分形幾何學(xué)英國(guó)海岸線長(zhǎng)度課件

1、第六講 一種純真追求野性之美主講教師：孫淑娥目錄一、分形幾何學(xué)二、混沌現(xiàn)象三、分形產(chǎn)生的意義四、純真與野性之美三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育自20世紀(jì)以來(lái)，人們認(rèn)識(shí)到自然界許多的隨機(jī)現(xiàn)象已經(jīng)難用歐氏幾何來(lái)描述了。如植物的形態(tài)、海岸線的長(zhǎng)度、山脈、星系分布、云朵聚合、天氣模式、肺部支氣管分支及血管微循環(huán)管道等等，只能用“分形”的工具才能作最好的描述。分形形態(tài)是自然界普遍存在的，研究分形，是探討自然界的復(fù)雜事物的客觀規(guī)律及其內(nèi)在聯(lián)系的需要，分形提供了新的概念和方法。 一、分形幾何學(xué)描述宇宙的分形幾何三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 一、分形幾何學(xué)分形圖形三、數(shù)學(xué)與文化素質(zhì)教育一、分形幾何學(xué)三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育同一個(gè)國(guó)家的海岸

2、線長(zhǎng)度，竟然有百分之二十的誤差，Lewis Fry Richardson 指出 ：這種誤差是因?yàn)樗麄兪褂貌煌L(zhǎng)度的量尺所導(dǎo)致的。同時(shí)發(fā)現(xiàn)海岸線長(zhǎng)度 L 與測(cè)量尺度 s 的關(guān)係如下，其中，值得注意的是 log(1/s) 與 log(L) 呈線性關(guān)係，其斜率為一定值 d： 一、分形幾何學(xué)歷史資料數(shù)據(jù)三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 一、分形幾何學(xué)英國(guó)海岸線長(zhǎng)度？瑞典數(shù)學(xué)家柯赫曲線三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育分形一詞譯于英文，系分形幾何的創(chuàng)始人曼德勃羅（B.B.Mandelbrot）于 1973年由拉丁語(yǔ)Frangere一詞創(chuàng)造而成，詞本身具有破碎、不規(guī)則等含義。如：連綿的山川、飄浮的云朵、巖石的斷裂口、粒子的布朗運(yùn)動(dòng)、樹(shù)

3、冠、花菜、大層Mandelbrot把這些部分與整體以某種方式相似的形體稱(chēng)為分形(fractal)。1973年，他創(chuàng)立了分形幾何學(xué)(Fractal Geometry)。在此基礎(chǔ)上，形成了研究分形性質(zhì)及其應(yīng)用的科學(xué)，稱(chēng)為分形理論。 一、分形幾何學(xué)分形定義三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育線性分形又稱(chēng)為自相似分形。自相似原則和迭代生成原則是分形理論的重要原則。它表征分形在通常的幾何變換下具有不變性，即標(biāo)度無(wú)關(guān)性。由自相似性是從不同尺度的對(duì)稱(chēng)出發(fā)，也就意味著遞歸。分形形體中的自相似性可以是完全相同，也可以是統(tǒng)計(jì)意義上的相似。有規(guī)分形只是少數(shù)，絕大部分分形是統(tǒng)計(jì)意義上的無(wú)規(guī)分形。如科赫曲線（Koch snowflake

4、）、謝爾賓斯基地毯（Sierpinski carpet）少數(shù)。 一、分形幾何學(xué)分形原則三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 Julia集合：Zn+1=Zn2+C朱利亞集合由一個(gè)復(fù)變函數(shù)生成，其中C為常數(shù)。在復(fù)平面上任意取一個(gè)點(diǎn)Z，其值是復(fù)數(shù)，將其代入上面方程中進(jìn)行反復(fù)迭代運(yùn)算，則Z平面上部分區(qū)域收斂，部分區(qū)域發(fā)散，收斂與發(fā)散的邊界，即為Julia集合的圖形。根據(jù)C、Z0的不同會(huì)生成不同的Julia集合。由上式反復(fù)迭代得到的集合稱(chēng)為Mandelbrot集。Zk序列有兩種情況：1）自由的朝著無(wú)窮大方向擴(kuò)散，即發(fā)散；2）被限制在復(fù)平面的某一區(qū)域內(nèi)，即收斂。 一、分形幾何學(xué)數(shù)學(xué)原理三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育朱利亞集合生成的圖形

5、，由于C可以是任意值，所以當(dāng)C取不同的值時(shí)，制出的圖形也不相同。 一、分形幾何學(xué)數(shù)學(xué)原理三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育從朱利亞集的生成過(guò)程可以看出：對(duì)應(yīng)于曼德勃羅集中的每一個(gè)點(diǎn)，都有一個(gè)朱利亞集。下圖左側(cè)圖是曼德勃羅集，右側(cè)是對(duì)應(yīng)于曼德勃羅圖形中（x=0.379,y=0.184）處的朱利亞集。 一、分形幾何學(xué)曼德勃羅集與朱利亞集三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 一、分形幾何學(xué)曼德勃羅集中不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)的朱利亞集三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育曼德勃羅圖形上的每一個(gè)不同的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)一個(gè)不同的朱利亞集，朱利亞集（復(fù)數(shù)c為定值）和曼德勃羅集是有密切關(guān)系的。那么，曼德勃羅圖形上的每一個(gè)點(diǎn)是什么呢？它代表迭代公式中不同的C值。因此，給定一個(gè)C，就能

6、產(chǎn)生一個(gè)朱利亞集。的確，朱利亞集是用與曼德勃羅集同樣的非線性迭代方法產(chǎn)生的： Zn+1 = Zn2 + C 一、分形幾何學(xué)曼德勃羅集與朱利亞集三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育分維，又稱(chēng)分形維或分?jǐn)?shù)維，作為分形的定量表征和基本參數(shù)，是分形理論的又一重要原則。數(shù)學(xué)家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了連續(xù)空間的概念,也就是空間維數(shù)是可以連續(xù)變化的,它可以是整數(shù)也可以是分?jǐn)?shù),稱(chēng)為豪斯道夫維數(shù)。記作Df,一般的表達(dá)式為:K=LDf,也作K=(1/L)(-Df),取對(duì)數(shù)并整理得Df=lnK/lnL,其中L為某客體沿其每個(gè)獨(dú)立方向皆擴(kuò)大的倍數(shù),K為得到的新客體是原客體的倍數(shù)。顯然,Df在一般情況下是一個(gè)分?jǐn)?shù)。

7、例如，koch曲線的 Df=lnK/lnL=ln4/ln3=1.26186. 一、分形幾何學(xué)重要原則三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育分?jǐn)?shù)維度是基于分形理論產(chǎn)生的。由于圖形擁有自相似性，產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)維度。英國(guó)的海岸線為什么測(cè)不準(zhǔn)?因?yàn)闅W氏一維測(cè)度與海岸線的維數(shù)不一致。根據(jù)曼德布羅特的計(jì)算,英國(guó)海岸線的維數(shù)為1.25(M)。有了分維,海岸線的長(zhǎng)度就確定了。美國(guó)物理學(xué)大師約翰惠勒說(shuō)過(guò)：今后誰(shuí)不熟悉分形，誰(shuí)就不能被稱(chēng)為科學(xué)上的文化人。 一、分形幾何學(xué)海岸線長(zhǎng)度不準(zhǔn)的原因三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育一般認(rèn)為非線性、隨機(jī)性、耗散性是出現(xiàn)分形結(jié)構(gòu)的必要物理?xiàng)l件。非線性是指運(yùn)動(dòng)方程中存在非線性項(xiàng)（迭代）；隨機(jī)性是反映了系統(tǒng)內(nèi)在的隨機(jī)性

8、；耗散性強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)的開(kāi)放性，研究熵變的過(guò)程和機(jī)制，即宇宙的“有序與無(wú)序，物質(zhì)與能量和信息的相互轉(zhuǎn)換的兩大循環(huán)。”系統(tǒng)產(chǎn)生分形結(jié)構(gòu)充分條件是“吸引子（Attractor）”。不嚴(yán)格地說(shuō)，一個(gè)吸引子就是一個(gè)集合，并使附近的所有軌道都收斂到這個(gè)集合上。 一、分形幾何學(xué)產(chǎn)生分形之因三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 分形幾何不僅展示了數(shù)學(xué)之美，也揭示了世界的本質(zhì)，還改變了人們理解自然奧秘的方式。分形藝術(shù)具有和傳統(tǒng)藝術(shù)一樣的和諧、對(duì)稱(chēng)等特征的美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)。自相似性又揭示了一種新的對(duì)稱(chēng)性，是大小比例的對(duì)稱(chēng)，即系統(tǒng)中的每一元素都反應(yīng)和含有整個(gè)系統(tǒng)的性質(zhì)和信息，是局部與整體的對(duì)稱(chēng)。分形圖形中那種分叉、纏繞、不規(guī)則的邊緣和豐富的變換

9、，給人們一種純真的追求野性的美感，一種未開(kāi)化的、為馴服過(guò)的天然情趣。法國(guó)印象派大師雷諾所說(shuō)的“一覽之余則不成藝術(shù)”。 一、分形幾何學(xué)分形之美三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育1963年美國(guó)氣象學(xué)家愛(ài)德華諾頓洛倫茲提出混沌理論（Chaos）。著名的洛倫茲吸引子方程：分形與混沌動(dòng)力學(xué)之間的聯(lián)系，是混沌的奇異吸引子都是分形?！胺中螏缀螌W(xué)”和“分維”概念已經(jīng)成為混沌學(xué)研究的工具。分形學(xué)與混沌理論聯(lián)手，成為研究復(fù)雜世界的銳利武器。正如老子說(shuō)：“玄而又玄，眾妙之門(mén)”。 二、混沌現(xiàn)象分形與混沌關(guān)系三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 二、混沌現(xiàn)象洛倫茲吸引子三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育世界是非線性的，分形無(wú)處不在。分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)

10、的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義。分形幾何學(xué)是混沌理論的一項(xiàng)工具，研究對(duì)象是混沌的現(xiàn)象，混沌是相對(duì)于歐幾里得幾何學(xué)和線性數(shù)學(xué)而言的。在非線性系統(tǒng)內(nèi)，穩(wěn)定僅是暫時(shí)的特例，混沌才是永恒的現(xiàn)象。一個(gè)“混沌吸引子”穩(wěn)定中有不穩(wěn)定，它由無(wú)數(shù)個(gè)小吸引子組成。一個(gè)混沌系統(tǒng)，雖然從局部來(lái)看是不可預(yù)測(cè)的，但從整體來(lái)看是有其規(guī)律的。 二、混沌現(xiàn)象分形與混沌關(guān)系三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育設(shè)V是一個(gè)集合， 稱(chēng)為在V上是混沌的，如果： 1） f對(duì)初始條件的敏感依賴(lài)性； 2） f是拓?fù)鋫鬟f的； 3） 周期點(diǎn)在V中是稠密的。比如，煙頭燃燒，在沒(méi)有任何外力情況下，煙會(huì)自動(dòng)分解。煙何時(shí)分解？分解原因？分解方

11、向可以預(yù)測(cè)？ 二、混沌現(xiàn)象混沌定義三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育邏輯斯蒂映射（Logistic）：x1=kx0(1-x0)首先選定一個(gè)在(0,4)區(qū)間內(nèi)的參數(shù)k，然后對(duì)于任意一個(gè)(0,1)區(qū)間內(nèi)的初始值x0，反復(fù)迭代，得x1，x2，. 。對(duì)于取值不太大的k，通過(guò)多次迭代發(fā)現(xiàn)不管初始值如何，最后結(jié)果總是穩(wěn)定的，而且穩(wěn)定態(tài)不依賴(lài)于初始值。但當(dāng)k超過(guò)3時(shí)，情況發(fā)生變化，穩(wěn)定態(tài)變?yōu)閮蓚€(gè)數(shù)值。繼續(xù)增大k到3.444時(shí)，周期2的穩(wěn)定態(tài)也不再出現(xiàn)，出現(xiàn)周期4循環(huán)。當(dāng)增大到3.56，周期又加倍到8；到3.567，周期達(dá)到16，此后便是更快速的32，64，128周期倍增數(shù)列。以至到3.5699就結(jié)束了，倍周期分岔現(xiàn)象突然中

12、斷：周期性讓位于混沌。 二、混沌現(xiàn)象混沌現(xiàn)象的分析三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 二、混沌現(xiàn)象混沌三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 二、混沌現(xiàn)象混沌三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 二、混沌現(xiàn)象混沌三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育（1）對(duì)初始條件的敏感依賴(lài)性。（2）極為有限的可預(yù)測(cè)性。（3）混沌的內(nèi)部存在著超載的有序。例如，1979年12月，洛倫茲在華盛頓的美國(guó)科學(xué)促進(jìn)會(huì)的一次講演中提出：一只蝴蝶在巴西扇動(dòng)翅膀，有可能會(huì)在美國(guó)的德克薩斯引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)?！昂?yīng)”之所以令人著迷、令人激動(dòng)、發(fā)人深省，不但在于其大膽的想象力和迷人的美學(xué)色彩，更在于其深刻的科學(xué)內(nèi)涵和內(nèi)在的哲學(xué)魅力。 “蝴蝶效應(yīng)”反映了混沌運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要特征：系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為對(duì)初始條件的

13、敏感依賴(lài)性。 二、混沌現(xiàn)象混沌特征三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 混沌理論是當(dāng)今世界最偉大的理論之一。它是社會(huì)科學(xué)與自然科學(xué)最完美結(jié)合的理論.它研究如何把復(fù)雜的非穩(wěn)定事件控制到穩(wěn)定狀態(tài)的方法，它研究世界如何在不穩(wěn)定的環(huán)境中穩(wěn)定發(fā)展的問(wèn)題。.混沌方法對(duì)于處理復(fù)雜多變、動(dòng)蕩不定的重大事件有特殊功效混沌世界是紛繁復(fù)雜多變的世界?！跋鄬?duì)論消除了關(guān)于絕對(duì)空間和時(shí)間的幻想；量子力學(xué)則消除了關(guān)于可控測(cè)量過(guò)程的牛頓式的夢(mèng)；而混沌則消除了拉普拉斯關(guān)于決定論式可預(yù)測(cè)的幻想。” 三、分形產(chǎn)生的意義對(duì)混沌研究的作用三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 我們了解了美妙的曼德勃羅集和朱利亞集圖形的產(chǎn)生過(guò)程。這種非線性迭代法產(chǎn)生的分形不僅僅以其神秘復(fù)雜

14、，變化多姿受到藝術(shù)家們的寵愛(ài)，數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)愛(ài)好者們的青睞，也激勵(lì)了與此緊密相關(guān)的混沌理論及非線性動(dòng)力學(xué)的發(fā)展。以至于人們將后者譽(yù)為二十世紀(jì)之內(nèi)可與相對(duì)論，量子力學(xué)媲美的科學(xué)的第三次革命。上世紀(jì)九十年代，學(xué)術(shù)各界，包括科技、藝術(shù)、社會(huì)、人文、幾乎每個(gè)領(lǐng)域都有涉及分形的研究：股市專(zhuān)家們?cè)谑袌?chǎng)龐大數(shù)據(jù)中尋找自相似性，音樂(lè)家們要聽(tīng)聽(tīng)，按照分形規(guī)則創(chuàng)造的旋律，是否更具神秘感。 三、分形產(chǎn)生的意義對(duì)科學(xué)發(fā)展的作用三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 分形似乎具有某種風(fēng)韻，是一種狂放不羈的自由、一種未開(kāi)化的、未馴養(yǎng)過(guò)的天然情趣、一種新的審美理想和新的審美情趣 ；是一種純真追求野性的美。它令人們充滿了想象的自由，卻又似乎被某種力量所折服。 正像法國(guó)印象派大師雷諾所說(shuō)的“一覽之余則不成藝術(shù)”。 四、純真與野性之美特征三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 簡(jiǎn)單中蘊(yùn)含著復(fù)雜是局部與整體的對(duì)稱(chēng)、混亂中的秩序、平衡中尋找動(dòng)勢(shì)、普遍的對(duì)應(yīng)與制約“須臾納永恒” 美國(guó)詩(shī)人布萊克： 一沙見(jiàn)世界，一花窺天堂。 手心握無(wú)限，須臾納永恒。 四、純真與野性之美本質(zhì)三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 分形理論的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了理論的發(fā)展?！白韵嗨菩浴狈中我呀?jīng)滲透到各個(gè)領(lǐng)域。比如，自然分形，社會(huì)分形，思維分形，時(shí)間分形，詩(shī)詞分形；應(yīng)用之廣