福建南安僑光中學(xué)2012屆高三數(shù)學(xué)利用定積分證明數(shù)列和型不等式

1、利用定積分證明數(shù)列和型不等式n我們把形如 z f (k) MC ( r為常數(shù))或 f (k)g(n)的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不k 4k 1等式常見于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考?jí)狠S題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意義證明，則可達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁、以形助數(shù)的解題效果,下面舉例說明供參考n一、Z f (k) vC ( C為常數(shù))型k 1例1 (2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)已知正整數(shù)求證十 +| + 絲.n 1 n 2 2n 36分析 這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè).右不等式更強(qiáng)的不等式1 +HI +

2、:1-,:-電*狀:#由總*-歲不年年冷冷3收改#尉 中次求求就書看守先分辦寵步木.笠王北 沿片土整片求益M-K-二工 中土王峨總：杳文小的幾何意義求解.1證明 構(gòu)造函數(shù)y =一并作圖象如圖1所示，一一一 1，一 一一 ，一，.因函數(shù)y=一在(0,十無)上是凹函數(shù)，由函數(shù)圖象可知，在區(qū)間n,2n上的火個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，n2 n TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 12ndx = ln x |n = In 2n Tn n = In 2 x2525因?yàn)?ln 2 % 0.6931,為 0,6944 ,所以

3、ln 2 25.3636 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 11 l,J 125所以+川+ n 1 n 2 2n 36.1115*例 21 + + +| + (n = N ).23 3 n34證明構(gòu)造函數(shù)y =4 = x,，又(x/) = x學(xué)x2而函數(shù)y = x 3在 色通上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間2,對(duì)上的再一2個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，n 2x dx =-21 ,n 112212 =二 一 丁2x 8 2n-11所以.1 方三山2333191151二：二一一(2 一)二 一 一 2n3 82n2 84 2n211.1*例 3

4、證明。1 十一十一十(|+一3(n w N )2,2 3、3 n、n1-3證明 構(gòu)造函數(shù)f (x)=尸=x 2 ,又其函數(shù)是凹函數(shù),x. x由圖3可知,在區(qū)間上升-1個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,產(chǎn) + . + M I dx - 2工 即 2V2 3J3月，a h xjr暖.:$:潴袋X:工X-M千笈冷.V.- -P-云品工芳等益品久等等益” 般哀酬工惠等；。竽.5.?. 激：;:,v:-:-:A-$*:n、Z f(k)x/g(n)型k 1例 4 若冷 EM 用之 2,求證：1+1+|+1inn1+1+1+|H+.2 3 n2 3 n -1證明 不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為1的數(shù)列的前科-1項(xiàng)

5、之和，右邊通項(xiàng)為 的數(shù)列的前 TOC o 1-5 h z nn -1用一 1項(xiàng)之和，中間的ln也可當(dāng)作是某數(shù)列的前 胃一1項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)/之2時(shí)這三個(gè)數(shù)列的通 HYPERLINK l bookmark73 o Current Document 11項(xiàng)不等式 一 in n -ln( n -1) 成乂即可.y = - (In =-構(gòu)造函數(shù)x ,因?yàn)閤,作 HYPERLINK l bookmark64 o Current Document nn 1y x的圖象，由圖4知，在區(qū)間售-11心之2）上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長(zhǎng)度1為一邊長(zhǎng),以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長(zhǎng)的兩個(gè)矩形面積之間，即Inx

6、*T TX-N=-1)7i = n-1口用-ln（國(guó)-1） lnT在1,也）內(nèi)恒成立，求G的取值范圍；1 + + -+- + 1口（存+ 1） +之 1）（出）證明：一； ,：1.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強(qiáng)、難度大、思維含金量 高、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.1 + + + - - - 1 口+1） +（科.1）總的數(shù)列的證明（出）不等式 23%2（月+ 1）左邊是通項(xiàng)為前月項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為4的數(shù)列的前n項(xiàng)之和nl 時(shí),=W+而-爪等L 11=ln（l + _j + -2附2（理+ 1）,此式適合入、口（1+1）+1+， 要證當(dāng)此1時(shí)，4 4即修 鞭2H 2（閥+ 1）,也就是要證- 11,y=- 、-p由此構(gòu)造函數(shù) 工，并作其圖象如圖1 A 1、1 Mx-（-+）1 即 2 ， ；一.,；.=ln x* T + 1=ln（若+ 1） -ln2s n5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面積,+ 加（符- In n,所以2汽2（盟+1）,故原不等式成立.點(diǎn)評(píng) 本解法另辟蹊徑，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義，通過構(gòu)造函數(shù)利用定積 分的幾何意義來解決問題，解法雖然綜合性強(qiáng)，但由于數(shù)形結(jié)合解法直觀便于