江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2022屆高三下學(xué)期3月教學(xué)情況調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題及解析

1、試卷第 =page 4 4頁(yè)，共 =sectionpages 4 4頁(yè)試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2022屆高三下學(xué)期3月教學(xué)情況調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題學(xué)校:_姓名：_班級(jí)：_考號(hào)：_一、單選題1設(shè)全集，集合，則集合（）ABCD2在的二項(xiàng)展開式中，第二項(xiàng)的系數(shù)為（）A4B C6D 3i是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)（）A-1-iB-1+iC1-iD1+i4如果在一次實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得的五組數(shù)值如下表所示，012341015203035經(jīng)計(jì)算知，對(duì)的線性回歸方程是，預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，（）附：在線性回歸方程中，其中，為樣本平均值.A47.5B48C4

2、9D49.55平面內(nèi)三個(gè)單位向量，滿足，則（）A，方向相同B，方向相同C，方向相同D，兩兩互不共線6若雙曲線：的右焦點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)（）ABC3D-37有5個(gè)形狀大小相同的球，其中3個(gè)紅色、2個(gè)藍(lán)色，從中一次性隨機(jī)取2個(gè)球，則下列說(shuō)法正確的是（）A“恰好取到1個(gè)紅球”與“至少取到1個(gè)藍(lán)球”是互斥事件B“恰好取到1個(gè)紅球”與“至多取到1個(gè)藍(lán)球”是互斥事件C“至少取到1個(gè)紅球”的概率大于“至少取到1個(gè)藍(lán)球”的概率D“至多取到1個(gè)紅球”的概率大于“至多取到1個(gè)藍(lán)球”的概率8正四面體的棱長(zhǎng)為，是棱的中點(diǎn)，以為球心的球面與平面的交線和相切，則球的體積是（）ABCD二、多選題9記為等差數(shù)列的

3、前項(xiàng)和，則（）ABC，成等差數(shù)列D，成等差數(shù)列10某校體育活動(dòng)社團(tuán)對(duì)全校學(xué)生體能情況進(jìn)行檢測(cè)，以鼓勵(lì)學(xué)生積極參加體育鍛煉.學(xué)生的體能檢測(cè)結(jié)果服從正態(tài)分布，其中檢測(cè)結(jié)果在以上為體能達(dá)標(biāo)，以上為體能優(yōu)秀，則（）附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.A該校學(xué)生的體能檢測(cè)結(jié)果的期望為B該校學(xué)生的體能檢測(cè)結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為C該校學(xué)生的體能達(dá)標(biāo)率超過(guò)D該校學(xué)生的體能不達(dá)標(biāo)的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等11下列函數(shù)中，最大值是1的函數(shù)有（）ABCD12已知函數(shù)，若對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)使得，則滿足條件的實(shí)數(shù)的可能值有（）A-1B0CD1三、填空題13已知圓柱和圓錐的底面重合，且母線長(zhǎng)相等，該圓柱和圓錐的表面積

4、分別為，則_.14已知圓：，點(diǎn)A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AP，AQ分別與圓相切于P，Q兩點(diǎn)，則圓心C到直線PQ的距離的取值范圍是_.15已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，其中點(diǎn)P，Q分別是圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)M是圖象與x軸的交點(diǎn)，且.若，則_.四、雙空題16已知是定義在上的奇函數(shù)，且.若當(dāng)時(shí)，則在區(qū)間上的值域?yàn)開，在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為_五、解答題17在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，_，求的面積.18某大學(xué)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)在大一新生中招募成員，由于報(bào)名人數(shù)過(guò)多，需要進(jìn)行選拔.為此，社團(tuán)依次進(jìn)行筆試、機(jī)試、面試三個(gè)項(xiàng)

5、目的選拔，每個(gè)項(xiàng)目設(shè)置“優(yōu)”、“良”、“中”三個(gè)成績(jī)等第；當(dāng)參選同學(xué)在某個(gè)項(xiàng)目中獲得“優(yōu)”或“良”時(shí)，該同學(xué)通過(guò)此項(xiàng)目的選拔，并參加下一個(gè)項(xiàng)目的選拔，否則該同學(xué)不通過(guò)此項(xiàng)目的選拔，且不能參加后續(xù)項(xiàng)目的選拔.通過(guò)了全部三個(gè)項(xiàng)目選拔的同學(xué)進(jìn)入到數(shù)學(xué)建模社團(tuán).現(xiàn)有甲同學(xué)參加數(shù)學(xué)建模社團(tuán)選拔，已知該同學(xué)在每個(gè)項(xiàng)目中獲得“優(yōu)”、“良”、“中”的概率分別為，且該同學(xué)在每個(gè)項(xiàng)目中能獲得何種成績(jī)等第相互獨(dú)立.(1)求甲同學(xué)能進(jìn)入到數(shù)學(xué)建模社團(tuán)的概率；(2)設(shè)甲同學(xué)在本次數(shù)學(xué)建模社團(tuán)選拔中恰好通過(guò)個(gè)項(xiàng)目，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.19已知數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.20如圖

6、，在直三棱柱中，是以為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)，分別為棱，上的點(diǎn)，且.(1)若，求證：平面；(2)若二面角的大小為，求實(shí)數(shù)的值.21已知橢圓：的離心率為，且橢圓的右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為.點(diǎn)是第一象限內(nèi)的定點(diǎn)，點(diǎn)M，N是橢圓上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)（均異于點(diǎn)A），且直線AM，AN的傾斜角互補(bǔ).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線的斜率，求點(diǎn)的坐標(biāo).22已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：存在極值點(diǎn)，并求的最小值.答案第 = page 20 20頁(yè)，共 = sectionpages 20 20頁(yè)答案第 = page 1 1頁(yè)，共 = sectionpages 2 2

7、頁(yè)參考答案：1C【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A，B，再利用補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算作答.【詳解】解不等式得：，則，解不等式得：，則，所以.故選：C2B【解析】【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式直接計(jì)算即可【詳解】的二項(xiàng)展開式的第二項(xiàng)為，所以第二項(xiàng)的系數(shù)為，故選：B3D【解析】【分析】先計(jì)算出，再求出，即可求出共軛復(fù)數(shù).【詳解】由得，故.故選：D.4B【解析】【分析】分別求出，利用過(guò)點(diǎn)，代入點(diǎn)即可求得，最終代入，即可得到結(jié)果.【詳解】由題，由線性回歸方程過(guò)點(diǎn)得，解得，故，所以當(dāng)時(shí)，故選：B5A【解析】【分析】根據(jù)，得，兩邊利用單位向量的平方等于1，即可求出，解得，方向相同.【詳解】因?yàn)?，所以，所?/p>

8、，所以，所以，所以，所以所以，所以，方向相同，故選：A.6D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合知焦點(diǎn)在軸上，對(duì)雙曲線表達(dá)式進(jìn)行變形，求出，再令即可求解.【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以雙曲線方程化為：，再轉(zhuǎn)化為：，所以， ，所以，所以，所以平方得故選：D.7C【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的概念可判斷AB；分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率可判斷CD.【詳解】當(dāng)取出的兩球?yàn)橐患t一藍(lán)時(shí)，可得“恰好取到1個(gè)紅球”與“至少取到1個(gè)藍(lán)球”均發(fā)生，即A錯(cuò)誤；當(dāng)取出的兩球?yàn)橐患t一藍(lán)時(shí)，可得“恰好取到1個(gè)紅球”與“至多取到1個(gè)藍(lán)球”均發(fā)生，即B錯(cuò)誤；記“至少取到1個(gè)紅球”為事件A，“至少取到1

9、個(gè)藍(lán)球”為事件B，“至多取到1個(gè)紅球”為事件C，“至多取到1個(gè)藍(lán)球”為事件D，故，顯然，即C正確，D錯(cuò)誤；故選：C.8D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，則為的中心，取的中點(diǎn)，連接，則，取線段的中點(diǎn)，連接，分析可知以為球心的球面與平面的交線和相切的切點(diǎn)為，求出，即為球的半徑，再利用球體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，則為的中心，取的中點(diǎn)，連接，則，取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，因?yàn)槠矫?，則平面，因?yàn)槠矫?，則，正的外接圓半徑為，所以，易知球被平面所截的截面圓圓心為點(diǎn)，且，故，因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)橐詾榍蛐牡那蛎媾c平面的交線和相切，則切點(diǎn)

10、為點(diǎn)，則球的半徑為，因此，球的體積是.故選：D.9BCD【解析】【分析】利用等差數(shù)列求和公式分別判斷.【詳解】由已知得，A選項(xiàng)，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，則，D選項(xiàng)正確；故選：BCD.10AD【解析】【分析】求出、的值，可判斷AB選項(xiàng)；利用原則可判斷C選項(xiàng)；利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，該校學(xué)生的體能檢測(cè)結(jié)果的期望為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，該校學(xué)生的體能檢測(cè)結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，所以，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，所以，所以，該校學(xué)生的體能不達(dá)標(biāo)的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等，D對(duì).故選：AD.11BC【解析】【分析】化簡(jiǎn)變形各個(gè)

11、選項(xiàng)中的函數(shù)解析式，再求其最大值即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，即當(dāng)時(shí)，A不正確；對(duì)于B，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，即當(dāng)時(shí)，B正確；對(duì)于C，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，即當(dāng)時(shí)，C正確；對(duì)于D，依題意，由，都有意義，且得：，且，且，顯然最大值為1，此時(shí)，而使函數(shù)無(wú)意義，即不能取到1，D不正確.故選：BC12AB【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得函數(shù)無(wú)最小值，再分類探討函數(shù)在內(nèi)最值情況判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，因，總使得，則有函數(shù)在上沒有最小值，對(duì)求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取最大值，值域?yàn)?，在?nèi)無(wú)最小值，因此，當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在

12、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，顯然，即，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，不妨令，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)或時(shí)，即函數(shù)在，上都單調(diào)遞減，在，都單調(diào)遞增，函數(shù)在與處都取得極小值，不符合題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意，綜上得：實(shí)數(shù)的取值范圍是：，所以滿足條件的實(shí)數(shù)的可能值有-1，0.故選：AB【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圖象法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).13【解析】【分析】根據(jù)圓柱與圓錐的表面積公式直接計(jì)算.【詳解】設(shè)圓柱與圓錐的半徑

13、均為，母線為，故，所以，故答案為：.14【解析】【分析】由題意可知，通過(guò)相似比可得，利用的取值范圍可求圓心C到直線PQ的距離的取值范圍.【詳解】由題意可知，所以，且，所以，因?yàn)辄c(diǎn)A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，取最小值4，即，所以，即圓心C到直線PQ的距離的取值范圍是，故答案為：.15【解析】【分析】根據(jù)，得到，再由，得到，進(jìn)而得到，然后由求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以，解得，則，所以，則，所以或，則或，因?yàn)?，所以，所以，故答案為?6 #2.5【解析】【分析】第一空先求出函數(shù)在上的解析式，結(jié)合奇函數(shù)畫出的圖像，再由得到，進(jìn)而得到函數(shù)在上的圖像，即可求得值域；第二空畫出將零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的交

14、點(diǎn)，再畫出的圖像即可求解.【詳解】由當(dāng)時(shí)，可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又是奇函數(shù)，可得函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又當(dāng)時(shí)，即，即，即函數(shù)右移兩個(gè)單位，函數(shù)值變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，由此可得函數(shù)在上的圖像如圖所示：結(jié)合圖像可知在區(qū)間上的值域?yàn)?；，即，即的交點(diǎn)，畫出的圖像，由圖像可知4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，又均是奇函數(shù)，故，故.故答案為：；.17.【解析】【分析】選，由已知結(jié)合正弦定理角化邊，求出，再按A是銳角和鈍角分類計(jì)算作答.選，由已知結(jié)合余弦定理角化邊，再求出，按A是銳角和鈍角分類計(jì)算作答.選，按A是銳角和鈍角分類計(jì)算作答.【詳解】選擇條件：依題意，在中，由正弦定理得，由余弦定理得：，若A為銳角，則，則，則，又，解得

15、或，即有的面積為，若A為鈍角，則，則，有，又，無(wú)解，舍去，綜上可得，的面積為選擇條件：因?yàn)?，由余弦定理得：，整理得：，即，而，則，若A為銳角，則，有，由余弦定理得：，則有，又，解得或，即有的面積為，若A為鈍角，則，則，舍去，綜上可得，的面積為.因?yàn)?，由余弦定理，若A為銳角，則，則，則，又，解得或，即有的面積為若A為鈍角，則，則，有，又，無(wú)解，舍去，綜上可得，的面積為.18(1)；(2)分布列見解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出p值，并求出甲能通過(guò)項(xiàng)目選拔的概率，再由乘法公式計(jì)算作答.（2）求出的所有可能值，并求出各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求出期望作答.(1)該同學(xué)在每個(gè)項(xiàng)目中

16、得優(yōu)、良、中互為互斥事件，由題意得，解得，則甲在每個(gè)項(xiàng)目中通過(guò)的概率都為，設(shè)事件A為甲能進(jìn)入到數(shù)學(xué)建模社團(tuán)，因甲在每個(gè)項(xiàng)目中通過(guò)的概率都為，且在每個(gè)項(xiàng)目中的成績(jī)均相互獨(dú)立，則有，所以甲能進(jìn)入到數(shù)學(xué)建模社團(tuán)的概率為.(2)X的可能取值為0，1，2，3，則X的概率分布為：X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望.19(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，利用累加法即可得出答案；（2）利用放縮可得，再利用裂項(xiàng)相消法即可得出結(jié)論.(1)解：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，相加得，所以，當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：由（1）得，所以，所以，所以20(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1

17、）由，得到點(diǎn)D，E分別為的中點(diǎn)，易得四邊形為平行四邊形，四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）方法一：在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，垂足為H，連結(jié)，得到為二面角的平面角求解；方法二：以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，再由平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)二面角的大小為，由求解(1)證明：當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)D，E分別為的中點(diǎn)，在直三棱柱中，所以四邊形為平行四邊形，連接，則，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?2)方法一：如圖所示：在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，垂足為H，連結(jié)，則為二面角的平面角，即，在直角三角形中，所以在直角三角形中，所以，又因?yàn)闉殇J

18、角，所以且，所以點(diǎn)H在線段的延長(zhǎng)線上中，所以方法二：平面，又，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，所以，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即,取，又平面的一個(gè)法向量為,因?yàn)槎娼堑拇笮?，所以即，得，又因?yàn)?，所?1(1)(2)【解析】【分析】（1）利用離心率以及題目條件即可求解；（2）根據(jù)的斜率設(shè)MN直線方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用直線AM，AN的傾斜角互補(bǔ)得兩直線的斜率之和為0，化簡(jiǎn)得，再根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)不受m影響，解得，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo).(1)因?yàn)闄E圓C的離心率為，且其右焦點(diǎn)F到右準(zhǔn)線的距離為，所以，且，解得所以，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得 ,則，所以 ,由直線AM，AN的傾斜角互補(bǔ)得：，得所以，整理得，所以 因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所 ，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為22(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)證明見解析，的最小值是e【解析】【分析】（1）