3.2.1直線的方向向量與直線的向量方程 課件（人教B選修2-1）

1、空間向量在立體幾何中的應用直線的方向向量與直線的向量方程第三章空間向量與立體幾何學習導航學習目標重點難點重點:利用向量的方法證明平行與垂直問題.難點:用直線的方向向量求異面直線所成的角.新知初探思維啟動1.用向量表示直線或點在直線上的位置(1)直線的方向向量與直線_的非零向量,叫做此直線的方向向量.平行或共線(2)空間直線的向量參數(shù)方程點A為直線l上的定點,a為直線l的一個方向向量,點P為直線l上任一點,t為一個任意實數(shù).以上三種形式都叫做空間直線的向量參數(shù)方程.做一做1.若A(1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,則直線l的一個方向向量為()A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,

2、1,3) D.(3,2,1)答案:A2.用向量方法證明線線平行、線面平行、面面平行(1)設空間直線l1與l2的方向向量分別為v1,v2,則l1l2(或l1與l2重合)_.(2)已知兩個非零向量v1,v2與平面共面,一條直線l的一個方向向量為v,則l(或l)存在兩個實數(shù)x,y,使_.v1v2vx v1yv2(3)平面與平面平行已知兩個不共線的向量v1,v2與平面共面,則或與重合_.3.用向量運算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角設兩條直線所成角為(銳角),則直線方向向量間的夾角與_.設直線l1與l2的方向向量分別為v1和v2,則l1l2_,cos_.v1且v2相等或互補v1v2|cosv1,v

3、2|想一想2.兩條直線所成的角如何通過這兩條直線的方向向量的夾角求得？提示:當兩方向向量的夾角是銳角時,兩者相等,當兩方向向量的夾角是鈍角時,應取其補角作為兩直線所成的角.做一做3.若直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150,則l1與l2這兩條異面直線所成的角等于()或150D.以上均錯答案:A典題例證技法歸納題型探究例1【名師點評】利用直線上的一個已知點和直線的方向向量可以確定直線的位置,進而利用向量的運算確定直線上任一點的位置.變式訓練題型二用向量法證明平行問題 已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,E、F分別是BB1、DD1的中點,求證:(1)FC1平面ADE；(2)平面

4、ADE平面B1C1F.例2【名師點評】用向量方法證明空間中的平行關系線線平行設直線l1、l2的方向向量分別是a、b,則要證明l1l2,只需證明ab,即akb(kR).線面平行根據(jù)線面平行的判定定理,在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.證明一條直線l與一個平面平行,只需證明l的方向向量能用平面內兩個不共線向量線性表示.面面平行轉化為相應的線線平行或線面平行.變式訓練2.在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB4,AD3,AA12,P、Q、R、S分別是AA1、D1C1、AB、CC1的中點.證明:PQRS.例3【名師點評】(1)證明兩直線垂直,可轉化成兩直線的方向向量垂直,即證其數(shù)

5、量積為零.(2)求兩條異面直線所成角常用的方法有兩種:向量法即通過兩條直線方向向量的夾角來求兩條異面直線所成的角.定義法(平移法)由兩條異面直線所成角定義將求兩條異面直線所成角的大小轉化為平面角求解.求解的方法是解三角形.變式訓練3.如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,E、F分別是B1C1,C1D1的中點,且AA12,ABAD1.(1)求證:EFA1C；(2)求直線A1C1與DF所成角的余弦值.如圖所示,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,O是B1D1的中點.求證:B1C平面ODC1.備選例題方法技巧1.直線與直線平行、直線與平面平行的向量證法根據(jù)是空間向量共線、共面定理.2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時,要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點.方法感悟3.兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角來求得,但二者不完全相同,當兩方向向量的夾角是鈍角時,應取其補角作為兩異面直線所成的角,即直線的方向向量的夾角與相等或互補.失誤防范1.注意向量平行與直線平行