北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊2.6應(yīng)用一元二次方程教案

1、第二章一元二次方程2.6應(yīng)用一元二次方程教材分析 本節(jié)課的主題是發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，這也是方程教學(xué)的重要任務(wù).但學(xué)生應(yīng)用意識和 能力的發(fā)展不是自發(fā)的，需要通過大量的應(yīng)用實例，在實際問題的解決中讓學(xué)生感受到其廣 泛應(yīng)用，并在具體應(yīng)用中增強學(xué)生的應(yīng)用能力.因此，本節(jié)教學(xué)中需要選用大量的實際問題， 通過列方程解決問題，并且在問題解決過程中，促進(jìn)學(xué)生分析問題、解決問題意識和能力的 提高以及方程觀的初步形成.顯然，這個任務(wù)并非某個教學(xué)活動所能達(dá)成的，而應(yīng)在教學(xué)活 動中創(chuàng)設(shè)大量的問題解決的情境，在具體情境中發(fā)展學(xué)生的有關(guān)能力.教學(xué)目標(biāo).通過分析問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程解決問題，認(rèn)識方程模型的重要性，并總

2、結(jié)運用 方程解決實際問題的一般過程.經(jīng)歷分析和建模的過程,進(jìn)一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一個有效的數(shù)學(xué) 模型：能夠利用一元二次方程解決有關(guān)實際問題，能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果 的合理性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的意識和能力；.在問題解決中，經(jīng)歷一定的合作交流活動，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的意識和能力.教學(xué)重難點【教學(xué)重點】能夠利用一元二次方程解決有關(guān)實際問題.【教學(xué)難點】分析和建模的過程.課前準(zhǔn)備課件.,， 、教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)回顧（一）回憶：用配方法解一元二次方程的步驟：.化1:把二次項系數(shù)化為1 （方程兩邊都除以二次項系數(shù)）；.移項:把常數(shù)項移到方程的右邊；.配方:方程

3、兩邊都加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方；.變形:方程左邊配方，右邊合并同類項；.開方:根據(jù)平方根意義，方程兩邊開平方；.求解:解一元一次方程；.定解:寫出原方程的解.（二）一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=O （a翔）當(dāng)-4ac 0時，它的根是：x = 士一-（b -44c 0）o上面這個式子稱為一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法.二、合作交流，探究新知（一）認(rèn)識黃金分割如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果生=，那么稱線段AB被點C黃金AB AC分割，點C叫做線段AB的黃金分割點,AC與AB的比稱為黃金比.AC B其實，黃金分割就是三條能構(gòu)成比例

4、線段的特殊線段AB.AC和BC.其中線段AC是線段AB 和線段BC的比例中項，也可寫成AC2=AB BC.學(xué)習(xí)一元二次方程之后，我們可以求得V5-1AC BC -=-= 0.618AB AC 1如何求得黃金分割？解:由尤=出，得 AB AC期8 = 1,4。=蒼則。8 = 1-工/. x2 =lx（l-x）,即/+1 = 0解這個方程，得 八-1 + 75 二 x 二 占=（不合題意,舍去） 2黃金比也=土正定0.618。 AB 2三、運用新知例1 ：如圖：某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里 處有一重要目標(biāo)B，在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo) C,小島D位于AC的中點，島上有一補

5、給碼頭.小島F位于BC 中點.一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航，一艘補給船同 時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送 達(dá)軍艦.B已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇，那么相遇時補給船航行了多少海里？（結(jié)果精確到01海里）該部分是學(xué)習(xí)中的難點，在教學(xué)中要給學(xué)生充分的時間去審清題意，分析各量之間的關(guān) 系，不能粗線條解決在講解過程中可逐步分解難點：審清題意：找準(zhǔn)各條有關(guān)線段的 長度關(guān)系：建立方程模型，之后求解.解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是審清題意，因此教學(xué)中老師要給學(xué)生充分的時間去審清題意, 讓學(xué)生自己反復(fù)審題，弄清各量之間的關(guān)系，分析題目中的已知條件和要求解的

6、問題，并在 這個前提下抓住圖形中各條線段所表示的量，弄清它們之間的關(guān)系.在學(xué)生分析題意遇到困難時，教學(xué)中可設(shè)置問題串分解難點：（1）要求DE的長，需要如何設(shè)未知數(shù)？（2）怎樣建立含DE未知數(shù)的等量關(guān)系？從已知條件中能找到嗎？（3）利用勾股定理建立等量關(guān)系，如何構(gòu)造直角三角形？（4）選定RiADEF后，三條邊長都是已知的嗎？ DE, DF, EF分別是多少？ 學(xué)生在問題串的引導(dǎo)下，逐層分析，在分組討論后找出題目中的等量關(guān)系即： 速度等量：Vm=2xV播胤 時間等量:U嗯=1一給船三邊數(shù)量關(guān)系：EF2 + FD2 =DE2弄清圖形中線段長表示的量：已知AB=BC=200海里，DE表示補給船的路程，

7、AB+BE 表示軍艦的路程.學(xué)生在此基礎(chǔ)上選準(zhǔn)未知數(shù)，用未知數(shù)表示出線段：DE、EF的長，根據(jù)勾股定理列方 程求解，并判斷解的合理性.解：（1）連接 DF.則 DF1BC.v AB _L BC, AB = BC = 200海里, :.AC =戊AB = 200JI海里，:.CD = -AC = 100 底海里 DF = CF,應(yīng)DF = CD. 2/. DF = CF =CD = X100V2 = 100（海里）小島。和小島尸相距100海里。(2)設(shè)相遇時補給船航行了 x海里，則DE=x海里,AB+BE=2x海里, EF=AB+BC- (AB+BE) -CF= (300-2x)海里.在RtZk

8、DEF中，根據(jù)勾股定理可得方程x2 =1002+（300 - 2x）2o/.整理,得3/ -1200 x +100000 = 0o解這個方程，得.-.X =200-1 118.4,3占=200 +如(不合意,舍去)一.相遇時補給船大約航行了 118. 4海里。例2：九章算術(shù)“勾股”章中有一題產(chǎn)今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙東行,甲南行 十步而斜東北與乙會.問甲乙各行幾何？ ”大意是說:已知甲,乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度是7,乙的速度是3：乙一直向東走， 甲先向南走10步,后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇.那么相遇時，甲，乙各走了多 遠(yuǎn)？“解:設(shè)甲,乙相遇時所用時間為X,根據(jù)

9、題意，得 (7x-10) 2= (3x) 2+102整理得:2x2-7x=0.解這個方程，得Xi方5X2=0 （不合題意,舍去）.* 3x=3x3.5=10.5, 7x=7x3.5=24.5.答呷走了 24.5步,乙走了 10.5步.例3：綠苑小區(qū)住宅設(shè)計，準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地, 并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？x+10解:設(shè)長方形綠地的寬為切7,根據(jù)題意，得x（x + l 0） = 900。整理得：W +lOx_900 = 0。解這個方程，得：. % = -5+5扃、25.41;= -5-5扃 0（不合題意，舍去）。.” + 10 = -

10、5 + 5扃+10 = 5 + 5西 六 35.41。答:這塊長方形綠地的長和寬分別約是25.41?,35.41?。例4：學(xué)生會準(zhǔn)備舉辦攝影展覽，在每張長和寬分別為18厘米和12厘米的長方形相片周圍 轅上一圈等寬的彩紙.經(jīng)試驗，彩紙面積為相片而積的時較美觀，求鑲上彩紙條的寬.（精確到 0.1厘米）0解：設(shè)彩紙條的寬為根據(jù)題意，得（18 + 2x）（12 + 2x）-18xl2 = -xl8xl2o整理得：/ + 15工- 36 = 0。解這個方程,得：/.玉=二I”，乎. 2.1;x,=二I二5 （）（不合題意,舍去卜2-2答:彩紙條的寬約為2.1 cm.【活動目的】：一元二次方程的應(yīng)用問題的

11、類型較多，像數(shù)字問題、面積問題、平均增長(或 降低)率問題、利潤問題、數(shù)形結(jié)合問題等；本節(jié)課以教材上的引例作為出發(fā)點，作為素材 來呈現(xiàn)，可以將應(yīng)用類型作適當(dāng)?shù)耐卣?，在練?xí)中將教材中的應(yīng)用問題歸類呈現(xiàn)出來，便于 學(xué)生理解和掌握.本課由數(shù)形結(jié)合問題拓展到面積問題，后面可以在練習(xí)中增加數(shù)字問題， 在第二課時在利潤問題上也可增加平均增長率問題等，為學(xué)生呈現(xiàn)更多的應(yīng)用類型，讓學(xué)生 在不同的情境中體會建模的重要性.由于本節(jié)” 一元二次方程的應(yīng)用“與九年級下冊中的“二 次函數(shù)”的應(yīng)用聯(lián)系密切，所以學(xué)好本節(jié)課可以為后續(xù)知識打下堅實的基礎(chǔ).【活動實際效果】：應(yīng)用問題設(shè)置都經(jīng)過精心準(zhǔn)備.通過問題串的設(shè)立，將比較復(fù)

12、雜、難以理 解的題目分成多個小的題目去理解，使學(xué)生在不知不覺中克服困難，體會到列方程解應(yīng)用題 的三個重要環(huán)節(jié)：整體系統(tǒng)的審清題意：尋找等量關(guān)系：正確求解并檢驗解的合理性.采取 的是一講一練，從鞏固練習(xí)的準(zhǔn)確程度上來看，學(xué)生掌握得比較好，能夠達(dá)到預(yù)期的效果. 四、鞏固新知.有這樣一道阿拉伯古算題:有兩筆錢，一多一少，其和等于20,積等96,多的一筆被許諾賞給 賽義德，那么賽義德得到多少錢？解：設(shè)賽義德得到的錢數(shù)為尤根據(jù)題意，得x(20-x) =96。整理得：x2-20 x + 96 = 0。解這個方程，得.玉=12;=8.(不合題意，舍去)。答:賽義德得到的錢數(shù)是12。.如圖，在RtAABC中,

13、NC=90。,點P.Q同時由A.B兩點出發(fā),分別沿AC.BC方向向點C勻 速移動(到點C為止)，它們的速度都是lm/s.幾秒后4PCQ的面積是RtAACB面積的一半？解：設(shè)x秒后，4PCQ的面積是Rt AABC面積的一半.根據(jù)題意，得 1(8 x)(6 x) = LxLx8x6o 22 2 整理得：- 14x+24 = 0。解這個方程,得:，% = 2;占=12（不合題意,舍去）。答：2秒后，4PCQ的面積是RtZABC面積的一半.某商場禮品柜臺春節(jié).期間購進(jìn)大量賀年片,一種賀年片平均每天能售出500張，每張盈利 03元.為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施.調(diào)查表明:當(dāng)銷售價每降價0

14、.1元時, 其銷售量就將多售出100張.商場要想平均每天盈利達(dá)到120元,每張賀年片應(yīng)降價多少元？解：設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價x元，根據(jù)題意，得，Y (0.3 -x)(500 + 100 x) = 120o整理得：100/+20%一3 = 0。解這個方程，得X, =0.1,x2 =-0.3（不合題意，舍去）。答:每張賀年片應(yīng)降價0.1元。.學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預(yù)計到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩年的年平均 增長率.解:設(shè)每年的平均增長率為K根據(jù)題意，得5（1 +工尸=7.5。解這個方程：（1 +幻2=土2/. （1 + x） = -, x = -l-, 22/.X =-1 + 222.47%;x, =-1-0o （不合題意，舍去）.1222答：這兩年的年平均增長率約為22.47%.五、歸納小結(jié)活動內(nèi)容