《復(fù)變函數(shù)論基礎(chǔ)》大綱

1、復(fù)變函數(shù)教學(xué)大綱（?？疲┱f 明本大綱適用于數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)?？频慕虒W(xué)本課程的性質(zhì)復(fù)變函數(shù)論與其他數(shù)學(xué)分支有著密切的聯(lián)系，它作為一個強(qiáng)有力的工具可用來解決如解析數(shù)論，微分方程，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，計算數(shù)學(xué)，拓?fù)鋵W(xué)，微分幾何等數(shù)學(xué)分支中所提出的有關(guān)理論及實(shí)際問題，在工程技術(shù)中也有廣泛的應(yīng)用。是高等師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課程。是專科學(xué)生數(shù)學(xué)分析已學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，在復(fù)數(shù)域內(nèi)研究解析函數(shù)特性的一門課程，有利于提高?？茖W(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本課程的教學(xué)目的和要求本課程的教學(xué)目的是闡明復(fù)變函數(shù)論中一些最基本的概念，方法和理論，使學(xué)生對數(shù)學(xué)分析的某些內(nèi)容加深理解和提高認(rèn)識，為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識奠定基礎(chǔ)。在

2、教學(xué)上，要從?？茖W(xué)生實(shí)際情況出發(fā)，重點(diǎn)講授復(fù)變函數(shù)與復(fù)數(shù)域，復(fù)變函數(shù)的概念；解析函數(shù)及柯西黎曼條件；研究解析函數(shù)的積分方法和級數(shù)方法，在可能情況下，簡要介紹解析函數(shù)的參數(shù)理論和幾何理論。教學(xué)時數(shù)安排本課程總學(xué)時有72學(xué)時，各部分學(xué)時安排如下：課程時數(shù)安排表章節(jié)教學(xué)內(nèi)容教學(xué)時數(shù)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)12第二章解析函數(shù)12第三章復(fù)變函數(shù)的積分14第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示法14第五章解析函數(shù)的羅朗展式與孤立奇點(diǎn)14第六章反函數(shù)理論及應(yīng)用6教材選用復(fù)變函數(shù)論（第二版）仲玉泉編，高等教育出版社出版。教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)教學(xué)內(nèi)容復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)域，復(fù)平面，復(fù)數(shù)的模與輻角，復(fù)數(shù)的乘冪與方根，共軛

3、復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在幾何上的舉例。復(fù)平面上的點(diǎn)集，平面點(diǎn)集的幾個基本概念，區(qū)域與曲線。復(fù)變函數(shù)，復(fù)變函數(shù)的概念，復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性。復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，復(fù)球面，擴(kuò)充復(fù)球面上的幾個概念。教學(xué)要求練掌握復(fù)數(shù)的各種表示方法以及四則運(yùn)算，乘冪和共軛運(yùn)算。了解復(fù)平面上點(diǎn)集的概念，了解區(qū)域的概念，單連通區(qū)域，多連能區(qū)域的劃分。了解簡單閉曲線，光滑曲線的定義，能用復(fù)數(shù)的方程式不等式表示一些常見的區(qū)域與曲線。掌握復(fù)變函數(shù)的概念理解映射的含義，理解復(fù)變函數(shù)與兩個實(shí)二元函數(shù)之間的關(guān)系。了解復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性概念，知道它們與實(shí)一元函數(shù)極限與連續(xù)的異同。重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)是復(fù)變函數(shù)表示法之間的轉(zhuǎn)換，區(qū)域的確定，復(fù)變函數(shù)的概

4、念。難點(diǎn)是復(fù)球面概念，復(fù)變函數(shù)理解及復(fù)平面上兩個集合間的映射，以及復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性第二章解析函數(shù)教學(xué)內(nèi)容 解析函數(shù)的概念與柯西黎曼條件，復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分，解析函數(shù)及簡單給出柯西黎曼條件 初等解析函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)及雙曲函數(shù) 初等復(fù)值函數(shù)，根式函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，一般冪函數(shù)，一般指數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)，具有多個有限支點(diǎn)情形。教學(xué)要求理解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與復(fù)變函數(shù)解析的概念，弄清復(fù)變函數(shù)可微與實(shí)函數(shù)可微的關(guān)系。掌握復(fù)變函數(shù)解析的判別方法，熟悉函數(shù)解析的充要條件，會判斷函數(shù)在一點(diǎn)或區(qū)域上的解析。了解指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)與雙曲函數(shù)的定義以及它們的主要性質(zhì)，對它們在單值域內(nèi)的

5、解析要熟知。重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)是一個函數(shù)是否解析的判定，求函數(shù)的解析區(qū)域以及初等函數(shù)的函數(shù)值。難點(diǎn)是弄清可導(dǎo)與解析之間關(guān)系，復(fù)變函數(shù)的解析論與實(shí)二元函數(shù)可微論之間的關(guān)系和初等函數(shù)的多值論。復(fù)變函數(shù)的積分教學(xué)內(nèi)容 復(fù)積分的概念及其簡單性質(zhì)光滑有向曲線，復(fù)變函數(shù)的積分概念，復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)，復(fù)變函數(shù)積分的計算。 柯西積分定理柯西積分定理（不作證明），不定積分，柯西積分定理的推廣，復(fù)合閉路定理 柯西積分公式及其推論柯西積分公式，高階導(dǎo)數(shù)公式，柯西不等式及劉維爾定理，摩勒拉定理。 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。教學(xué)要求理解復(fù)變函數(shù)的概念，了解積分的性質(zhì)，會求復(fù)變函數(shù)的積分理解柯西積分定理，

6、掌握牛頓萊不尼茲公式，求高階導(dǎo)數(shù)公式和復(fù)合閉路定理，能熟練運(yùn)用于計算復(fù)變函數(shù)的積分。理解解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)，解析函數(shù)的無限次可導(dǎo)論的概念。理解解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)是復(fù)變函數(shù)積分的計算，實(shí)二元函數(shù)線積分方法，柯西積分公式方法，高階導(dǎo)數(shù)公式方法，牛頓萊不尼茲公式方法。難點(diǎn)是u(x,y)+iv(x,y)化為解析函數(shù)f(z)。 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法(一)教學(xué)內(nèi)容 復(fù)數(shù)列的基本性質(zhì)復(fù)數(shù)列的概念，復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)，一致收斂的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，解析函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 冪級數(shù)冪級數(shù)的概念，收斂性，阿貝爾定理，收斂圓與收斂半徑，柯西阿達(dá)瑪公式，冪級數(shù)和的解析性 冪子級數(shù)的泰勒展式解析函數(shù)的泰勒級數(shù)，

7、冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況，一些初等函數(shù)的泰勒展式。 解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性及唯一性解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性，唯一性，最大模原理。（二）教學(xué)要求1理解級數(shù)收斂，發(fā)散及和的概念；了解級數(shù)收斂的必要與充分條件，了解級數(shù)絕對收斂與收斂的關(guān)系。理解冪級數(shù)收斂圓與收斂半徑的概念，掌握冪級數(shù)收斂半徑的求法。掌握將一個解析函數(shù)展為冪級數(shù)的基本方法，記住一些常用初等函數(shù)的泰勒展式。重點(diǎn)與難點(diǎn)本章重點(diǎn)是冪級數(shù)收斂半徑的求法，一個解析函數(shù)展為泰勒級數(shù)。難點(diǎn)是將一個解析函數(shù)展為泰勒級數(shù)。解析函數(shù)的羅朗展式和孤立奇點(diǎn)（一）教學(xué)內(nèi)容 解析函數(shù)的羅朗展式雙邊冪級數(shù)，解析函數(shù)的羅朗展式，羅朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的關(guān)系，解析函數(shù)

8、在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的羅朗展式。 解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)的類型，可去奇點(diǎn)，席瓦爾茲引理，極點(diǎn)，本性奇點(diǎn)，畢卡定理 解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì) 整函數(shù)與亞純函數(shù)簡介（二）教學(xué)要求理解羅朗級數(shù)的概念，能將一些函數(shù)在圓環(huán)域展為羅朗級數(shù)，能判別解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，確定可去奇點(diǎn)或本位奇點(diǎn)。（三）重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)是一個解析函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的羅朗展示。難點(diǎn)是能確定解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)類型。殘數(shù)理論及其應(yīng)用簡介（一）教學(xué)內(nèi)容 殘數(shù)殘數(shù)的定義及殘數(shù)定理，殘數(shù)的求法，函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的殘數(shù) 用反函數(shù)定理計算定積分三角函數(shù)有理式的積分其中R(cos,sin)是cos和sin的有理函數(shù)。無窮區(qū)間上有理函數(shù)的積分其中R(x)是x的有理函數(shù)，分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高兩次，R(x)在實(shí)軸上沒有孤立奇點(diǎn)。無窮區(qū)間上有理函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積的積分 幅角原理及其應(yīng)用 對數(shù)殘數(shù)，幅角原理，儒歇原理。（二）教學(xué)要求正確理解函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)概念，理解并能應(yīng)用留數(shù)定理。初步掌握留數(shù)的計算方法，主要是極點(diǎn)處留數(shù)的求法。初步掌握用留數(shù)求積分的方法。 (三)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)