人教版必修五第二章數列的求和教案

1、數列求和的基本方法和技巧導入（A1進入美妙的世界啦）等差數列求和公式Sn=等比數列求和公式Sn=知識典例（言*注意咯，下面可是黃金部分！）數列在高考中的要求：.等差數列與等比數列是兩種最基本、最重要及應用最廣泛的數列，其他數列問題的 解決往往借助它們完成，或經過變形轉化為等差或等比數列，或利用駕乙、等比數列的研究 方法。所以等差數列與等比數列的基礎知識是數列中最基本、最重要也最易把握的知識。.數列的通項是數列最重要、最常見的表達形式，它是數列的核心。應弄清通項公式 的意義一一項數n的函數：理解通項公式的作用一可以用通項公式求數列的任意一項的值 及對數列進行一般性的研究。.數列的遞推式是數列的另

2、一種表達形式，可以是一階線性遞推、二階線性遞推、二 次函數形式遞推、勾函數形式遞推、與奇偶聯(lián)系的遞推等，是高考的熱點。要注重登加、疊 乘、迭代等解題技巧的訓練?！玖星蠛途?數列求和的問題往往和其他知識綜合在一起，綜合性教強。顯得特別重要，數列求和就需要根據數列的特點選擇最適合的方法，那么必須掌握幾種常用的數列求和方法。.自從文科不考數學歸納法以來，數學歸納法幾乎成了一個理科必考的內容。而且常 常和放縮法、函數單調性、構造法等聯(lián)系在一起，能力要求較高。.縱觀近幾年的高考，每年都有求極限的題目。常以選擇超、填空即的形式命題，有 時也作為某一大題的某一問出現(xiàn)，難度不大。.數列的應用極其廣泛，因此盡管

3、現(xiàn)在的應用題多為概率統(tǒng)計，但不排除考數列應用 題的可能，也有可能是數列與概率交匯。.數列常與函數、不等式、解析幾何、立體幾何、導數、三角、向量、二項式等知識 聯(lián)系在一起，以它的復雜多變、綜合性強、解法靈活等特征成為高考的中檔題或壓軸題。 題型一、利用常用求和公式求和 入等差數列求和公式：S一二呵+竽d(q = l)(qwl)n a12、等比數列求和公式:Sn = a。- q) _ 5 - a“q、i-q i-q4、Sr = k? = Li(n + l)(2n +1) k-i 6等差數列求和公式；等比數列求和公式，特別聲明：運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時需分類討論:常用

4、公式：1+ 2+ 3+ h g n。t , I2+ 23 + - +n2 = 4n(n + l)(2n + l),2o13+23+33+.+】3=當/4等差：例1.已知等差數列a。的前三項為a 1,4,2a,記前n項和為S。設Sk=2 55O,求a和k的值：(2)設bn舍，求63+67+1 +b4Vl的值.變式1：設數列a。為等差數列，Sn為數列6力的前n項和，己知S7=7, Si5=75,(1)求?。?(1)判斷數列1是否為等差數列？(2)求數列的前n項和Tn； nn(3)求數列a。的前100項中所有偶數項的和：等比:-1 , 3例2、己知log3X=，求X+5T +胃+犬+的前n項和log

5、? 3變式2：等比數列aQ的前n項和Sn=2-1 ,則a；+a；+a；+a：=；題型二、錯位相減法求和如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用錯位 相減法(這也是等比數列前n和公式的推導方法).例 3、求和：Sn =14-3x + 5x2 +7x3 + (2n (xrO)變式3：求數列七3,二，空，前n項的和. 2 r 23 2n變式4：設aj為等比數列,X = na1 + (n-l)a2+ -+2 + ,已知工=1,=4,求 數列aj的首項和公比；求數列1的通項公式.；題型三、倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯(lián)，則

6、?？煽紤]選用 倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數列前n和公式的推導方法).例 4、求sin21 + sin2 2 + sin?3 + + sin2 88 + sin2 89的值變式 5：已知 f (x) =, WO f(l)+ f(2)+ f(3)+ f(4)+ f(；)+ f(i)+ f(l)=題型四、分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個 等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.形如：4土口 的形式，其 中 a. )、 b.)是等差數列、等比數列或常見的數列.例 5、求和：Sn = -1 + 3-54-7 -+(-l

7、)n(2n-l)變式6：求數列tn(n+l) (2n+l)的前n項和題型五、裂項法求和這是分解。組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項(通項)分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解(裂項)如:(1)an= f(n + D f(n)(2)cosif cos(n + l)(3)a =n(n + 1) n n + 1V Qn)-n (2n-l)(2n + l)22n-l 2n+l(5)an =n(n-l)(n+2) = |n(n + l) (n+l)(n + 2)(6)n + 2n(n +1)12(n + l)-n 12n n(n +1) 2n nl

8、nA (n + l)2n(7) an(A11+B)(A11+C)C- B A11+ B An+C(8)(n +1)! ii! (n +1)!3n =Vn + Jn + 1=Jn + l-y/n例6、求數列1 + y/1 yl + y5 y/n + J+ + 1的前n項和.變式7： (1)求和:f-+ , +1x4 4x7(3n-2)x(3n + l)(2)在數列aj中,anx/n + y/n + 1，且 Sn = 9 ,則 n=Ma1強化練習(W挑戰(zhàn)一下自己吧).數列a。的通項公式為an=(-l)nT(4n-3),則它的前100項之和Sm等于()A. 200 B. -200 C. 400 D.

9、 -400.數列1,壬，忌三，1 + 2；+.的前n項和為()2n2nn+2nA2n4-1 B.帝C.1D2n+1.若數列aQ的前n項和為且滿足&=短一3,則數列凡的前n項和Sn等于 ()A. 3n+1-3 B. 3n-3 C. 3】+ 3 D. 3n+3.數列I：, 3：, 51,7.,，01)+工，的前n項和3n的值等于( )A. if+l&B. 2n，n+1-工 C. n*+1-D. n2-n+11 1 1 1195.數列2尸而而其前n項之和為市 則在平面直角坐標系中直線(n+l)x+y+n =0在y軸上的截距為()A. -10 B. -9 C. 10 D. 96.已知函數歐)對任意xR

10、,都行及x)=l-Q-x),則f(2)+f(-1)+&0)+氏1)+修) +所.數列*出，六. $ 的前n項和等于n2 (n為奇數).函數 f(n) = 2 , *體貼、，且 an = f(n)+ f(n + 1)則 ai + a2Hhaiooo =.對于數列aj,定義數列an+i-aj為數列“的“差數列，若即=2, a。的“差數列”的通項為則數列aj的前n項和國=11、求和:(1)求心的表達式：(2)設以=丁寸7,求bj的前n項和TnI A I A12、已知數列是首項為ai=；,公比q=的等比數列，設匕+門匕+的一)，數列滿足 cn=an-bn(1)求證：b。是等差數列：(2)求數列品的前n

11、項和總；(3)若CnW+?+m-l對一切正整數n恒成立，求實數m的取值范用.回顧小結一日悟一理,日久而成學)一、方法小結:二、本節(jié)課我做的比較好的地方是:三、我需要努力的地方是:課后作業(yè)1、段函數歐)=盧+2乂的導函數f (x)=2x+l,則數列焉(nN*)的前n項和A，n+1n+2Bn+1C.n1n+l D. n2數列ai + 2,，ak+2k,，aio+20共有十項,且其和為240,則a+ak+aio之俏為A. 31B. 120C. 130D. 1853.已知數列a。的通項公式是an=2n-l，其前n項和*=短.則項數n等于()A. 13B. 10D. 6o其前n項之和為正 則在平面宜角坐

12、標系中，宜線(n+l)x+y+n=0在y軸上的截距為A. -10B. -9C. 10D. 95、數列aj,已知對任意正整數n, ai+ 32 + 33+ + an=2n 于-b則 a；+a：+a+ a：等A. (2n-1)2C j(4n-1)D. 4n-l.己知數列aj的通項公式為an=lo3祟(nN)設其前n項和為網,則使&一5成立的自然數n()A.有最大值63B.有最小值63C.有最大值32D.有最小值32已知數列an中，ai = 2,點(a1,且 nN*)滿足 y=2x1,則 ai + aH+ 即08、設數列aj滿足 a1+3a2+343HFB nN*(1)求數列aj的通項公式：(2)設bn=F，求數列bQ的前n項和& dn9、已知數列aj的前n項和SnU-an-gyT + XnEN*).(1)令bn=2%n，求證數列bn是等差數列，并求數列的通項公式:(2)令求 Tn=Ci + c2HFj 的值.在數列aj中，3=擊+系+含，又bn=