 第二十三張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月1、解右連續(xù)但不左連續(xù) ,第二十四張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2、解第二十五張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2

7、022年6月四、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法.兩個定理; 兩點意義.反函數(shù)的連續(xù)性.第二十六張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題第二十七張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題解答是它的可去間斷點第二十八張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月練 習(xí) 題第二十九張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十一張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)題答案第三十二張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月間斷的演示第一類間斷點第二類間斷點

8、可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點震蕩間斷點第三十三張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月間斷的演示第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點無定義、值太高、值太低跳躍間斷點無窮間斷點震蕩間斷點第三十四張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月間斷的演示哎呀,不好!有個洞, 還沒有支撐， 我掉下去了!注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.第三十五張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月間斷的演示哎呀,不好!有個洞, 還沒有支撐， 我掉下去了!注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.正好，連上了，我和其他的點連上了！第三十六張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月間斷的演示哎呀,太高了!夠不著，又有個洞, 我

9、還是掉下去了!注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.正好，連上了，我和其他的點連上了！第三十七張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月間斷的演示哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆著了!注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.正好，連上了，我和其他的點連上了！第三十八張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月間斷的演示哎呀,前不著村，后不著店的，就是能單邊撐著，也靠不住啊， 我還是掉下去了!注意到：這種間斷點稱為跳躍間斷點. 這點放哪兒能接上呢？第三十九張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月間斷的演示哎，小紅點，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！這種間斷點稱為無窮間斷點第四十張，PP

10、T共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月間斷的演示：Hi, 小紅點，你能不能停?。课以趺匆餐２蛔?，那可怎么連上??？：Hi, 小藍點，你停不住，我也停不住啊。還想連上，你可真逗！這種間斷點稱為震蕩間斷點。第四十一張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月有界定理 ;最值定理 ;零點定理 ;介值定理 .3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例3. 設(shè)函數(shù)在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .提示:第四十二張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月1當時，較等價無窮小量 (B) 同階無窮小量 (C) 低階無窮小量 (D) 高階無窮小量是 （ ）課堂測驗第四十三張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2下列各式中正確的是 （ ） B C D A第四十四張，PPT共四十八頁，創(chuàng)作于2022年6月3無窮小量是（ ）A 比零稍