《電磁場數(shù)學(xué)方法》第9章二階常微分方程級數(shù)解法課件

1、第九章 二階常微分方程的級數(shù)解法概述常點(diǎn)鄰域上的級數(shù)解法正則奇點(diǎn)鄰域上的級數(shù)解法本章小結(jié)一、概述分離變量法直角坐標(biāo)系、平面極坐標(biāo)本征函數(shù)是三角函數(shù)實(shí)際正交曲面坐標(biāo)系 （球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系） 拉普拉斯方程的分離變量拉普拉斯方程球坐標(biāo)（r， , ）球坐標(biāo)系連帶勒讓德方程 m = 0l 階勒讓德方程. 柱坐標(biāo)（，z）貝塞爾方程柱坐標(biāo)系拉普拉斯方程 求解線性二階常微分方程 （帶初始條件） 級數(shù)解法： 在某個(gè)任選點(diǎn)的領(lǐng)域上，把待求的解表達(dá)為系數(shù)待定的級數(shù)，代入方程，逐個(gè)確定系數(shù)。是否收斂（1）x: 復(fù)變數(shù)； p(x), q(x) y(x):復(fù)變函數(shù) 收斂范圍 方程的常點(diǎn)和奇點(diǎn)方程（1）的系數(shù) p ( x

2、 ) , q ( x ) 均在某點(diǎn) x0 的鄰域內(nèi)解析， 稱 x0 為方程的常點(diǎn)。x0是系數(shù) p(x) , q(x) 的孤立奇點(diǎn)，稱 x0 為方程的奇點(diǎn)。正則奇點(diǎn)x0是 p(x) 不超過一階的極點(diǎn) , 又是 q(x) 的不超過二階的孤立奇點(diǎn); 稱 x0 為方程的正則奇點(diǎn)。否則為非正則奇點(diǎn)。常點(diǎn)奇點(diǎn)二、常點(diǎn)鄰域上的級數(shù)解法 定理如果方程的系數(shù) p (x) , q (x) 在點(diǎn) x0的鄰域 內(nèi)解析，則方程在這圓內(nèi)存在唯一的解析的解 y (x)，滿足初始條件表示成泰勒級數(shù)的形式（C0 , C1為任意復(fù)常數(shù)）a0 , a1 , ak , 待定系數(shù)以l 階勒讓德方程為例進(jìn)行分析 將解的級數(shù)形式代入方程，

3、合并同冪次項(xiàng)； 令合并后的各系數(shù)分別找零，找出系數(shù)之間的遞推關(guān)系； 用已知的初值確定系數(shù)，從而求得級數(shù)解 系數(shù)的確定 勒讓德方程的級數(shù)解即在 x0 = 0 的鄰域上求解l 階勒讓德方程方程的系數(shù)在 x0 = 0: p( x0 ) = 0, q( x0 ) = l (l+1) , 在 x0 = 0解析 x0 = 0 是方程的常點(diǎn)定理于是代入l 階勒讓德方程合并同冪次的項(xiàng)列表得到l 階勒讓德方程解：x = cos , 0 性質(zhì)：奇偶性：y0為偶函數(shù)，y1為奇函數(shù)；收斂性：收斂半徑為 1 級數(shù)解在 x = 1 的收斂性已證明：級數(shù)解y0和y1各自在 x = 1 發(fā)散（l 不為整數(shù)時(shí)）因此：形如 而且

4、在x = 1 均有限的無窮級數(shù)解并不存在：l 階勒讓德在x = 1 均為有限的級數(shù)解并不存在！實(shí)際定解問題要求：u 在一切方向都需要保持有限勒讓德方程的解在一切方向 ,即在 x 的閉區(qū)間-1, +1上保持有限出路？無窮級數(shù)解y0和y1均不滿足該要求無窮級數(shù)退化為有限項(xiàng)的多項(xiàng)式形式！無發(fā)散性l 的選擇：l 為非負(fù)整數(shù)，則當(dāng)k = l 時(shí), 級數(shù)解退化為 l 次多項(xiàng)式；l 階勒讓德多項(xiàng)式 P l ( x )l 為偶數(shù)：l = 2n (n為整數(shù)) 從 x2n 項(xiàng)起，系數(shù)都含有因子(2n l )從而為0，y0(x)退化為2n次多項(xiàng)式，且只含偶次冪項(xiàng)； y1(x) 不含(2n - l )，仍為無窮級數(shù)；

5、 取任意常數(shù) a1 = 0 即得只含偶次冪的l 次多項(xiàng)式 a0y0(x) ，當(dāng)選定a0 得到的特解，稱為l 階勒讓德多項(xiàng)式。 從 x2n+1 項(xiàng)起，系數(shù)都含有因子(2n +1 l )從而為0，y1(x)退化為2n+1次多項(xiàng)式，且只含奇次冪項(xiàng)； y0(x) 不含(2n +1- l )，仍為無窮級數(shù)； 級數(shù)解中取任意常數(shù) a0 = 0 即得只含奇次冪的l 次多項(xiàng)式 a1y1(x) ，當(dāng)選定a1 得到的特解，稱為l 階勒讓德多項(xiàng)式。l 為奇數(shù)：l = 2n+1 (n為零或正整數(shù))自然邊界條件解在區(qū)間-1,1的兩端 x = 1 保持有限本征值問題本征值： l (l + 1)本征函數(shù)： l 階勒讓德多項(xiàng)

6、式L 為零或正整數(shù)勒讓德多項(xiàng)式 反用系數(shù)遞推公式改寫為可以把其它系數(shù)一一推算出來：將n記為k, 求得l 階勒讓德多項(xiàng)式 的具體表達(dá)式為三、正則奇點(diǎn)鄰域上的級數(shù)解法的奇點(diǎn)，則其解也以x0為奇點(diǎn)，在點(diǎn)x0領(lǐng)域上展開為羅朗級數(shù)形式設(shè) x0 是線性二階常微分方程 定理的正則奇點(diǎn)設(shè) x0 是方程則在 x0的鄰域 內(nèi)，方程的兩個(gè)線性獨(dú)立解為：或 s1-s2 整數(shù)s1、s2 ：判定方程 的根（ s1 s2 ）A, ak , bk, 常系數(shù)，A可能為0。 s1-s2整數(shù) 貝塞爾方程的級數(shù)解即在 x0 = 0 的鄰域上求解v 階貝塞爾方程(v為非負(fù)數(shù))點(diǎn) x0 = 0：方程的系數(shù)一階極點(diǎn) 二階極點(diǎn)（1） 階 v

7、 整數(shù)或半奇數(shù)（貝塞爾方程的級數(shù)解） x0 = 0 是方程的正則奇點(diǎn)判定方程兩個(gè)根為： s1 v ，s2 v s1 - s2 2 v 不等于0或正整數(shù)兩根之差：判定方程的兩根之差決定了兩個(gè)線性獨(dú)立解的形式：先不分 s1，s2 代入方程，方程的解合并同冪次的項(xiàng)列表約定 a00s1 = +v 時(shí)第一個(gè)特解通常取級數(shù)收斂半徑只要x有限，級數(shù)解就是收斂的！v階貝塞爾函數(shù)s2 = -v 時(shí)第二個(gè)特解通常取級數(shù)收斂半徑只要x有限，級數(shù)解就是收斂的！-v階貝塞爾函數(shù)v 階貝塞爾方程的通解取v 階貝塞爾方程的通解得到v 階諾依曼函數(shù)（2） 半奇數(shù)階 vl+1/2 時(shí)貝塞爾方程的解特例: 1/2 階貝塞爾方程在

8、 x0 = 0 的領(lǐng)域內(nèi)求解 l+1/2階貝塞爾方程 x0 = 0 為方程的正則奇點(diǎn)判定方程的兩個(gè)根：s1 = v1 = 1/2 s2 = v2 = -1/2 s1 - s2 2 v = 1 為整數(shù)對應(yīng)于判定方程較大根的級數(shù)解： 判定方程兩根之差第二個(gè)特解： 階貝塞爾方程的通解： 階貝塞爾函數(shù)盡管判定方程兩根之差為1，但常數(shù) A =0，第二個(gè)特解中不出現(xiàn)對數(shù)函數(shù) s1 = l +1/2一般的半奇數(shù) (l+1/2) 階貝塞爾方程： 兩根之差l+階貝塞爾方程的通解： s2 = -(l+1/2)s1 s2= 2l +1 為正整數(shù)（3） 整數(shù) v = m 階貝塞爾方程在 x0 = 0 的鄰域上求解整數(shù)

9、m階貝塞爾方程m為自然數(shù)s1 = m兩根之差s2 = -ms1 s2= 2m為零或正整數(shù)對應(yīng)于判定方程大根的級數(shù)解： 其中： 對應(yīng)于判定方程小根的級數(shù)解： 線性相關(guān)，不能作為第二個(gè)獨(dú)立的特解 實(shí)際采用的第二個(gè)特解是諾依曼函數(shù)表達(dá) 整數(shù)階貝塞爾函數(shù)的通解 而不是： （4） x = 0 處的自然邊界條件因此：如果所研究的區(qū)域中包含 x = 0 在內(nèi)， 排除： 保留： 貝塞爾方程，不論階數(shù)是否為整數(shù)，在x=0具有自然邊界條件 四、虛宗量貝塞爾方程柱坐標(biāo)系下對拉普拉斯方程分離變量得到虛宗量貝塞爾方程v 階虛宗量貝塞爾方程 (v不等于整數(shù)、半奇數(shù))變量代換得到v 階貝塞爾方程兩個(gè)線性獨(dú)立解：得到虛宗量貝塞爾函數(shù)(實(shí)函數(shù))：v 階虛宗量貝塞爾方程的通解：均為正項(xiàng)級數(shù)，除 x = 0 外恒不為零m階虛宗量貝塞爾方程