信息論與編碼第78章習(xí)題解答

1、 7-2設(shè)瓦是“維二元欠量空間中所有具備偶數(shù)重量的矢量集合。證明瓦是線性碼，并確定E”的參數(shù)5,k,d),以及它的系統(tǒng)生成矩陣。設(shè)q和C2均屬于即均是重量為偶數(shù)的斤維二元矢量。于是C,+C2的重量為(C1+c2)=WH(C1)+(c2)-2wh(c,-c2)是偶數(shù)，其中c,-c2表示C|和C2的交截。因此c,+c2gh,所以E”是一個(gè)線性碼。由于對(duì)稱(chēng)性，在所有長(zhǎng)度為樸的二元矢量中，奇數(shù)重量與偶數(shù)重量的欠量數(shù)相等，所以中碼字?jǐn)?shù)為2心，從而k=n-,乂E”中最小非零碼字的重量為2,所以d=2,于是E“的參數(shù)為丿1,2)。7-4設(shè)二元線性碼M的生成矩陣為_(kāi)10011_G=0010101111求M的最

2、小距離。由G生成的(5,3)碼的八個(gè)碼字為(00000),(10011),(00101),(01111)(10110),(01010),(11100),(11001)所以非零碼字最小重量為2,從而最小Hamming矩離必亦=2。7-5設(shè)二元線性碼M的生成矩陣為(11010、G=,01010/建立碼M的標(biāo)準(zhǔn)陣，并對(duì)碼字11111和10000分別進(jìn)行譯碼。由G生成的(5,2)碼M的標(biāo)準(zhǔn)陣列為(00000),(11010),(01010),(10000)(00001),(11011),(01011),(10001)(00010),(11000),(01000),(10010)(00100),(111

3、10),(01110),(10100)(00011),(11001),(01001),(10011)(00101),(11111),(01111),(10101)(01100),(10110),(00110),(11100)(00111),(11101),(01101),(10111)接收到矢量(11111)譯成碼字(11010)接收到矢量(10000)譯成碼字(10000)7-7設(shè)二元線性碼M的生成矩陣為G=/711()11111H1011001110000001111 # 確定M的校驗(yàn)矩陣并求其最小距離。相應(yīng)的校驗(yàn)矩陣為II1100101001101111101100111001G和G的差

4、別僅是列的置換,所以H和的差別也是同樣的列置換，所以1100101001101111110001111101/0|4X41I與G相應(yīng)的系統(tǒng)生成矩陣為110010100110G=11117x711010101_1001該碼的校驗(yàn)矩陣任意二列線性獨(dú)立，而第1,2,3列之和為零矢量，所以存在著相關(guān)的三列，從而最小Hamming重量為3。min=37-8建立二元（7,4）Hamming碼的包含陪集首項(xiàng)和伴隨式的伴隨表，并對(duì)收到的矢量0000011,1111111,1100110,1010101進(jìn)行譯碼。解(7.4)Hamming碼的校驗(yàn)矩陣為10101W=0110000011錯(cuò)誤形式和伴隨欠量表為es

5、(1000000)(100)(0100000)(010)(0010000)(110)(0001000)(001)(0000100)(101)(0000010)(011)(0000001)(111)接收矢量伴隨矢量相應(yīng)譯出碼字(0000011)=n(100)=(1000011)(1111111)=(000)=(11111111)(1100110)=(000)=(1100110)(1010101)=(000)=(1010101)接收到欠量伴隨式錯(cuò)誤形式譯出碼字(011011001111000),(0110),(000001000000000),(011010001111000)(001100110

6、011000),(1111),(000000000000001),(001100110011001)7-9設(shè)二元（15,11）Hamming碼的校驗(yàn)矩陣為_(kāi)000000011111111_rr000111100001111H=011001100110011101010101010101試對(duì)收到的字011011001111000,和001100110011000進(jìn)行譯碼。7-11研究系統(tǒng)碼(&4),其校驗(yàn)方程為c0=tnl+m2+myq=m0+m,c2=7H()+mx+myc3=rn0+m2+m33,5是校驗(yàn)位，求此碼的生成矩陣和校驗(yàn)矩其中如m1,加2皿3是信息位，CQ,C2,C陣，并證明此碼的

7、最小距離為4。設(shè)系統(tǒng)碼的校驗(yàn)矩陣為1000gooC21C2,m-1)C3=(C30C31?C3,?-l)考慮第i位分量，如果C”和C3j取相同符號(hào)，即(5心)=0貝I顯然d(ch.,qJ+d(c2/.,q.)d(clf.,q.)=0如果5和C3,取相異符號(hào)，即(5心)=1貝懷管C2,取什么符號(hào)，至少它與仏和C3沖一個(gè)符號(hào)相反，所以d(5,c2/)+d(c2/.,c3/)d(Ci心)=1所以d(Ci，C2)+d(?2，C3)d(q，5)8-2另加是一個(gè)止整數(shù)，若加不是質(zhì)數(shù)，證明集合1,2,.,m在模加加法和乘法下不是域。證明*.*加不是質(zhì)數(shù)可設(shè)m=kt,設(shè)1km考慮k和集合中其它非零元的模m乘法

8、:kAmodm=kk2modm=2kkJmmodm=ymk1ktmodm=0M+l)modm=k1TOC o 1-5 h zk(f+2)modm=2kk(t+ym)modm=ymk1k和集合中其它非零元的模加乘法在集合OM,+】,，皿k中取值，其中不包括“1”，即R不存在逆元。集合1,2,，加在模加加法和乘法下不是域。8-4根據(jù)本原多項(xiàng)式P(X)=1+X+X構(gòu)造GF(2S)表；列出每個(gè)元素的幕，多項(xiàng)式和矢量表示，決定每一元素的階。解:GF(23)的8個(gè)元素：(000)0(110)1+a(100)1(101)1+/(010)a(Oil)a+a1(001)er(111)1+G+由定理8.1.4可得

9、，GF(2y)中非零元素可能的階數(shù)是1或71的階數(shù)為1,其余非零元素的階數(shù)為78-7考慮由g(X)=1+X+X4生成的(15,11)循環(huán)Hamming碼。確定此碼的校驗(yàn)多項(xiàng)式。確定它對(duì)偶碼的生成多項(xiàng)式。找出此碼的系統(tǒng)生成矩陣和一致校驗(yàn)矩陣。解(a)校驗(yàn)多項(xiàng)式/z(X)=(X%l)/g(X)=Xl+X1+X5+X2+X-1(b)對(duì)偶碼生成多項(xiàng)式為/7(X)的倒易多項(xiàng)式，即GX)=Xi=1+X3+X4+X6+Xs+X9+XlQ+Xn(c)此碼的一個(gè)非系統(tǒng)生成矩陣為rl10010000000000011001000000000G=0011001000000001000000000001001系統(tǒng)生成矩陣為：rl100、01100011110110100101Alxu11100111111110111001丿G=z10011010111、11010111100H=Idd4x40110101111000110101111/8-8設(shè)計(jì)由g(X)=1+X+X4生成的(15,11)循環(huán)Hamming碼的編碼器。解h設(shè)計(jì)一個(gè)(15,11)的系統(tǒng)循環(huán)碼的編碼過(guò)程由三步組成:1、用乘以消息多項(xiàng)式2、用g(兀)除X4-m(x)得到余式b(x)3、碼字多項(xiàng)式c(x)=x4m(x