自動控制原理-(2)課件

1、第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第一節(jié) 導言第二節(jié) 自動控制元件運動方程的建立第三節(jié) 小偏差線性化第四節(jié) 傳遞函數(shù)第五節(jié) 典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的基本因子第六節(jié) 結(jié)構(gòu)圖及其等效變換第七節(jié) 結(jié)構(gòu)流圖及梅森增益公式第八節(jié) 開環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)傳遞函數(shù) 導言 在自動控制理論中，數(shù)學模型有多種形式。時域數(shù)學模型: 微分方程，差分方程和狀態(tài)方程；復域數(shù)學模型: 傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖；頻域數(shù)學模型: 頻率特性。第二節(jié) 自動控制元件運動方程的建立一.例題： 例一 線性元件微分方程 下圖是由電阻R，電感L，電容C組成的串聯(lián)電路，其輸入量為電壓 ，輸出量為電壓 ，試列寫其運動方程。 解：根據(jù)克希荷夫第二定律有 （1）電容兩端

2、的電壓為兩端對t取導數(shù)兩端對t取導數(shù)得或式中解: 設質(zhì)量m相對于初始狀態(tài)的位移，質(zhì)量，加速度分別為 由牛頓運動定律有 例二 下圖為彈簧質(zhì)量阻尼器機械系統(tǒng)位移。試列寫質(zhì)量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的運動方程。 式中 是阻尼器的阻尼力，其方向與運動方向相反，其大小與運動速度成比例， 是阻尼系數(shù)。 是彈簧彈性力，其方向亦與運動方向相反，其大小與位移成比例， 是彈性系數(shù)。將 與 代入式（1）中，經(jīng)整理后即得該系統(tǒng)的微分方程: 綜上，列寫元件微分方程的步驟可歸納如下: 根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用，確定其輸入量和輸出量。 分析元件工作中所遵循的物理規(guī)律或化學規(guī)律，列寫出相應的微分方

3、程。 消去中間變量，得到輸入量和輸出量之間的微分方程，便是元件時域的數(shù)學模型。一般情況下，應將微分方程寫為標準形式，即與輸入量有關的項寫在方程的右端，與輸出量有關的項寫在方程的左端，方程兩端變量的導數(shù)項均按降冪排列。 二. 線性系統(tǒng)的特性1. 定義： 用線性微分方程描述的元件或系統(tǒng)。2. 特性： 可運用疊加原理， 即具有可疊加性和均勻性（或齊次性）。 3. 線性系統(tǒng)的疊加原理: 兩個外作用同時加于系統(tǒng)所產(chǎn)生的總輸出，等于各個外作用單獨作用時分別產(chǎn)生的輸出之和，且外作用的數(shù)值增大若干倍時，其輸出亦相應增大同樣的倍數(shù)。 線性系統(tǒng)的疊加原理是對線性系統(tǒng)進行分析和設計時有多個外作用的情況下的重要方法。

4、第三節(jié) 小偏差線性化 1. 定義: 將非線性微分方程轉(zhuǎn)化為線性微分方程的方法。2. 基本假設: 系統(tǒng)中的變量在某一工作點附近作微小變化。 非線性特性在該工作點可導。 在此條件下，非線性的特性曲線可用該工作點的切線所代替，變量的增量之間稱為線性函數(shù)關系 3. 線性化的方法: 把非線性函數(shù)在工作點 附近展成泰勒級數(shù)，略去高次項，便可以得到一個以增量為變量的線性函數(shù)，即 由于 很小，其二次方及二次方以上各項可略去，略去之后得同理可得，多變量非線性函數(shù)在工作點 附近的線性增量函數(shù)為 小偏差線性化特別適合于具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)，其實質(zhì)是在一個很小的范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來代替。第四節(jié) 傳遞函

5、數(shù) 導入: 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學模型。 經(jīng)典控制理論的主要研究方法頻率法和根軌跡法都是建立在傳遞函數(shù)的基礎之上的。 利用傳遞函數(shù)不必求解微分方程就可以研究初始條件為零的系統(tǒng)在輸入信號作用下的動態(tài)過程 利用傳遞函數(shù)還可以研究系統(tǒng)參數(shù)變化或結(jié)構(gòu)變化對動態(tài)過程的影響，因而使分析系統(tǒng)的問題大為簡化 另一方面，還可以把對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對系統(tǒng)傳遞函數(shù)的要求，使綜合設計的問題易于實現(xiàn)，由于傳遞函數(shù)的重要性，我們將深入進行研究。 傳遞函數(shù)的定義 在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比設線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述: 式中， 是系統(tǒng)輸出量， 是系統(tǒng)輸入量，

6、(i=1,2, ,n)和 (j=1,2, ,m)是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關的常系數(shù)。 式中， 是系統(tǒng)輸出量， 是系統(tǒng)輸入量， (i=1,2, ,n)和 (j=1,2, ,m)是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關的常系數(shù)。 式中， 是系統(tǒng)輸出量， 是系統(tǒng)輸入量， (i=1,2, ,n)和 (j=1,2, ,m)是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關的常系數(shù)。 式中， 是系統(tǒng)輸出量， 是系統(tǒng)輸入量， (i=1,2, ,n)和 (j=1,2, ,m)是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關的常系數(shù)。設r(t)和c(t)及其各階導數(shù)在t=0時的值均為零，即零初始條件，則對上式中各項分別求拉氏變換，并令 可得s的代數(shù)方程為于是，由定義得系統(tǒng)傳遞函數(shù): （

7、mn且所有系數(shù)均為實數(shù)） 物理含義: 傳遞函數(shù)是在零初始狀態(tài)下定義的。 控制系統(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義: 二、 是指輸入量加入系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即輸出量及其各階導數(shù)在t=0時的值也為零，現(xiàn)實的工程控制系統(tǒng)多屬于此類情況。 一、 是指輸入量是在t0時才作用于系統(tǒng)，因此，在t=0時，輸入量及各階導數(shù)均為零； 因此，傳遞函數(shù)可表征控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，并用以求出在給定輸入量時系統(tǒng)的零初始條件響應，即由拉氏變換的卷積定理，有 二. 性質(zhì)傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式函數(shù)，具有復變函數(shù)的所有性質(zhì)。(2)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量無關，也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息。(3)傳

8、遞函數(shù)與微分方程有相通性，即傳遞函數(shù)中的s與微分方程中的 有相通性。(4)傳遞函數(shù) 的拉氏變換是脈沖響應 傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。 三. 例題 例一. 試求如圖所示超前網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)，該電路的輸入量是 ，輸出量是 。 解: 應用回路電流法對電路列寫下面回路電壓方程:對以上三式兩端取拉氏變換，并令初始條件為零，得由以上三式聯(lián)立，消去中間變量可得式中 例二 求取無源網(wǎng)絡(通常是由電阻，電容和電感組成)的傳遞函數(shù)。解: 可以用兩種方法求取: 一. 先列寫網(wǎng)絡的微分方程，然后在零初始條件下進行拉氏變換，從而得到輸出變量與輸入變量之間的傳遞函數(shù)。 二. 引用復數(shù)阻抗直接列寫網(wǎng)絡的代數(shù)方程，然后求其

9、傳遞函數(shù)。 用復數(shù)阻抗表示電阻用R，電容C的復數(shù)阻抗為1/Cs，電感L的復數(shù)阻抗為Ls。右圖可直接寫出電路的傳遞函數(shù)為:LRCi(t)Z1Z2UrUc2.4.2 傳遞函數(shù)的極點與零點 分母多項式?jīng)Q定傳遞函數(shù)的 個極點的值，故稱為傳遞函數(shù)的極點多項式； 分子多項式?jīng)Q定傳遞函數(shù)的 個零點的值，故稱為傳遞函數(shù)的零點多項式。 這些極點和零點都可以是實數(shù)或(共軛)復數(shù) 另外還有1個實數(shù)比例系數(shù) 。 以上 個常數(shù)完全確定了傳遞函數(shù) ，所以傳遞函數(shù)緊湊地包含了一個動態(tài)對象的全部動態(tài)性質(zhì) 這些極點和零點中也可以有重極點和重零點，但目前我們只就極點互相不同、零點也互相不同的情形考察它們對于對象的運動的影響。傳遞

10、函數(shù)的極點對于對象運動的影響: 自由運動的模態(tài)取決于傳遞函數(shù)的分母多項式 即傳遞函數(shù)的極點決定自由運動的模態(tài)，由此可見極點對于研究系統(tǒng)運動的重要。 設某對象的傳遞函數(shù)是設輸入量為 即 則其中 和 都是實常數(shù) 求得輸出量為 前兩項函數(shù)是由輸入量直接產(chǎn)生的“強迫運動”，即由輸入量“傳遞”過來的運動，或者說是受輸入量直接“控制”的運動；后兩項函數(shù)則是輸入量 中并不存在的函數(shù)類型，它們是與對象的傳遞函數(shù) 的極點對應的模態(tài)，它們是由對象本 身的動態(tài)性質(zhì)決定的自由運動。 這兩項函數(shù)的幅度表達式中含有 和 ，表明它們還是受到輸入量的制約，輸入量的作用是把它們“激發(fā)”出來。 可以說，傳遞函數(shù)的極點的作用是把對

11、象固有的運動模態(tài)在輸出量中“生成”出來。 傳遞函數(shù)的零點對于對象運動的影響:設兩個對象的傳遞函數(shù)分別是設它們的輸入量都是單位階躍函數(shù) ，可以求得它們的輸出量分別是 這表明，輸出量 和 所含的函數(shù)類型是一樣的，但各函數(shù)的幅度不同。 由此可見，一個對象的傳遞函數(shù)的零點的作用是調(diào)節(jié)對象的各個自由運動模態(tài)在輸出量中的“比重”。 從工程角度看，不能認為一個對象的動態(tài)性質(zhì)唯一地或主要地決定于傳遞函數(shù)的極點，必須注意到零點的作用。圖2.5.3 零點對動態(tài)性質(zhì)的影響設某對象的傳遞函數(shù)為 傳遞函數(shù)的零點能“阻斷”輸入量中某一成分的傳遞:其中 ?？梢郧蟮迷诹愠踔迪碌妮敵隽繛樵O輸入量 傳遞函數(shù)的極點生成輸出量中的某

12、些成分，而傳遞函數(shù)的零點阻斷輸入量中的某些成分。 現(xiàn)在設傳遞函數(shù)的零點恰好與輸入量象函數(shù)的極點相重合，即有 有 這意味著輸入量中的一個成分 被傳遞函數(shù)的零點阻斷而不能“傳遞”到輸出端。第五節(jié) 典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的基本因子 一. 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù):1. 比例環(huán)節(jié) 時間域里，輸入、輸出函數(shù)成比例，可表示為 設初始條件為零，將上式兩邊進行拉氏變換,得例: 如圖所示的運算放大器,其中 ui(t) 輸入電壓 u0(t) 輸出電壓 R1,R2 電阻例: 如圖所示齒輪傳動副其中: ni(t) 輸入軸轉(zhuǎn)速; n0(t) 輸出軸轉(zhuǎn)速; z1,z2 齒輪齒數(shù)。 已知 ni(t) z1=n0(t) z22. 一階慣

13、性環(huán)節(jié) G(s)=1/(Ts+1) 在時間域里，如果輸入、輸出函數(shù)可表達為如下一階微分方程 例: 如下圖所示無源濾波電路，其中 輸入電壓 ； 輸出電壓； R 電阻； C 電容。例: 如下圖所示彈簧阻尼系統(tǒng)，其中 xi(t) 輸入位移； x0(t) 輸出位移； k 彈簧剛度； f 阻尼系數(shù)。例: 右圖所示永磁式直流發(fā)電機，其中 輸入轉(zhuǎn)角； 輸出電壓。 實際上，相同量綱的理想微分環(huán)節(jié)是難以實現(xiàn)的，常遇到的是下述的近似微分環(huán)節(jié)。 例: 如下圖無源微分網(wǎng)絡，其中 R 電阻； C 電容； 輸入電壓； 輸出電壓。4. 積分環(huán)節(jié) G(s)=K/s (其中K為常數(shù))例: 下圖所示有源積分網(wǎng)絡，其中 輸入電壓；

14、 輸出電壓； R 電阻； C 電容。5. 二階振蕩環(huán)節(jié) 例: 如下圖所示無源 RCL網(wǎng)絡，其中 輸入電壓； 輸出電壓； L 電感； R 電阻； C 電容。例: 如下圖所示質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)，其中 輸入外力； 輸出外力； M 質(zhì)量； k 彈簧剛度； f 粘性阻尼系數(shù)。質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng) 應注意，同一物理系統(tǒng)可以有不同形式的數(shù)學模型，而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學模型。 我們稱具有相同數(shù)學模型的不同物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。 外力引起的系統(tǒng)運動與外電壓引起的系統(tǒng)運動這一相似系統(tǒng)又可稱為力電壓相似系統(tǒng)。 在相似系統(tǒng)系統(tǒng)中占據(jù)相似位置的物理量稱為相似量。 數(shù)學模型對系統(tǒng)的研究提供了有效的數(shù)學工具。相似系

15、統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關系。利用相似關系的概念可以用一個易于實現(xiàn)的系統(tǒng)來研究與其相似的復雜系統(tǒng)。根據(jù)相似系統(tǒng)的理論出出現(xiàn)了仿真研究法。第六節(jié) 結(jié)構(gòu)圖及其等效變換 一. 結(jié)構(gòu)圖的基本概念1. 信號線: 由帶箭頭的直線表示，箭頭方向表示信號的傳遞方向，在直線旁標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。2. 方框: 表示對信號進行的數(shù)學變換。方框中寫入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，如圖所示。顯然，方框的輸出變量等于方框的輸入變量與傳遞函數(shù)的乘積。X(s) , x(t) G(s)X1(s)X2(s)X2(s)=G(s)X1(s)3. 比較點(綜合點): 表示對兩個以上的信號進行加減運算，“+”號表示相加，“-”號

16、表示相減，“+”號可省略不寫，如圖所示，其信號關系為4. 引出點(分支點): 表示信號引出或測量的位置。從同一點引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同，符號如圖所示。X1(s)X3(s)X2(s)X3(s)=X1(s) X2(s)X(s)X(s) 二. 結(jié)構(gòu)圖的繪制例: 試畫出所示型濾波器的結(jié)構(gòu)圖，其中u1為輸入量，u2為輸出量。解: 根據(jù)歐姆定律及克希荷夫定律，可得如下方程:對上述方程兩端進行拉氏變換，并令初始條件為零，得根據(jù)(1) (5)式畫出每個方程的結(jié)構(gòu)圖如下:根據(jù)(1) (5)式畫出每個方程的結(jié)構(gòu)圖如下:按照信號傳遞順序把上頁圖中各部分連接起來，得型濾波器的結(jié)構(gòu)圖如下:結(jié)構(gòu)圖繪制說明:

17、繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖時，首先考慮負載效應分別列寫各元件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框圖表示； 然后，根據(jù)各元件的信號流向，用信號線依次將各方框連接便得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 因此，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖實質(zhì)上是系統(tǒng)原理圖與數(shù)學方程兩者的結(jié)合，即補充了原理圖所缺少的定量描述，又避免了純數(shù)學的抽象運算，從結(jié)構(gòu)圖上可以用方框圖進行數(shù)學運算，也可以直觀了解各元件的相互關系及其在系統(tǒng)中所起的作用，更重要的是從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可以方便地求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。所以，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學模型。 三. 結(jié)構(gòu)圖等效變換1. 串聯(lián)結(jié)構(gòu)圖的等效變換:2. 并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖的等效變換:3. 加減點移動法則:加減點后移情況 加減點前移情況

18、4. 引出點移動法則:引入點后移情況 引入點前移情況 5. 消去反饋法則:式中“+”號對應負反饋情況，“-”號對應正反饋情況。 強調(diào)：結(jié)構(gòu)等效變換法重點在于等效，即變換前輸入量與輸出量之間的傳遞函數(shù)保持不變。例 試利用結(jié)構(gòu)圖等效變換法則求圖中u3對u1的傳遞函數(shù)。解 分別應用結(jié)構(gòu)圖等效變換法對圖進行等效變換，其過程如下最后得型濾波器的傳遞函數(shù)為第七節(jié) 信號流圖及梅森增益公式信號流圖的基本概念 導入:信號流圖與結(jié)構(gòu)圖很相似，它是以圖形的形式表示一組代數(shù)方程所描述的系統(tǒng)變量之間的關系。若代數(shù)方程組為 由節(jié)點和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡; 節(jié)點代表方程式中的變量，以小圓圈表示； 支路是連接兩個節(jié)點的

19、定向線段，用支路增益表示方程中兩個變量的因果關系，因此支路相當于乘法器。例如代數(shù)方程組為其信號流圖如圖所示 常用術語：輸入節(jié)點 在輸入節(jié)點上，只有信號輸出的支路（即輸出支路），而沒有信號輸入的支路（即輸入支路），它一般代表系統(tǒng)的輸入變量，故也稱輸入節(jié)點。輸出節(jié)點 在輸出節(jié)點上，只有輸入的支路而沒有輸出支路，它一般代表系統(tǒng)的輸出變量。混合節(jié)點 在混合節(jié)點上，既有輸入支路又有輸出支路。若從混合節(jié)點引出一條具有單位增益的支路，可將混合節(jié)點變系統(tǒng)的輸出變量 前向通路 信號從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點傳遞時，每個節(jié)點只通過一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘積，稱前向通路總增益，一般用 表示。 回路

20、 起點和終點在同一節(jié)點，而且信號通過每一節(jié)點不多于一次的閉合通路稱為單獨回路，簡稱回路。回路中所有支路增益之乘積叫回路增益，用 表示。 不接觸回路 回路之間沒有公用節(jié)點時，這種回路叫做不接觸回路。在信號流圖中，可以有兩個或者兩個以上不接觸的回路。梅森(S. J. Masn) 增益公式 為從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的傳遞函數(shù)(或總增益)； 為從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通路總數(shù)； 為從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的第前向通路總增益稱為流圖特征式例: 試求圖中所示各信號流圖中的源點到匯點的增益G。解: 1) 對于圖(a),運用梅森公式，有2) 對下圖，運用梅森增益公式，有對于圖(c)，運用梅森增益公式，有4) 對于

21、圖(d)，運用梅森增益公式，有 信號流圖的繪制: 信號流圖可以根據(jù)微分方程繪制，也可以從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖按照對應關系得到。 (1) 由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖 對于含有微分或積分的線性方程，一般應通過拉氏變換，將微分方程或積分方程變換為s的代數(shù)方程后再畫信號流圖。 繪制信號流圖時，首先對系統(tǒng)的每個變量指定一個節(jié)點，并按照系統(tǒng)中變量的因果關系，從左到右順序排列； 然后，用標明支路增益的支路，按照數(shù)學方程式將各節(jié)點變量正確連接，便可得到系統(tǒng)的信號流圖。 (2) 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖 結(jié)構(gòu)圖中，由于傳遞的信號標記在信號線上，方框則是對變量進行變換或運算的算子。 因此，從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖時，只需在結(jié)構(gòu)圖的信號線上用小圓圈標志出傳遞的信號，便可得到節(jié)點； 用標有傳遞函數(shù)的線段代替結(jié)構(gòu)圖中的方框，便得到支路，于是，結(jié)構(gòu)圖