矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用(張躍輝 上海交大研究生教材)第四答案

1、 第M習(xí)題及參考解答建議：1.弟50題往后屬補(bǔ)充內(nèi)容，不提供參考解答，不必布互?？刹徊贾玫念}目：30題的前兩個(前兩個矩陣的奇井值分解含無理教特征值)；35 題(2)用手算非常麻煩；37題的存在性需要矩陣函數(shù)/叩；46題的收斂性；有誤需要改正的題目有：將13題(3中的“變”改為“伸縮”并在敢后加入”試求一個正方形使得其在該矩 陣下的像仍是正方形;”在46題中的“均”前加“的?！?。0 /Oil-i I; (2) A = I -i 0 0 -1 / 1 0 0判斷下列矩陣能否西對角化，如能，則求-個西矩陣U、使UAU為對角形:V501一 71解：u =-1 i -i 0 0 i，UAU = dia

2、g (0,-y/2, v)；o=l 令 75非正規(guī)矩陣(AA #兒4*)，故不能對免化.證明止規(guī)矩陣與K共軛HSHYf相問的化岑空間.該結(jié)論般地成立嗎?證明：設(shè) Aa = 0,則 aMMa = 0.由于 A 正規(guī).故 AA = AA 故 a*AAaa = 0, 即(A-a)A-a = 0,從而A*a = 0.因此N(A) C從而等號成立。上述結(jié)論一般不成立。例如，8 4 = (2 )，則N(A) = (0,x)T : x e C 而 N(AT)= (xt)T txec.證明兩個lE規(guī)矩陣相似的充要條件足特征多項式相MJ.證明：必要性足顯然的?，F(xiàn)設(shè)正規(guī)矩陣1與S的特征多項式相M，則它們有相M的特

3、 征位，W此它們均相似于共M的對角矩陣，從而1與S彼此也相似。&AE Cnxn,證明A為正規(guī)矩陣= A有n個兩兩正交的単位特征向罱.證叫：充分性足顯然的?，F(xiàn)設(shè)A為止規(guī)矩陣，則存在矩陣U使得VAU = D為對角 矩陳。于HAU = DU,這農(nóng)明的列均為1的特征14堉.這些列足WW正交的單位向堉。設(shè)A)tn階正規(guī)矩陣，x足任意趙數(shù).證明A-xI也足正規(guī)矩陣；對于任何向覺rr,向堉Ax與的K度相A的任一特征向罱都足Aa的特征向罱；A的屬于不14特征俏的特征向WiE交.證明：(1) StUAU = D是對角矩陣，則UA-xI)U = D-xI也是對角矩陣；(Ax)9(Ax) = xAx = x9AA*

4、x =故向量 Ax 與 Ax 的長度平方相kl;設(shè)UAU = D為對角矩陣，則= IT也對角矩陣。故由AU = D，U知U 的毎-列也足，的特征向量。顯然(或由上題可得).設(shè)1足正規(guī)矩陣，證明A Hermite 3!陣 1的特征值全為實數(shù)；A &陣 a 1的特征伉的模都足1;A是冪等陣 o A的特征值只能足0與1;若A的全部特征值為Ai, A2,An,則AA-與A*A的全部特征值為|Ai|2, |A2|2,|An|2. 此結(jié)論對非正規(guī)矩陣成立嗎？證明:(1)見第一章習(xí)題20.設(shè)U 矩陣且VAU = D 對角矩陣。由于飯陣的乘積仍是W矩陣，故1 汽矩陣當(dāng)且僅當(dāng)D足矩陣當(dāng)且儀當(dāng)D的對角元素的模均為

5、1當(dāng)且漢當(dāng)A的特征值的模均 為1.設(shè)U是西矩陣且UAU = D S對角矩陣。故A &等矩陣當(dāng)且僅氣D足冪等矩陣 當(dāng)且僅當(dāng)D的對角元素均為1或0當(dāng)且僅當(dāng)A的特征值均為1或0.設(shè) U 足酉矩陣且 VAU = D = diag(Ai, A2,., An)足對角矩陣。則 UAU = D 故 U*AA*U = (U-AU)(UaAU) = DD=diag(|A2|2,|An|2) = U*AA*U.的特征值為(3 5)/2.此結(jié)論-般不成立.例如設(shè)a=(I i)，則=( J)的特征伉為而 設(shè)，1 =(設(shè)4足正規(guī)矩陣，證明若A是冪等陣，則A是Hermite矩陣；若 43 = A2,則 A2 = A;若A又

6、是Hermite陣，而且也是-，個冪幺陣(即Ak = /),則A是對合陣(即A2 = I). 證明：設(shè)漢是西矩陣且U-AU = D是對角矩陣。若= A由上題(3)知A的特征值只能是0,1.特別A的特征值均為實數(shù)，W此 W由上題(1)可知A足Hermite矩PF.此吋D3 = D2,因此D的對角元素均為1或0,故D2 = D,從而A2 = A;此吋A的特征依均為實數(shù)且只能足土1，因lit D2 = I.從而A2 = Z.8.證叫特征ff的極大極小定現(xiàn)：設(shè)A足Hermite矩陣，其全部特征值為Ai A2 - 入n，則：x AxAk = min max - WgCn丄 XXlin-* linA:Ax

7、=maxnun -w,ECn 0#r 丄 Wi XX ltn-A: lin-fc特別地，xAxAmax = An = max=max x Ax yXXxx=lxAxAmin = Ai = min=min x Ax.xo,xecnXXx*x=l證狐 只證第一個等號。設(shè)t/是四矩陣且t/Mt/= D = diag(An A2,., An) 實對角矩 陣，則A = UDU若rr/O,則x9Ax _ (VxDx) _ (U9xyD(U9x)xxxx記 U尊x = i/，則 x # 0 ?/ # 0.對給定的 wi,，wnk Cn 有maxy*V = l，l/ 丄 Wjmax0#T 丄 Wj -*max

8、V*V=1，1=V2=1=0,yi wi，lih-&A= (at)nxn是復(fù)矩陣，An A2，A為A的n個特征俏.證叫(Schur 不等式)f |A,|2 |ay|2;i=li,j=lA為正規(guī)矩陣 EIM2= E Ki=li，j=l證明：(1)由Schur 15三角化定理可知UAU = B足上三角矩陣，故UAAU = BB 從而AA與BB，有相M的跡.注意tr(克4*) = Ej=i ljl2-而BB，的第i個對角元素 n為略+略+記|，因此tr(BB*) 吣+硌+ 6Ll = E I入d2.故1=1i=lij=l且等號成立當(dāng)且漢當(dāng)B足對角矩陣當(dāng)且儀當(dāng)A足正規(guī)矩陣，即衍(2).ft接證叫實對稱

9、矩陣與(實)iH交矩陣可以西對角化，從而均為止規(guī)矩陣. 證明：山線性代數(shù)知實對稱矩陣可以正交對角化故可酉對角化。設(shè)A足正交矩陣，則存在西矩陣U使得UAU = T足上三角矩陣，但A也足西矩陣. 從而:r也是西矩陣，于是r只能是對角矩陣。設(shè)A是n階實矩陣，證明A足正規(guī)矩陣存在正交矩陣Q使得QtAQ = 皂A2人，其中每個次或者是1階實矩陣，或者是一個Schur型.證明：由于毎個Schur 均為正規(guī)矩陣，故充分性E顯然的。必要性。由實矩陣的三角 /Al*化定理(見第三章習(xí)題5)可知存在正交矩陣Q使得QTAQ =.= B.其礬、o AkJ 中Auli&l階實矩陣(即A的一個實特征俏)，A 5+1 i

10、) = 0，即A在k-維子空間Spanai,，叫上正定.(1)證明：平而上的可逆線性變換a足止:規(guī)變換 計算2階實正規(guī)矩陣1)將哪些lE方形變?yōu)榱司匦危?3證明矩陣y足非iE規(guī)矩陣，說叫它不能將任MiH方形伸縮為矩形；試求-個正 方形使得It在該矩陣下的像仍足正方形；試給出3階實正規(guī)矩陣的兒M意義.證明：(1)必要性。設(shè)可逆線性變換(7足iE規(guī)變換，則或荇7科兩個實特征倂和兩個jE 交的實單位特征向黽，因此由該二特征向鼠構(gòu)成的正方形被a變?yōu)殄危夯蛘遖有-對弗 實的特征伉，此時a正交相似于-個Schur型.因此它足-個位似變換與一個正交變換的合 成，從而將毎個正方形均變?yōu)檎叫?。充分性。Sa足

11、將某個止方形伸縮為矩形，于Srr將一對lE交向伸縮為另一對 止交向量AlQl,A2負(fù).由于a可逆./0, M此a有2個iE交的單位特征向罱a，/9,故是 止規(guī)變換.如果a足將所有正方形伸均變?yōu)檎叫?，則a將任意標(biāo)準(zhǔn)正交基a，/?變?yōu)閷Φ?長的正交向量a(a)，a(外 故a(a,0) = (a(a),a(/?) = (a，淋 Jt中矩陣A的兩列等長且正 交(因為a(a)與7(/?)等長且正交)，于是6),|A|=(-l- 10.3)T).成者。將某lE方體伸縮為長方體，或者a將某平面7T上的所有正方形仍變?yōu)?T上的 正方形而將-面在7T上的所有正方體均變?yōu)殚L方體。設(shè)P，Q各為m階及n階方科:，證

12、明：若m + n階方陣1 =)是西矩陣，則P, Q也矩陳，且B是零矩陣.證明：設(shè)A足內(nèi)矩陣.則其每列均為單位向貴，W此5 = 0,從而A足分塊対角W矩 陣，故毎個對佑塊均為ffl矩陣.證IlJj Sylvester慣性定律.即W個Hermite矩陣合M它們具有相M的慣性措標(biāo)，即相M的正負(fù)特征值(因此0特征值)的個數(shù).證明：必要性足顯然的，下證充分性、設(shè)兩個Hermite矩陣A，丑具釘相M的慣性指標(biāo)， 即相RJ的止負(fù)特征值，于足0作為它們的特征俏也存相M的電數(shù)(0不足特征俏時電數(shù)為0),W此它們均合Id于相M的對角矩陣K中分別足它們的正、負(fù)慣性指 標(biāo),r =P + g為它們共M的秩.山于合M關(guān)系

13、足等價關(guān)系.故A與B也合kl。已知正交矩W 4 = 1 222 J農(nóng)示 個旋轉(zhuǎn)，求K旋轉(zhuǎn)軸與旋轉(zhuǎn)/fj.解：由于|XE-A = (X- 1)(A -所以4在正交相似變換下的sa單形式為求川對應(yīng)于特征值1的篳位特征向鼠為a = (Ll,l)r?此即為旋轉(zhuǎn)軸.站然旋轉(zhuǎn)角度為?./ -1 0 若3x3矩陣S表示-個反射，則存在一個正交矩陣(7,使得CSC =01 0.VoH1-9=s4 18-4時，求這樣的矩陣C.解：可直接驗證S足正交矩陣，又足對稱陣，因而定滿足爐=E、它的特征伉只 可能是A = 1,又W為S有完全的正交特征向景組，所以它是一個反射.計算得C = /2 2 -1 |2 -12，C-

14、1SC = diag(l,l,-l).1 -2 -2 /18.求題1屮所有i規(guī)矩陣的分解.證明譜分解定理(定理4.2.1)中的唯-性.證明：設(shè)A為-個n階可對角化矩陣，A的譜為a(A) = Ai, A2,Aa,其屮A,的 重數(shù)為ki.需證明下述6個n階矩陣A,-、PS的唯-性，其屮Pl = Pi,PiPj = 0(i / = Ir(Pi) - ki,l i 3；= n 且 A =這實際上足證明每個主蔣等矩陣Pi =內(nèi)1苑+卵苑十+氣以么 與諸特征向 M 1 j 1 e CmKn,m 1酉對角化可A =其中A = diag(A1,.-.,An)足山A的特征值按模長大小排列的對角矩陣。令P = d

15、iag(dir.-,dn), Jt屮若= 0,則di = 1，否 則 dt = /|,則 D*D = I,A = UW(DA)U.令 V = DU，Y； = PA,即得 A 的奇異值分 解 A = Va。設(shè)t4 = UDV*足m x n妍陣A的一個奇異俏分解，r = r(A),證明酉矩陣U的前r列足A的列空間的-組標(biāo)準(zhǔn)正交堪；酉矩眸V的前r列是A的行空間的組標(biāo)準(zhǔn)正交基;1的零空問的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基./ 1 0 -1 并由此計- 4 = I 0 10 I的個T空間.證明:由V與C7的構(gòu)成即得。R(A)的為A的任佝兩列：N(A)的一組基為(1,0,1)T; R(At)的-紐基為A 的任何兩行；N(A

16、T)的一組基為(1,1，1)T設(shè)A Sn階矩陣A的一個特征值，證明 (A) |A| amin(A).換言之，矩陣的最 大奇異值與最小奇異伉足其特征值的模的上下界.證叫：對Jordan塊證叫即可。設(shè)災(zāi) C_r = r(A),t(l i r)是 A 的非零奇異值.證叫 tr(44) =證明：由A = UDV即得AA = VD2V.因此(1 i 1 = rm* + y0 求 A 的 F-范數(shù). 解：|4|f = |x|2|M2 + M2|/?|2.證明矩陣A可以對角化存在Hermite正定矩陣P使得PAP足止:規(guī)矩陣.證明：充分性S顯然的。必要性。設(shè)1可以對角化，即存在可逆矩陣Q使U QXAQ =D

17、足對角矩陣。由于Q可逆.故其極分解Q = PU中的矩陣P正定，即U-PAPW = D，因此足正規(guī)矩陣.A = Ao = Q0R0是n階矩陣A的Q/?分解.歸納地定義Am+1 = RQm. 證明毎個矩陣均與A = A)相似，并且當(dāng)A的特征值的摸均不相M吋，矩陣序列-收斂于一個與A西相似的上三角矩陣.如果1有電特征值，此結(jié) 論還成立嗎？證明：巾于Am = QmRm足人、的正交三角分解，故R,n = QAmi所以Am+1 = RmQm = QAmQm與Am酉相似，因此矩陣序列Ao,Au，人，.中的所有矩陣均酉相 似。般不成立，如矩陣）。研究止交三角分解，濟(jì)分解，極分解和奇異值分解之間的關(guān)系.解:略。(b)x = ()-仔細(xì)研究例4.6.3的計算與證叫（參考K題，Vf求第二章第9題中的W個了空間的交. 解：見第二章第9題的參考答案。a ABeCmxn.證明：xeN(A)nN(B) 證明：顯然。max丄 Wj lin-kminOz 丄 u，j lin-k證明奇異值的極大極小定理：設(shè)的奇異值為a2-.an,則:0k = mill WjCnlin-fc特別地，tTmax =(7i= max 11穴112 =