福建南安僑光中學2012屆高三數學利用定積分證明數列和型不等式

1、利用定積分證明數列和型不等式n我們把形如 z f (k) MC ( r為常數)或 f (k)g(n)的不等式稱之為數列和型不等式，這類不k 4k 1等式常見于高中數學競賽和高考壓軸題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意義證明，則可達到以簡馭繁、以形助數的解題效果,下面舉例說明供參考n一、Z f (k) vC ( C為常數)型k 1例1 (2007年全國高中數學聯賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)已知正整數求證十 +| + 絲.n 1 n 2 2n 36分析 這是一邊為常數另一邊與自然數有關的不等式，標準答案是用數學歸納法證明比這個.右不等式更強的不等式1 +HI +

2、:1-,:-電*狀:#由總*-歲不年年冷冷3收改#尉 中次求求就書看守先分辦寵步木.笠王北 沿片土整片求益M-K-二工 中土王峨總：杳文小的幾何意義求解.1證明 構造函數y =一并作圖象如圖1所示，一一一 1，一 一一 ，一，.因函數y=一在(0,十無)上是凹函數，由函數圖象可知，在區(qū)間n,2n上的火個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，n2 n TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 12ndx = ln x |n = In 2n Tn n = In 2 x2525因為 ln 2 % 0.6931,為 0,6944 ,所以

3、ln 2 25.3636 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 11 l,J 125所以+川+ n 1 n 2 2n 36.1115*例 21 + + +| + (n = N ).23 3 n34證明構造函數y =4 = x,，又(x/) = x學x2而函數y = x 3在 色通上是凹函數，由圖象知，在區(qū)間2,對上的再一2個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，n 2x dx =-21 ,n 112212 =二 一 丁2x 8 2n-11所以.1 方三山2333191151二：二一一(2 一)二 一 一 2n3 82n2 84 2n211.1*例 3

4、證明。1 十一十一十(|+一3(n w N )2,2 3、3 n、n1-3證明 構造函數f (x)=尸=x 2 ,又其函數是凹函數,x. x由圖3可知,在區(qū)間上升-1個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,產 + . + M I dx - 2工 即 2V2 3J3月，a h xjr暖.:$:潴袋X:工X-M千笈冷.V.- -P-云品工芳等益品久等等益” 般哀酬工惠等；。竽.5.?. 激：;:,v:-:-:A-$*:n、Z f(k)x/g(n)型k 1例 4 若冷 EM 用之 2,求證：1+1+|+1inn1+1+1+|H+.2 3 n2 3 n -1證明 不等式鏈的左邊是通項為1的數列的前科-1項

5、之和，右邊通項為 的數列的前 TOC o 1-5 h z nn -1用一 1項之和，中間的ln也可當作是某數列的前 胃一1項之和.故只要證當/之2時這三個數列的通 HYPERLINK l bookmark73 o Current Document 11項不等式 一 in n -ln( n -1) 成乂即可.y = - (In =-構造函數x ,因為x,作 HYPERLINK l bookmark64 o Current Document nn 1y x的圖象，由圖4知，在區(qū)間售-11心之2）上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長,以左右端點對應的函數值為另一邊長的兩個矩形面積之間，即Inx

6、*T TX-N=-1)7i = n-1口用-ln（國-1） lnT在1,也）內恒成立，求G的取值范圍；1 + + -+- + 1口（存+ 1） +之 1）（出）證明：一； ,：1.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強、難度大、思維含金量 高、區(qū)分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結論證明也可用定積分來證明.1 + + + - - - 1 口+1） +（科.1）總的數列的證明（出）不等式 23%2（月+ 1）左邊是通項為前月項之和，我們也可把右邊當作是通項為4的數列的前n項之和nl 時,=W+而-爪等L 11=ln（l + _j + -2附2（理+ 1）,此式適合入、口（1+1）+1+， 要證當此1時，4 4即修 鞭2H 2（閥+ 1）,也就是要證- 11,y=- 、-p由此構造函數 工，并作其圖象如圖1 A 1、1 Mx-（-+）1 即 2 ， ；一.,；.=ln x* T + 1=ln（若+ 1） -ln2s n5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面積,+ 加（符- In n,所以2汽2（盟+1）,故原不等式成立.點評 本解法另辟蹊徑，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義，通過構造函數利用定積 分的幾何意義來解決問題，解法雖然綜合性強，但由于數形結合解法直觀便于