高中數(shù)學(xué) （2.4.2 等比數(shù)列的基本性質(zhì)及其應(yīng)用）示范教案 新人教A版必修5

1、PAGE 12.4.2等比數(shù)列的基本性質(zhì)及其應(yīng)用從容說課這節(jié)課師生將進(jìn)一步探究等比數(shù)列的知識，以教材練習(xí)中提供的問題作為基本材料，認(rèn)識等比數(shù)列的一些基本性質(zhì)及內(nèi)在的聯(lián)系，理解并掌握一些常見結(jié)論，進(jìn)一步能用來解決一些實際問題.通過一些問題的探究與解決，滲透重要的數(shù)學(xué)思想方法.如類比思想、歸納思想、數(shù)形結(jié)合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.教學(xué)中以師生合作探究為主要形式，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.教學(xué)重點 1.探究等比數(shù)列更多的性質(zhì);2.解決生活實際中的等比數(shù)列的問題.教學(xué)難點 滲透重要的數(shù)學(xué)思想.教具準(zhǔn)備 多媒體課件、投影膠片、投影儀等三維目標(biāo)一、知識與技能1.了解等比數(shù)列更多

2、的性質(zhì);2.能將學(xué)過的知識和思想方法運用于對等比數(shù)列性質(zhì)的進(jìn)一步思考和有關(guān)等比數(shù)列的實際問題的解決中;3.能在生活實際的問題情境中，抽象出等比數(shù)列關(guān)系，并能用有關(guān)的知識解決相應(yīng)的實際問題.二、過程與方法1.繼續(xù)采用觀察、思考、類比、歸納、探究、得出結(jié)論的方法進(jìn)行教學(xué);2.對生活實際中的問題采用合作交流的方法，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，引導(dǎo)學(xué)生探究問題的解決方法，經(jīng)歷解決問題的全過程;3.當(dāng)好學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者的角色.三、情感態(tài)度與價值觀1.通過對等比數(shù)列更多性質(zhì)的探究，培養(yǎng)學(xué)生的良好的思維品質(zhì)和思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生對知識的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的類比、歸納的能力;2.通過生活實際中有關(guān)問

3、題的分析和解決，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識社會、了解社會的意識，更多地知道數(shù)學(xué)的社會價值和應(yīng)用價值.教學(xué)過程導(dǎo)入新課師 教材中第59頁練習(xí)第3題、第4題，請學(xué)生課外進(jìn)行活動探究，現(xiàn)在請同學(xué)們把你們的探究結(jié)果展示一下.生 由學(xué)習(xí)小組匯報探究結(jié)果.師 對各組的匯報給予評價.師 出示多媒體幻燈片一：第3題、第4題詳細(xì)解答：第3題解答：(1)將數(shù)列an的前k項去掉，剩余的數(shù)列為a k+1，a k+2,.令bi=ak+i,i=1,2,則數(shù)列a k+1,ak+2,可視為b1,b2，.因為 (i1),所以，bn是等比數(shù)列，即a k+1，ak+2,是等比數(shù)列.(2)an中每隔10項取出一項組成的數(shù)列是a1,a 11,a 2

4、1，,則 (k1).所以數(shù)列a1,a 11,a21,是以a1為首項，q10為公比的等比數(shù)列.猜想：在數(shù)列an中每隔m(m是一個正整數(shù))取出一項，組成一個新數(shù)列，這個數(shù)列是以a1為首項、qm為公比的等比數(shù)列.本題可以讓學(xué)生認(rèn)識到，等比數(shù)列中下標(biāo)為等差數(shù)列的子數(shù)列也構(gòu)成等比數(shù)列，可以讓學(xué)生再探究幾種由原等比數(shù)列構(gòu)成的新等比數(shù)列的方法.第4題解答：(1)設(shè)an的公比是q，則a52=(a1q4)2=a12q8,而a3a7=a1q2a1q6=a12q8,所以a52=a3a7.同理,a52=a1a9.(2)用上面的方法不難證明an2=a n-1a n+1(n1).由此得出，an是a n-1和a n+1的等

5、比中項，同理可證an2=a n-kan+k(nk0).an是an-k和an+k的等比中項(nk0).師 和等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列中蘊涵著許多的性質(zhì)，如果我們想知道的更多，就要對它作進(jìn)一步的探究.推進(jìn)新課合作探究師 出示投影膠片1例題1(教材P61B組第3題)就任一等差數(shù)列an，計算a7+a 10，a8+a9和a10+a 40，a20+a30，你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律，能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用一般化的推廣嗎？從等差數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題.在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論？師 注意題目中“就任一等差數(shù)列an”，你打算用一個什么樣的等差數(shù)列來計算？生 用等差數(shù)列1，2，3，師 很好，這個數(shù)列最

6、便于計算，那么發(fā)現(xiàn)了什么樣的一般規(guī)律呢？生 在等差數(shù)列an中，若k+s=p+q(k,s,p,qN *)，則ak+as=ap+aq.師 題目要我們“從等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題”，如何做？生 思考、討論、交流.師 出示多媒體課件一：等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系.教師精講師 從等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題：由等差數(shù)列an的圖象，可以看出,根據(jù)等式的性質(zhì)，有.所以ak+as=ap+aq.師 在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論？生 猜想對于等比數(shù)列an，類似的性質(zhì)為：k+s=p+t(k,s,p,tN*)，則akas=apat.師 讓學(xué)生給出上述猜想的證明.證明：設(shè)等比數(shù)列an

7、公比為q，則有aka s=a1qk-1a1qs-1=a12qk+s-2,apat=a1q p-1a1qt-1=a12qp+t-2.因為k+s=p+t,所以有akas=apat.師 指出：經(jīng)過上述猜想和證明的過程，已經(jīng)得到了等比數(shù)列的一個新的性質(zhì).即等比數(shù)列an中，若k+s=p+t(k,s,p,tN*)，則有akas=apat.師 下面有兩個結(jié)論：(1)與首末兩項等距離的兩項之積等于首末兩項的積；(2)與某一項距離相等的兩項之積等于這一項的平方.你能將這兩個結(jié)論與上述性質(zhì)聯(lián)系起來嗎？生 思考、列式、合作交流，得到：結(jié)論(1)就是上述性質(zhì)中1+n=(1+t)+(n-t)時的情形；結(jié)論(2)就是上述

8、性質(zhì)中k+k=(k+t)+(k-t)時的情形.師 引導(dǎo)學(xué)生思考，得出上述聯(lián)系，并給予肯定的評價.師 上述性質(zhì)有著廣泛的應(yīng)用.師 出示投影膠片2：例題2例題2（1）在等比數(shù)列an中，已知a1=5,a9a 10=100,求a 18;（2）在等比數(shù)列bn中，b4=3,求該數(shù)列前七項之積；（3）在等比數(shù)列an中，a2=-2,a5=54,求a8.例題2三個小題由師生合作交流完成，充分讓學(xué)生思考，展示將問題與所學(xué)的性質(zhì)聯(lián)系到一起的思維過程.解答：(1)在等比數(shù)列an中，已知a1=5，a9a10=100，求a 18.解：a1a 18=a9a 10，a 18= =20.(2)在等比數(shù)列bn中，b4=3，求該數(shù)

9、列前七項之積.解：b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.b42=b1b7=b2b6=b3b5，前七項之積(32)33=37=2 187.(3)在等比數(shù)列an中，a2=-2，a5=54，求a8.解：.a5是a2與a8的等比中項，542=a8(-2).a8=-1 458.另解：a8=a5q3=a5=-1 458.合作探究師 判斷一個數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法：1、定義法；2、中項法；3、通項公式法.例題3：已知anbn是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，仿照下表中的例子填寫表格.從中你能得出什么結(jié)論？證明你的結(jié)論.anbnanbn判斷anbn是否是等比數(shù)列例-52n-1是自選

10、1自選2師 請同學(xué)們自己完成上面的表.師 根據(jù)這個表格，我們可以得到什么樣的結(jié)論？如何證明？生 得到：如果an、bn是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么anbn也是等比數(shù)列.證明如下：設(shè)數(shù)列an的公比是p，bn公比是q，那么數(shù)列anbn的第n項與第n1項分別為a1p n-1b1qn-1與a1pnb1qn，因為,它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以anbn是一個以pq為公比的等比數(shù)列.教師精講除了上面的證法外，我們還可以考慮如下證明思路：證法二：設(shè)數(shù)列an的公比是p，bn公比是q，那么數(shù)列anbn的第n項、第n-1項與第n1項(n1,nN *)分別為a1p n-1b1q n-1、a1p n-2b1qn-2與a1pnb1qn，因為(anbn)2=(a1p n-1b1qn-1)2=(a1b1)2(pq) 2(n-1),(a n-1bn-1)(a n+1bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n-1),即有(anbn)2=(a n-1bn-1)(a n+1bn+1)(n1,nN *),所以anbn是一個等比數(shù)列.師 根據(jù)對等比數(shù)列的認(rèn)識，我們還可以直接對數(shù)列的通項公式考察：證法三：設(shè)數(shù)列an的公比是p，bn公比是q，那么數(shù)列anbn的通項公