經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)之導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第一單元函數(shù)的單調(diào)性一、學(xué)習(xí)目標(biāo)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解函數(shù)單調(diào)性的概念，同時還要掌握利用一階導(dǎo)數(shù)對函數(shù)在某一 區(qū)間上的單調(diào)性的判別方法.二、內(nèi)容講解1.本章概述從這一講開始講第3章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用.在上一章的總結(jié)中指出，導(dǎo)數(shù)是特別重要的，不僅在 本課程中有很多應(yīng)用，而且在將來的工作中也有很多應(yīng)用.這一章中，主要講導(dǎo)數(shù)在兩方面的應(yīng)用：.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)時的應(yīng)用；2.導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的一些應(yīng)用例1股市及股市曲線在生活中，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，同學(xué)們或多或少都會接觸股市.在股市上，人們特別關(guān)注 股市曲線，關(guān)心在哪一段時間股市在上升，哪一段時間股市會下降；或者在哪一個時間達(dá)到 峰值，哪一

2、個時間達(dá)到低谷，低谷的值是多少？產(chǎn)量生產(chǎn)曲線投入例2生產(chǎn)場景及生產(chǎn)曲線在工業(yè)管理中，關(guān)心投入 與產(chǎn)量之間的關(guān)系，產(chǎn)量 隨投入變化的情況，何時 達(dá)到最高.在下兩講中就是要討論這個問題.單調(diào)性判別下面首先討論（一）定義3.1 函數(shù)的單調(diào)性. 什么叫函數(shù)的單調(diào)性？經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用節(jié)中定義函數(shù)的單調(diào)性為：一個函數(shù)在一個區(qū)間之間隨著自變量的增加，函數(shù)值也在增加，叫做單調(diào)增加的；如果隨著自變量的增加，函數(shù)值卻在減少，叫做單調(diào)減少的.從函數(shù)本身或圖形，都能判斷函數(shù)的單調(diào)性, 先考察y =x2,它的圖形是拋 物線.在x0處，函數(shù)單調(diào)上升； 在x0這一邊的每一點(diǎn)處都 有切線時，切線的特征是：切

3、線與x 軸正向的夾角一定小于90 .當(dāng)在x0時，y = 2xA0 當(dāng)x0時，y = 2x0,則f(x)在a, b上單調(diào)增加； 如果x(a, b)時，f (x)U)0,則f (x)在a, b上單調(diào)增加(不減)；(2)如果xa, b)時，f(x)0, x三(-00 ,+ 00 ),且 x0 0y在(-00,+ 00)上單調(diào)增加.從圖形上可以看出，這個函數(shù)的確在整個定義域上是單調(diào)增加的.例2求y=2x3-9x2+12x-6的單調(diào)區(qū)間.分析首先求出定義域，再利用定理 3.1 (利用導(dǎo)數(shù)作為工具)判斷該函數(shù)在哪個范圍 內(nèi)單調(diào)增加，哪個范圍內(nèi)單調(diào)減少，即判斷在哪個范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)大于0,在哪個范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)小于0.

4、因此，要求出使導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)(分界點(diǎn))，再作判斷.解：: 定義域?yàn)?-巴+8)，y= 6x2 - 18 x + 12;x2- 3 x + 2 = 0; x - 1)( x - 2) = 0; x1 = 1,x2 = 2，單調(diào)增加區(qū)間為(-0,1, 2, +);單調(diào)減少區(qū)間為1, 2.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在右圖形中X1 = 1, X2 = 2是分界點(diǎn)，在區(qū)間(-0,1內(nèi)，函數(shù)是單調(diào)增加的；而在區(qū)間1 , 2內(nèi)，函數(shù)單調(diào)減少；在區(qū)間2, +)內(nèi)，函數(shù)是單調(diào)增加的.X例3求 1+x的單調(diào)區(qū)間.(1 X)- X 1y 二一、2 二二一、2解：丁定義域?yàn)?-,-1),(-1 , +),(1

5、 X) (1 X)單調(diào)增加區(qū)間為(-,-1), (-1 , +)從圖形中看出，該函數(shù)確實(shí)在整個定義域內(nèi)是單調(diào)增加的.歸納：求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：確定f(X)的定義域；求f(X)= 0和f (X)不存在的點(diǎn)，并組成若干子區(qū)間;確定f (X)在每個子區(qū)間內(nèi)的符號，求出 f (X)的單調(diào)區(qū)間.一5經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用例 4 當(dāng) x 0 時，試證 ln(1+x)x-x .分析先建立一個函數(shù)F(x),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性討論的問題；再利用導(dǎo)數(shù)判斷F(x)的單調(diào)增加性，得到要證明的結(jié)論.1x21F (x)=Y1 x)=0證：F(x)=ln(1 + x)-(x-x2):1+x1 + x22一

6、 F(x)單調(diào)增力口.又 F(0)=0,故當(dāng) x0 時，F(xiàn)(x)0; gp ln(1+x)x-x2 .四、課堂練習(xí)：求函數(shù)f(x)=x-ex的單調(diào)區(qū)間.分析：求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟為：1.確定函數(shù)f (x)的定義域.求出函數(shù)f (x)在其定義域內(nèi)f x) = 0的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，將這些點(diǎn)由小到大排列，把定義域分 成若干子區(qū)間.確定f (x)在每個子區(qū)間內(nèi)的符號.通常的做法是：在該子區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)x0,判定f(x。)的符號，由于f (x)在該子區(qū)間內(nèi)單調(diào)，故 f (x0)的符號就是f (x)在該子區(qū)間內(nèi)的符號.根據(jù)每個子區(qū)間內(nèi)f x)的符號，確定f (x)的單調(diào)增減性，得到 f (x

7、)的單調(diào)區(qū)間.利用哥函數(shù)和指數(shù) 函數(shù)求導(dǎo)公式求之.(1)備函數(shù)求導(dǎo)公式：若 y = x,則丫x ； (2)指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式：若 y=ex,則y =ex.解: 因?yàn)?f(x)=x-ex的定義域?yàn)?-*,+ 厘)，且 f (x)=(x-ex) =x - (ex) =1-ex。五、課后作業(yè).已知函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)數(shù)如下，問函數(shù)在什么區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加？(D f(x)=x(x-2); (2) f(x)=(x+1)2(x+2); (3) f(x)=x3(2x-1); (4) f x)=-2-j(x 1).求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1) f(x)=x2-5x+6; (2) f(x)=1; (3) f(x)

8、=x4-2x2+1; (4) f(x)=x2-lnxx6經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用11）（暝2）；一2,+凱 S0,2，F(xiàn) （-）.2.（.,|5 、是單倜減少區(qū)間，,產(chǎn))是單調(diào)增加區(qū)間；(2)(哈0),(0,g)是單調(diào)減少區(qū)間；(3)(%1, 0,1是單調(diào)減少區(qū)間，1，0 , 1,十是單調(diào)增加區(qū)間；(4) (Q2是單調(diào)減少區(qū)間，龍產(chǎn))是單調(diào)增22第二單元函數(shù)極值第一節(jié)函數(shù)極值及存在條件一、學(xué)習(xí)目標(biāo)通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，理解極值概念和極值存在的必要條件，掌握極值的判別方法和極值的求 法.二、內(nèi)容講解(1)極值概念定義3.2 極值概念設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0的某鄰域內(nèi)有定義.如果對該鄰域內(nèi)的任意

9、一點(diǎn)x (X*X0),恒有f(x)f(X0),則稱f(X0)為函數(shù)f(x)的極大(小)值,稱X0為函數(shù)f(x)的極大(小)值點(diǎn).函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).大家看下面這個圖形：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用0 a x2 與d x在一個坐標(biāo)平面中畫出一條曲線，即給出一個函數(shù)，并找出一些特殊點(diǎn)X1, X2, X3, X4,X5和兩個端點(diǎn).哪些點(diǎn)是極大值點(diǎn)呢？可以看到X1是極大值點(diǎn)，X4也是極大值點(diǎn).端點(diǎn)b是不是極大值點(diǎn)呢？極大值點(diǎn)是指它的函數(shù)值要比周圍的值都大，而端點(diǎn)b的右邊是沒有函數(shù)值，所以它不是極大值點(diǎn).再找一找哪些是極小值點(diǎn)？X2是一個極小值點(diǎn)，

10、X5也是一個極小值點(diǎn).X3是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)呢？不是，它不是極值點(diǎn)，因?yàn)檎也坏揭粋€小范圍，使它的函 數(shù)值成為最大或最小.(2)極值求法下面利用這個圖形來解決怎樣求極值點(diǎn)的方法.分析函數(shù)在極值點(diǎn)處具有什么特征.X1是極大值點(diǎn)，曲線在這一點(diǎn)處是較光滑的，切線是存在的，而且切線是一條水平線；X5是極小值點(diǎn)，曲線在這一點(diǎn)處也是較光滑的，切線也是存在的，也是一條水平線.由此可 得到，若曲線在一點(diǎn)處是較光滑的，而這一點(diǎn)是極值點(diǎn)，那么它的切線一定是水平的，即它 的導(dǎo)數(shù)為0.定理3.2 極值點(diǎn)必要條件如果點(diǎn)X0是函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)，且f(X0)存在，則f(X0)=0使f(X0)=0的點(diǎn)，稱為函數(shù) f(

11、X)的駐點(diǎn).8經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用定理3.2表示，如果一個點(diǎn)是極值點(diǎn)，而且在可導(dǎo)的條件下，這個點(diǎn)一定是駐這樣，極值點(diǎn)可以在駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)處找到.說明：1.若f(X0)不存在，則X0不是f(x)的駐點(diǎn).工定理3.2是極值存在的必要條件.根據(jù)剛才的分析，函數(shù)的極值點(diǎn)或者是不可導(dǎo)點(diǎn)，或者是駐點(diǎn).但是，駐點(diǎn)并不一定是極值點(diǎn).例如：函數(shù)y=x3在xo=0處，f(xo)=0,由圖可知，xo=0不是極值點(diǎn).因此，請大家想一想：極值存在的充分條件是什么？回答這個問題之前，我們先借助于幾何直觀來分析.從這個圖形中很容易的看出，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處達(dá)到極大, x0是極大值點(diǎn).當(dāng)然，函數(shù)在這一點(diǎn)處切

12、線是存在的，函數(shù)在三?(飛)=這一點(diǎn)是可導(dǎo)的,而且滿足極值的必要條件f (x0)=0 .)特征：點(diǎn)x0的左邊曲線是上升的，即導(dǎo)數(shù)值大于0；右邊尸曲線是下降的，即斜率小于0. X由此可知，在可導(dǎo)的條件下，極值點(diǎn)的左右兩邊的導(dǎo)數(shù)符號是不一樣的.從圖形上顯然看出x0也是極大值點(diǎn)，但在這一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)不存在，這個極大值點(diǎn)是不可導(dǎo)點(diǎn).經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用特征：在點(diǎn)X0的左右兩邊的曲線都是可導(dǎo)的情況下，若點(diǎn) X0是極大值點(diǎn)，則它左邊的導(dǎo)數(shù)大于0,右邊的導(dǎo)數(shù)小于0.由這兩個圖可知，若X0是函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，且在點(diǎn)X0的左、右兩邊的導(dǎo)數(shù)由正變負(fù)，則X0是極值點(diǎn)，而且是極大值點(diǎn).這一結(jié)論具

13、有一般性，它是充分條件的一部分.再看極小值點(diǎn).從圖中很容易發(fā)現(xiàn) X0是極小值點(diǎn).由于X0是f(x)的可導(dǎo)點(diǎn)，所以滿足極值的必要條件 f(X0)=0.若X0是極小值點(diǎn)，則它的右邊曲線的斜率大于 0,即導(dǎo)數(shù)值大于0;而在左邊，它的斜率小于 0,即導(dǎo)數(shù)值小于0.所以，工樣的.一個駐點(diǎn)是極小值點(diǎn)時，它的左、右兩邊的導(dǎo)數(shù)符號也是不一X0是這個函數(shù)極小值點(diǎn)，但是不可導(dǎo)點(diǎn).它所具有的特征是：在可導(dǎo)的條件下，X0右邊的導(dǎo)數(shù)大于0, X0左邊的導(dǎo)數(shù)小于0.歸納：只要X0滿足極小值點(diǎn)的必要條件，那么在 X0左右兩邊函數(shù)可導(dǎo)的條件下，左右兩 邊的導(dǎo)數(shù)符號是不一樣的，而且從左到右，導(dǎo)數(shù)的符號從負(fù)的變,為正的.在這種情

14、況下，X0不是極值點(diǎn).在X0左右兩邊函數(shù)可導(dǎo)的條件下，兩邊的切線方向是一致 的.也就是說，盡管X0滿足了極值點(diǎn)的必要條件 f (X0)= 0,但在X0的左右兩邊，導(dǎo)數(shù)不變號, 因此可以肯定X0不是極值點(diǎn).X0也不是函數(shù)的極值點(diǎn)，且在X0左右兩邊，導(dǎo)數(shù)的符號是一樣 的.由上面的分析可以歸納出判別極值點(diǎn)的充分條件.10經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用yy定理3.3 極值點(diǎn)的充分條件設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0的鄰域內(nèi)連續(xù)并且可導(dǎo)(f(X0)可以不存在).如果在點(diǎn)X0的左鄰域內(nèi)f x)()0,在點(diǎn)X0的右鄰域內(nèi)f x)0,那么X0是f(x)的極大(小)值點(diǎn)，且f(X0)是f(x)的 極大(小)化如果在點(diǎn)

15、X0的鄰域內(nèi)，f (X)不變號，那么X0不是f(x)的極值點(diǎn).問題思考：若X0是f(x)的極值點(diǎn)，則一定有f(X0)=0嗎？舉例說明.不一定.例如，f (x) = M , x匚(一號+叼，那么，x=0是f (x)的極值點(diǎn).但在x=0處，f (x)不存在.三、例題講解例1設(shè)函數(shù)y=ex- x+1,求駐點(diǎn).分析駐點(diǎn)就是使導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn).解：y =ex-1,由 y =ex -1=0,得 x=0注意：這里求出的x=0不能說是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，只能說是函數(shù)的一個駐點(diǎn).可導(dǎo)函數(shù)f (X0)=0是點(diǎn)X0為極值點(diǎn)的必要條件，但不是充分條件.例2設(shè)y=x -ln(1+x),求極值點(diǎn).分析首先求定義域，然后利用必

16、要條件求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)， 再利用充分條件進(jìn)行判別, 確定極值點(diǎn).，1 C解：定義域(T +g),y = 1 = 01 +x ，解得x=0（駐點(diǎn)）111 (-1,0) 10(0,十8)0+極小值點(diǎn)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在x=0的左右兩邊，y的符號由負(fù)變正，故x=0是極小值點(diǎn).2 1例3設(shè)丫 =x2 -x+7求極值點(diǎn).分析首先求定義域，然后利用必要條件求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，再利用充分條件進(jìn)行判別，確定極值點(diǎn).1解：定義域(-Q0,十巧；y = x 3 -1, x=o處導(dǎo)數(shù)不存在，x=i是駐點(diǎn).X(一嘰 0)0(0,1)1X+0極小值點(diǎn)極大值點(diǎn)在乂= 0的左右兩邊，y的符號由負(fù)變正，故x=

17、0是極小值點(diǎn);在乂= 1的左右兩邊，y的符號由正變負(fù)，故x= 1是極大值點(diǎn).3x-yy= 例4設(shè) 3分析首先求定義域，然后利用必要條件求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)， 再利用充分條件進(jìn)行判別, 確定極值點(diǎn)，最后寫出極值.解：定義域 if,在x=0的左右兩邊y同號，故x=0不是極值點(diǎn);在x=1的左右兩邊，y的符號由正變負(fù)，故x=1是極大值點(diǎn).2。)031)1(L + s)+0一1極大值:求函數(shù)極值的步驟:(1)確定函數(shù)f (x)的定義域，并求其導(dǎo)數(shù)f (x);(2)解方程f (x) = 0,求出f (x)在定義域內(nèi)的所有的駐點(diǎn);12經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(3)找出f(x)所有在定義域內(nèi)連續(xù)但導(dǎo)數(shù)不

18、存在的點(diǎn)；(4)討論f(x)在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左、右兩側(cè)附近符號變化情況，確定函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);(5)寫出函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)和極值.四、課后作業(yè)1.求下列函數(shù)的極值:一 4一32 16(D f(x) = 3x3 -x； (2) f(x)=x +-；4x x(3) f(x)=x2 Hn(1+x); (4) f(x)=x2e-x1 f (1),1. (1)極小值4； (2)極小值f=12；f(飛一.Mln13(3)極小值222； (4) f(0Ln =0, f(2)max=4ew第二節(jié)函數(shù)最值一、學(xué)習(xí)目標(biāo)通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，了解最大值、最小值的概念，知道極值與最值之間的關(guān)系，掌握最大值、 最小

19、值問題的處理方法，熟練掌握解決一些應(yīng)用問題的方法， 尤其是求解經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題最值的 方法.二、內(nèi)容講解.最大值、最小值及其求法(1)極值與最值的區(qū)別：極值是在其左右小范圍內(nèi)比較；最值是在指定的范圍內(nèi)比較所以，說到最大(小)值，要使問題提得明確，就必須明確指定考慮的范圍.如果在指定 的范圍內(nèi)函數(shù)值達(dá)到最大，它就是最大值.13點(diǎn)是X4,而最小值點(diǎn)仍然是X2.若將區(qū)間改為X2，X4,則最大值點(diǎn)仍然是X4,最 小值點(diǎn)仍然是X2.明確了最值點(diǎn)與極值點(diǎn)的區(qū)別后，最值點(diǎn)的求法 也就較容易得到了.函數(shù)f(X)在a, b上的最值點(diǎn)一定在端點(diǎn)、駐點(diǎn)和(1)端點(diǎn)：a, b; (2)駐點(diǎn)：使f(x)=0的點(diǎn)；(3)不可

20、導(dǎo)點(diǎn)：f(X)不存在的點(diǎn).這個函數(shù)在區(qū)間a, b內(nèi)的極大值點(diǎn)是xi, X4；極小值點(diǎn)是X2, X5.現(xiàn)在要問這個函數(shù)在閉區(qū)間a, b上最大值點(diǎn)是哪一個，那么應(yīng)該是整個指定區(qū)間上曲線最高處的點(diǎn)就是最大值點(diǎn).從圖中可以看出，端點(diǎn) b處的函數(shù)值最大，所以點(diǎn)b就是該函數(shù)在區(qū)間a, b上的最大值b上最小值看出，最大值第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用同樣，從圖中可以看出X2是區(qū)間a,若將b點(diǎn)往左移至X5,從圖中可以.函數(shù)的最值概念(定義3.3)最值的求法：極值是在局部范圍內(nèi)比較；最值是在指定的范圍內(nèi)比較.求函數(shù)最值的步驟：求導(dǎo)數(shù)f(x);解f (x) = 0,求出f (x)的駐點(diǎn)；找出f (x)連續(xù)但f(x)不存在的點(diǎn)；比

21、較f (x)在駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)和端點(diǎn)處的值，確定最大值和最小值.14經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題思考：函數(shù)最值一定是函數(shù)極值嗎？何時極值一定是最值？極大（?。┲抵皇窃跇O值點(diǎn)附近的局部最大（?。┲?，而最大（?。┲凳钦麄€區(qū)間上的最大（?。┲担赡茉趨^(qū)間的端點(diǎn)處達(dá)到.因此，最大（小）值不一定是極大（?。┲?若f（x）在區(qū)間a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且f（x）在a，b上有唯一極大（?。┲迭c(diǎn)，則f（x）在a，b上的極大（?。┲稻褪亲畲螅ㄐ。┲?.三、例題講解例1求y=x3-3x2 Cx+5在卜4 , 4上的最大值和最小值.分析可能成為最值點(diǎn)的是端的、駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn).因此，先求駐點(diǎn)和

22、不可導(dǎo)點(diǎn)，再比 較這些點(diǎn)和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，確定最大值和最小值.解：y= 3x2 - 6x - 9 = 3（x2 2x - 3）= 3（x + 1）（x - 3） = 0 xi = -1, x2 = 3x-4-134y-7110-22-15所以，最大值為y（-1）=10 ,最小值為y（-4）=-71 .說明：不用判別-1 , 3是否為極值點(diǎn)，只要計(jì)算-4, -1 , 3, 4處的函數(shù)值，確定最大值和 最小值.1例2求y=x（x-1）3在-2,2上的最值點(diǎn).1 1y =(x -1)3 3解：4x -33x 4 （駐點(diǎn)），且x=1處導(dǎo)數(shù)不存在，所以，最3小值點(diǎn)為x= 4 ,最大值點(diǎn)為x=-2.

23、(x-1)3 =(x-1)23=0,x-23412y1-2(-3)33 1 - =T34 402例3將邊長為30cm的一塊正方形鐵皮的四角截去一個大小相同的小正方形，然后將四邊 折起做成一個無蓋的方盒.問截掉的小正方形邊長為多少時，所得方盒的容積最大?l- 30-2x -*115經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用解：設(shè)小正方形邊長為xcm,則盒底邊長為30-2x ,容積為 V= (30-2 x)2x, x(0, 15)因?yàn)?V =-4(30-2x)x+(30-2x)2=(30-2x)(30-6x)令V =0,得xi=5, x2=15(舍棄)，且xi=5是V在定義域內(nèi)唯一駐點(diǎn).所以xi=5是V的

24、極大值點(diǎn)，也是V的最大值點(diǎn).即截掉的小正方形邊長5cm時，所得方盒的容積最大，最大容積為 V=5(30-10)2=2000cm3說明：.解應(yīng)用問題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，建立模型的第一步是設(shè)變量，再用這個變量把問 題用數(shù)學(xué)語言描述出來.如果f (x)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，而且x0是f(x)在(a, b)內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，那 么當(dāng)x。是f (x)的極值點(diǎn)時，x。一定是f(x)在a, b上的最值點(diǎn).四、課堂練習(xí).求下列函數(shù)的最大值和最小值:-r12xf(x)=x+J1X , -5, 1; (2) f(x)=1+x.求200m長的籬笆所圍成的面積最大的矩形尺寸.在半徑為R的半圓內(nèi)，內(nèi)接一

25、矩形，問矩形的邊長為何值時，矩形的面積最大？ 矩形的周長最大？f 3 _5一1.最大(4)4 ,最小f(七)二由-5；11(2)最大f(-2)= f二，最小f=0.2.當(dāng)矩形的長和寬都是 50m時，圍成的面積最大.當(dāng)矩形的長和寬分別是、2r2 時,矩形的面積最大;445R時，矩形的周長最大16經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第三單元導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用 第一節(jié)邊際與邊際分析一、學(xué)習(xí)目標(biāo)通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，了解邊際成本、邊際收入、邊際利潤的概念，會求成本、收入、利潤等 經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際值和邊際函數(shù).二、內(nèi)容講解邊際與邊際分析定義3.4 邊際成本在引進(jìn)導(dǎo)數(shù)概念時，我們已經(jīng)接觸過邊際成本概念，譬如說在

26、連續(xù)化生產(chǎn)的工廠中，可 以知道總成本與總產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系，由此可以求出平均成本，即總成本除總產(chǎn)量就是平 均成本.同時又引進(jìn)了邊際成本的概念，就是總產(chǎn)量達(dá)到一定時刻，再增加生產(chǎn)一個單位產(chǎn) 量時，單位成本增加量.下面具體看一個例子.C(q)q 產(chǎn)量；C(q)成本函數(shù)；q 平均成本函數(shù)C (q)產(chǎn)量為q時的邊際成本函數(shù)經(jīng)濟(jì)意義：產(chǎn)量為q時，再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的成本.定義3.5 邊際收入收入是銷售量或產(chǎn)量的函數(shù)，因此也就有總收入、平均收入、邊際收入等函數(shù).設(shè)q 銷售R(q)量；R(q)收入函數(shù)； q 平均收入函數(shù)R(q)銷售量為q時的邊際收入函數(shù)經(jīng)濟(jì)意義：銷售量為q時，再生產(chǎn)一個單位商品所增加

27、的收入.定義3.6邊際利潤想一想利潤是怎樣產(chǎn)生的？17經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用已知成本C（q）,收入R（q），那么利潤L（q）= R（q）-C（q）且邊際利潤L（q） =R（q）C（q）想一想邊際利潤的經(jīng)濟(jì)意義是什么？這堂課我們講了三個問題，即： 成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際成本； 收入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收入； 利潤函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際利潤.思考題：當(dāng)邊際利潤大于0,即L（q。）0的意義是什么？答案：關(guān)于利潤L（q）,若L（qo）。，即在銷售量為q。時的邊際利潤大于0,它意味著增 加銷售量，利潤還能增加.問題思考：平均成本與邊際成本有何區(qū)別？平均成本C是在不同的產(chǎn)量下每單位產(chǎn)量的成本，它是產(chǎn)

28、量在范圍。，q內(nèi)的平均.邊際成本 C是產(chǎn)量為q單位時，成本C（q）的增量AC與產(chǎn)量的增量以q的比值當(dāng)&qT。時的取值，也就是產(chǎn)量為 q單位時總成本C（q） 的瞬時變化率.三、例題講解例1 一企業(yè)的每日成本C （千元）是日產(chǎn)量q （臺）的函數(shù)C（q） = 400 + 2q + 5q ,求： （1）當(dāng)產(chǎn)量為400臺時的成本；（2）當(dāng)產(chǎn)量為400臺時的平均成本；（3）當(dāng)產(chǎn)量由400臺 增加到484臺時的平均成本；（4）當(dāng)產(chǎn)量為400臺時的邊際成本.解（1）當(dāng)產(chǎn)量為400臺時的成本為：5400）=400+2/400+5,400 =1300（千元）（2）當(dāng)產(chǎn)量為400臺時的平均成本為:C(400)400

29、1300 =3.25400(千元/臺)（3）當(dāng)產(chǎn)量由400臺增加到484臺時的平均成本:C(484) -C(400) _1478 -1300 = 2 119484 一 400484 -400（千兀/臺）18經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用5C (q) =(400 2q 5. q) =2 (4)當(dāng)產(chǎn)量為400臺時的邊際成本為：2TqC (400) 22 -5=2.125所以，2)400(千元/臺)例2某產(chǎn)品的銷售量q與單位價格P之間的關(guān)系為q = 1200-3p(1)寫出收入函數(shù)R與q之間的關(guān)系；(2)計(jì)算銷售量達(dá)到300時的收入；(3)銷售量由300增加至360時，收入增加了多少？(4)在這

30、個過程中平均多銷售一單位時，收入增加多少？(5)求銷售量為300時的邊際收入. TOC o 1-5 h z 11 2R(q) = pq (1200 - q)q = 400q q解：(1)收入函數(shù)R與q之間的關(guān)系為：3312R(300) = 400 300300(2)銷售量達(dá)到300時，收入為：3=90000(3)銷售量由 300 增加至 360 時，收入增加了： R(360) - R(300) =100800-90000(4)在這個過程中平均多銷售一單位時，收入將增加:R(360) -R(300)360 -30010 80060二 1801 o .2R(q) =(400q -二q2) =400

31、 -q(5)因?yàn)?3所以，銷售量為300時，邊際收入為：R(300)=200例3某企業(yè)每天的產(chǎn)量均能售出，售價為 490元/噸，其每日成本c與每日產(chǎn)量q之間的 函數(shù)為 C(q) =2000 450q 0.02q2(1)寫出收入函數(shù)；(2)寫出利潤函數(shù)；(3)求利潤函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并說明其經(jīng)濟(jì)意義.解(1)收入函數(shù)為：R(q)=490q19經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用2、(2)利潤函數(shù)為:L(q)=R(q)-C(q) =490q -(2000 450q 0.02q )= -2000 40q -0.02q2(3)利潤函數(shù)白勺導(dǎo)數(shù)為:匚=(-2000 40q-0.02q2) =40 - 0.04q

32、利潤函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際利潤，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到q時，再增加單位產(chǎn)量后利潤的改變量.2例4某廠每月生產(chǎn)q(百件)產(chǎn)品的總成本為C(q)=q +2q+100(千元).若每百件的銷售價格為4萬元，試寫出利潤函數(shù)L(q),并求當(dāng)邊際利潤為0時的月產(chǎn)量.2解：已知q(百件)，C(q) = q +2q+100(千元)，p = 40(千元/百件)2(1)利潤函數(shù)為：L(q)=40q-(q +2q+100)(2)邊際利潤為 L(q)=40 - (2q +2)=38一2q L(q)=0,即 L(q) =38 -2q = 0 ,得 q=19 請大家從上述例題中歸納邊際函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.四、課堂練習(xí)2R(q)

33、 =800q - -(q - 0)某種產(chǎn)品的收入R (元)是產(chǎn)量q (噸)的函數(shù)4 求：(1)生產(chǎn)200噸該產(chǎn)品時的收入；(2)生產(chǎn)200噸到300噸時收入的平均變化率；(3)生產(chǎn)200噸時的邊際 收入.2800q分析：求產(chǎn)量為q = 200噸時的收入，只需將q = 200代入收入函數(shù)R(q)=4求之；求產(chǎn)量從200噸到300噸時的收入的平均變化率， 只需先分別求出產(chǎn)量為 200噸時的收入，產(chǎn)量為300噸時的收入，然后：R(q) R(300) - R(200)利用平均變化率公式Aq =300 -200 求之.求產(chǎn)量為q = 200噸時的邊際收入，只需先求出邊際收入函數(shù)R(q),然后將q = 2

34、00代入邊際收入函數(shù)R(q),求出R(200).五、課后作業(yè)20-經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之微分學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用.某工廠每日產(chǎn)品總成本C (百元)與日產(chǎn)量q (kg)的關(guān)系為C(q)=4q+2內(nèi)+500求日產(chǎn)量為900kg時的邊際成本.某廠每月生產(chǎn)q (百件)產(chǎn)品的總成本為C(q)=q2+2q+100 (千元).若每百件的銷售價格為4萬元，試寫出利潤函數(shù)L(q),并求當(dāng)邊際利潤為0時的月產(chǎn)量.230百元的.；2. l =38qq -100,q=19百件.第二節(jié)需求價格彈性一、學(xué)習(xí)目標(biāo)通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，了解需求彈性的概念，會求需求價格彈性.二、內(nèi)容講解定義3.7 需求價格彈性設(shè)某產(chǎn)品的單位售價p,該產(chǎn)品市場需求量q,則它的需求函數(shù)為q=q(p)需求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：q (p)價格由p增加到P+Ap,則需求由q(p)增加到q(p+Ap).Pq(p p) -q(p)價格提高的百分比p ,需求改變的百分比q(p)兩個百分?jǐn)?shù)之比(平均比率)瞬時比率，即當(dāng)小10時，對需求影響的百分比為lim q q(p *q(p)衛(wèi) q(p)p 0q(p)p =q(p)=Ep稱為需求價格彈性，簡稱需求彈性，記為Ep.邊際問題和經(jīng)濟(jì)分析中的最值邊際成本、邊際收入、邊際利潤；經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中的平均