1.2.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式…2

1、PAGE PAGE 6三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（第1課時(shí)）教案【教學(xué)目標(biāo)】1知識(shí)目標(biāo)：理解四組誘導(dǎo)公式及其探究思路，學(xué)會(huì)利用四組誘導(dǎo)公式求解任意角的三角函數(shù)值，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)與證明。2能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究與交流的能力，培養(yǎng)學(xué)生直覺猜想與抽象概括的能力。3情感目標(biāo)與價(jià)值觀：通過不斷設(shè)置懸念、疑問，來引起學(xué)生的困惑與驚訝，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，通過小組的合作與交流，來增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。【教學(xué)重點(diǎn)】理解四組誘導(dǎo)公式，利用四組誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值和簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)與證明?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】四組誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程?！緦W(xué)情分析】江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué)是一所具有較高知名度的四星級(jí)高中，學(xué)生的整體素質(zhì)較

2、高。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于對(duì)概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受，而是要讓獨(dú)立思考、自主探索，動(dòng)手實(shí)踐，合作交流、閱讀自學(xué)等成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。教師應(yīng)為學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)造積極的課堂氛圍，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，為學(xué)生展現(xiàn)自我提供機(jī)會(huì)。一、復(fù)習(xí)回顧 深化認(rèn)識(shí)（5分鐘）現(xiàn)在開始上課，請(qǐng)同學(xué)們看下面兩個(gè)問題1任意角的三角函數(shù)的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)角終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是，它與原點(diǎn)距離是，則 ， ， 我們把sin，cos，tan稱為角的正弦，余弦，正切函數(shù)yxoP（提問）請(qǐng)回答，角的正弦、余弦、正切各是如何定義的？（學(xué)生回答）教師簡(jiǎn)單評(píng)價(jià)2如圖，（動(dòng)畫演示作圓）設(shè)角終邊與單位圓的交

3、點(diǎn)為P，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo) ，縱坐標(biāo) （提問）這個(gè)問題哪位同學(xué)回答？（學(xué)生回答）教師簡(jiǎn)單評(píng)價(jià)我們看到，在第2個(gè)問題中，點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)分別是角的余弦和正弦（同時(shí)顯示下面對(duì)應(yīng)關(guān)系示意圖）點(diǎn)P坐標(biāo) 角三角函數(shù)x cosy sin當(dāng)P在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)， P點(diǎn)坐標(biāo)的變化就反映了角三角函數(shù)的變化例如我們通過測(cè)量與計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有，把這個(gè)關(guān)系式翻譯成三角函數(shù)關(guān)系，就是對(duì)于任意角，恒有，這正是我們上節(jié)課學(xué)習(xí)的同角三角函數(shù)關(guān)系，而上節(jié)課我們是通過勾股定理推出這個(gè)關(guān)系式的這個(gè)發(fā)現(xiàn)也啟示我們，可以通過研究單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來研究三角函數(shù)（板書）既然通過單位圓上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)同角三角關(guān)系，那么請(qǐng)

4、同學(xué)們?cè)O(shè)想一下，還可以利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)研究那類三角函數(shù)問題？通過單位圓上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系應(yīng)該可以研究?jī)蓚€(gè)角的三角函數(shù)關(guān)系請(qǐng)看圖形，具體地說，就是給出兩個(gè)角，并且設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為 我們研究的問題就是通過點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系研究角的三角函數(shù)關(guān)系（板書）這就是本節(jié)課我們將要研究的問題先請(qǐng)同學(xué)們回答：點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？ P(cos，sin)， (cos，sin) 二、合作探究 建構(gòu)數(shù)學(xué)（20分鐘）1首先研究一種特殊情況角的終邊相同請(qǐng)注意，我們現(xiàn)在研究問題的思路是要通過點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系角的三角函數(shù)關(guān)系，因此請(qǐng)同學(xué)們思考下面問題（3分鐘）（1）兩點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？（橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)相同）（2）角的

5、三角函數(shù)關(guān)系有什么關(guān)系？（提問并板書）（3）角間的關(guān)系可以表示為：；（約定，用表示）P(cos，sin)，(cos，sin)sin=sin，sin(2k+)=sin，cos=cos， cos(2k+)=cos，tan=tan， tan(2k+)=tan事實(shí)上，根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，如何兩個(gè)角的終邊重合，那么這兩個(gè)角的正弦、余弦和正切一定是分別對(duì)應(yīng)相等的關(guān)系，這是顯而易見的事實(shí)只是我們采取了通過研究單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系來發(fā)現(xiàn)這組公式，這也說明我們一開始的設(shè)想是有效的，下面我們繼續(xù)按照這種思路探討2我們?cè)賮硌芯恳粋€(gè)問題：角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱仍然請(qǐng)同學(xué)們思考這樣的三個(gè)問題（5分鐘）（1）兩點(diǎn)的坐

6、標(biāo)有什么關(guān)系？（橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)相反）（2）角的三角函數(shù)有什么關(guān)系？（sin=sin，cos=cos，tan=tan）（3）可以用角表示角嗎？如何表示？（） 由于表示的是與終邊相同的角，而在上面的研究中，我們已經(jīng)得到終邊相同的角的三角函數(shù)也分別相同這樣的結(jié)論，為了研究的方便，特別取k=0，有=。（4）你有什么新的發(fā)現(xiàn)？yxoPM提問并板書P(cos，sin)， (cos，sin)，sin=sin，=，sin(-)=-sin，cos=cos， cos(-)=cos，tan=tan， tan(-)=-tan， 現(xiàn)在我們把公式一、公式二的發(fā)現(xiàn)流程總結(jié)如下：角, 終邊關(guān)系點(diǎn)P, P坐標(biāo)關(guān)系角, 三角

7、函數(shù)關(guān)系角, 間的關(guān)系（新）三角公式厘清了這種探究的思路，我們可以繼續(xù)探究新的問題，請(qǐng)看學(xué)案上的第三個(gè)問題與第四個(gè)問題，請(qǐng)同學(xué)們先嘗試獨(dú)立解答，在相互交流（時(shí)間7分鐘左右）yxoPMM3若角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱（學(xué)生合作探究）sin()=sin，cos()=cos，tan()=tan.（公式三）yxoPMM4若角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（學(xué)生合作探究）sin(+)=sin，cos(+)=cos，tan(+)=tan.（公式四）請(qǐng)小組選派代表展示，并進(jìn)行答疑 根據(jù)學(xué)生完成情況，展示一名學(xué)生解答過程，并讓其敘述解題思路與過程，教師適時(shí)點(diǎn)評(píng)完善學(xué)生解答（畫板第4頁）現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們看大屏幕，這就是問題3-4的解答

8、過程，只要掌握了解決問題的方法，就可以很快地解決問題現(xiàn)在我們已經(jīng)完成了學(xué)案上四個(gè)問題的探究，（畫板第5頁）這就是我們新發(fā)現(xiàn)的三角公式這些公式有什么作用？我們通過幾個(gè)具體問題說明課堂練習(xí)：分別求的三角函數(shù)值（學(xué)生口答的同時(shí)顯示解答過程）我們發(fā)現(xiàn)，通過分別運(yùn)用上面四組公式，這四道三角函數(shù)求值問題最終都轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)問題，對(duì)于這一點(diǎn)，我們對(duì)照公式再作進(jìn)一步理解。四組公式中，等號(hào)右面都是角的三角函數(shù)，其中公式一反映的是終邊相同角的三角函數(shù)關(guān)系，比較特殊對(duì)于另外的三組公式，設(shè)想一下，如果是銳角，那么，+這三個(gè)角的終邊分別在什么位置？學(xué)生：三個(gè)角的終邊分別在第四、第二、第三象限師：也就是說，這些公式

9、可以把終邊在二、三、四象限角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)這樣看來，有了這四組公式，就可以把任意角的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為之間角的三角函數(shù)我們把這幾組公式統(tǒng)稱為誘導(dǎo)公式，角度很“任性”，但是經(jīng)過這些公式的“誘發(fā)引導(dǎo)”，都可以轉(zhuǎn)化為之間角的三角函數(shù)問題下面我們?cè)偻ㄟ^一個(gè)例題體會(huì)一下這些公式的作用三、數(shù)學(xué)運(yùn)用 鞏固新知（10分鐘）例1 求下列各三角函數(shù)值： ； ； .（以下為學(xué)生可能的解法）（提問并板書）（1）；提問：還有其它解法嗎？（時(shí)間關(guān)系，下面兩個(gè)問題不再展開解法探討）（2）；（3）；四、課堂小結(jié) 升華認(rèn)識(shí)（5分鐘）1從三角函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)的視角審視本課學(xué)習(xí)內(nèi)容任意角三角函數(shù)利用單位圓表示三角函數(shù)同

10、角三角函數(shù)關(guān)系兩角三角函數(shù)關(guān)系（四組公式）2誘導(dǎo)公式的發(fā)現(xiàn)流程角, 終邊關(guān)系點(diǎn)P, P坐標(biāo)關(guān)系角, 三角函數(shù)關(guān)系角, 間的關(guān)系誘導(dǎo)公式3借助單位圓記憶本課學(xué)習(xí)的四組公式，并體會(huì)它們各自的作用課后思考本課重點(diǎn)研究了終邊具有對(duì)稱關(guān)系的兩個(gè)角三角函數(shù)之間的關(guān)系，不僅發(fā)現(xiàn)了四組三角公式，而且總結(jié)出研究問題的方法，請(qǐng)思考：1利用本課研究?jī)山侨呛瘮?shù)關(guān)系的思維流程，你能發(fā)現(xiàn)更多的三角公式嗎？通過例1學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)，同一問題可以通過不同的途徑、使用不同的公式求解，這說明幾組公式之間存在內(nèi)在的聯(lián)系請(qǐng)思考2根據(jù)公式二、三、四中的任意兩組公式，你能推導(dǎo)出另外一組公式嗎？本課學(xué)習(xí)到此結(jié)束，下課板書設(shè)計(jì)第一組板書內(nèi)容：（使用后擦除）三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式通過研究單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)研究三角函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系角的三角函數(shù)關(guān)系P(cos，sin)， (cos，