論全等三角形判定與性質(zhì)與技巧

1、 .wd. .wd. .wd.論全等三角形判定與性質(zhì)及其技巧袁崧浩三角形是平面幾何中最重要也是最基礎(chǔ)的圖形之一，大局部的平面幾何都建設(shè)在三角形的基礎(chǔ)上，本文將論述全等三角形的基礎(chǔ)及其拓展。 全等三角形的判定公理邊邊邊SSS三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等邊角邊SAS兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等角邊角ASA兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等角角邊AAS兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等斜邊、直角邊HL HYPERLINK :/baike.baidu /view/8935.htm t _blank 直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等全等三角

2、形的性質(zhì)1全等三角形的對應(yīng)角相等。 2全等三角形的對應(yīng)邊相等。 3全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等。 4全等三角形的對應(yīng)角的角平分線相等。 5全等三角形的對應(yīng)邊上的 HYPERLINK :/baike.baidu /view/240367.htm t _blank 中線相等。 6全等三角形 HYPERLINK :/baike.baidu /view/898.htm t _blank 面積相等。 7全等三角形 HYPERLINK :/baike.baidu /view/933551.htm t _blank 周長相等。全等三角形題型的解題技巧 制造全等三角形在一些題目中，你需要通過全等來解題但是

3、在圖形中找不到全等三角形，這時就需要通過輔助線來制造全等三角形以解題，可利用等角和等邊來作輔助線，一下介紹兩種比較經(jīng)典的方法：倍長中線法：延長中線，使所延長局部與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，那么對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形,例題如下:如圖，ABC中，AD是BC邊上的中線，求證:2ADAB+AC證明：延長AD至E，使DE=AD，連結(jié)CE易證三角形ADBEDCAB=CE在三角形ACE中，2ADAC+CE三角形兩邊之和大于第三邊故證畢角平分線作垂線：利用定理角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等來在角平分線上的特定點(diǎn)做邊的垂線，以構(gòu)造全等三角形。定理證明：證明：OP是MON的平分線

4、，過P做PAOM與A，PBON于BOP平分MONMOP=NOP即AOP=BOPPAOM，PBONPAO=PBO=90AOPBOPPA=PB故證畢逆定理證明類似例題如下：如圖，在ABC中，C=90，AD平分CAB，BC=8，BD=5，DEAB，求DE解：BC=8，BD=5CD=3DEAB特殊三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形：等腰三角形三線合一 HYPERLINK :/baike.baidu /view/353189.htm t _blank 等腰三角形底邊上的高、底邊上的 HYPERLINK :/baike.baidu /view/240367.htm t _blank 中線、頂角平分線相互重合。

5、在三角形中，只要有兩條線重合，那這個三角形一定是腰三角形 三線合一的證明： 如圖，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，求證：AD平分BAC，ADBC 證明：ABC為等腰三角形 AB=ACB=CAD為中線 BD=DC易證ADBADCSAS) 可得BAD=CAD，ADB=ADCADB+ADC=BDC，且BDC=180度 ADB=ADC=90故證畢 反之可證有兩條線重合的三角形是等腰三角形，由三線合一亦可得垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩邊的距離相等等腰三角形底角相等兩條邊或兩個角相等的三角形為等腰三角形等邊三角形：等邊三角形三邊相等且三個角皆為60含60角的等腰三角形為等邊三角形三邊相等的三角形為等邊三角形解題技巧

6、：利用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)來解題，例題如下：如圖，直角三角形ABC中，BAC=90，AC=AB，DAC=DCA=15，求證，求證：AB=DB證明：以AD為邊，向右作等邊三角形ADE，連結(jié)EB 那么易證AEBADC 那么AEB=ADC=150DEB=150易證AEBDEB 故證畢技巧，截長補(bǔ)短：當(dāng)遇到兩條不在一條直線上的線段而要求讓這兩條線段長度和與另一個長度進(jìn)展比照時，需要用到截長補(bǔ)短的技巧：延長短的線段或切分長的線段，例題如下：補(bǔ)短如圖，ABC中，AD平分BAC，AMCM，AD=AB，求證2AM=AB+AC證明：延長AM至N使MN=AM，連接CNAMCMCM是AN的垂直平分線AC=C

7、NCAM=NBAM=CAMBAM=NAB/CNB=NCDAB=ADB=ADBCDN=ADBNCD=CDNDN=CN=ACAN=2AM=AD+DN2AM=AB+AC截長C=90，AC=BC，AD是BAC的角平分線，求證AC+DC=AB證明：在AB上取點(diǎn)E，使AE=AC，連結(jié)DE 那么易證AEDACDC=90，AC=BCABD=45，EDC=135ABD=EDBEB=ED 故證畢 直角三角形直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，證明如下：2+3=90，AD為BC邊上的中線，求證AD=BD=CD證明：延長AD至E，使DE=AD，連結(jié)BE那么易證ABEBACAE=BC又D為BC中點(diǎn)，D為AE中點(diǎn)故證畢

8、例題如下：如圖，在ABC中，ADBC，E、F分別為AB、AC中點(diǎn)，且DE=DF，求證AB=AC證明：ADBCDE=DF=CF=AF=AE=EB直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 故證畢直角三角形中，30角所對的邊是斜邊的一半，證明如下：ABC，C=90，B=30，求證：2AC=AB證明：取AB中點(diǎn)D，連結(jié)CDA=60，且AD=CD=BD斜邊中線定理ACD為等邊三角形AC=AD=DB故證畢例題如下： 如圖，在ABC中，B=90，AD平分BAC，DEAC且平分ADC，求證2BD=CD 證明：B=90，且AED=90，且AD平分BAC易證ABDAED 又DE平分ADC易證ADECDE且ADB=ADE=EDC=60AB=2BD=CD故證畢勾股定理：設(shè)直角三角形三邊長為a、b、c，斜邊長c，那么a+b=c，證明如下：如圖，四邊形ABCD和四邊形EFGH均為正方形，設(shè)AD=c，AE=a，DE=b，求證a+b=c證明：易證AEDBHACGBDFCEFGH和ABCD均為正方形AD=CD=CB=AB=c，EF=FG=HG