函數(shù)微分的概念解讀課件

1、2.4.1 函數(shù)微分的概念2.4.2 微分的計(jì)算2.4.3 微分形式的不變性2.4.4 微分的應(yīng)用2.4 函數(shù)的微分若給定函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義有.由定理1.2知，其中是當(dāng) 時(shí)的無窮小量，上式可寫作. (2.4.1)2.4.1 函數(shù)微分的概念返回1/16上一頁上一頁下一頁下一頁(2.4.1)式表明函數(shù)的增量可以表示為兩項(xiàng)之和第一項(xiàng) 是的線性函數(shù)，第二項(xiàng)， 當(dāng) 時(shí)是比 高階的無窮小量因此，當(dāng) 很小時(shí)，我們稱第一項(xiàng) 為 的線性主部， 并叫做函數(shù)的微分2.4.1 函數(shù)微分的概念返回2/16上一頁上一頁下一頁下一頁定義2.3設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 處有導(dǎo)數(shù)，則稱為在點(diǎn)處的微分，記作，即，(2.4.2)此時(shí)，

2、稱 在點(diǎn) 處是可微的.例如，函數(shù) 在點(diǎn)處的微分為2.4.1 函數(shù)微分的概念返回3/16上一頁上一頁下一頁下一頁函數(shù)在任意點(diǎn)的微分，叫做函數(shù)的微分，記作(2.4.3)如果將自變量當(dāng)作自己的函數(shù)，則有，說明自變量的微分就等于它的改變量，于是函數(shù)的微分可以寫成2.4.1 函數(shù)微分的概念返回4/16上一頁上一頁下一頁下一頁，(2.4.4)即， (2.4.5)也就是說，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，導(dǎo)數(shù)又叫微商2.4.1 函數(shù)微分的概念返回5/16上一頁上一頁下一頁下一頁解；.可見.2.4.1 函數(shù)微分的概念返回6/16上一頁上一頁下一頁下一頁例1求函數(shù)在，時(shí)的改變總量及微分2.4

3、.1 函數(shù)微分的概念返回7/16上一頁上一頁下一頁下一頁曲線坐標(biāo)的改變量微分的幾何意義示意圖動(dòng)畫演示函數(shù)微分的幾何意義就是：在曲線上某一點(diǎn)處當(dāng)自變量取得改變量時(shí)，曲線在該點(diǎn)處切線縱坐標(biāo)的改變量2.4.1 函數(shù)微分的概念返回8/16上一頁上一頁下一頁下一頁例2 求下列函數(shù)的微分：(1) ；(2)解(1)所以 (2)，2.4.2 微分的計(jì)算返回9/16上一頁上一頁下一頁下一頁，無論是自變量還是中間變量，的微分總可以用與的乘積來表示函數(shù)微分的這個(gè)性質(zhì)叫做微分形式的不變性2.4.3 微分的形式的不變性返回10/16上一頁上一頁下一頁下一頁以為中間變量的復(fù)合函數(shù) 的微分利用微分可以進(jìn)行近似計(jì)算.這個(gè)公式

4、可以直接用來計(jì)算函數(shù)增量的近似值由微分的定義知，當(dāng)很小時(shí)，有近似公式，2.4.4 微分的應(yīng)用返回11/16上一頁上一頁下一頁下一頁即這個(gè)公式則可以用來計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)附近的函數(shù)值的近似值2.4.4 微分的應(yīng)用返回12/16上一頁上一頁下一頁下一頁解令，因?yàn)橄鄬τ谳^小，可用上面的近似公式來求值2.4.4 微分的應(yīng)用返回13/16上一頁上一頁下一頁下一頁例3設(shè)某國的國民經(jīng)濟(jì)消費(fèi)模型為其中：為總消費(fèi)(單位：十億元)；為可支配收入單位：十億元).當(dāng)時(shí)，問總消費(fèi)是多少？(十億元)2.4.4 微分的應(yīng)用返回14/16上一頁上一頁下一頁下一頁2.4.4 微分的應(yīng)用 例41830年代后期，法國生理學(xué)家普瓦澤伊（Jean Poiseuille）發(fā)現(xiàn)了今天我們?nèi)栽谟脕眍A(yù)測必須擴(kuò)張部分受阻塞的動(dòng)脈半徑多少才能恢復(fù)正常的血液流動(dòng)他的公式為 即流體以固定的壓力在單位時(shí)間內(nèi)流過的細(xì)管的體積V等于一個(gè)常數(shù)乘以管半徑的四次冪問：半徑r增加10%對V的影響有多大？返回15/16上一頁上一頁下一頁下一頁解 因?yàn)?所以，r 的微分和V的微分之間的關(guān)系為V 的相對變化為